2 月 18 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第二十九期準(zhǔn)時(shí)開播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，探究玻爾茲曼分布，并以重力場(chǎng)和速度場(chǎng)為例進(jìn)行講解。
通過(guò)建立空氣密度、重力、溫度、壓差之間的關(guān)系，推導(dǎo)得到空氣粒子數(shù)密度隨重力勢(shì)能的分布；利用速度各分量的獨(dú)立性、各向同性、理想氣體狀態(tài)方程等，推導(dǎo)得到麥克斯韋速度分布律，體現(xiàn)粒子數(shù)密度隨動(dòng)能的分布。兩者均符合玻爾茲曼分布。這些也為解釋大氣中氫氣含量之低提供了一個(gè)物理的視角。
“我們花了很長(zhǎng)時(shí)間，研究量子力學(xué)和它的典型應(yīng)用。先是氫原子能級(jí)，后來(lái)是雙原子分子?！睆埑?yáng)開場(chǎng)直奔主題，“今天要研究玻爾茲曼在重力場(chǎng)和速度場(chǎng)的分布?！?/p>
玻爾茲曼分布：高處空氣更稀薄？ 微分方程來(lái)建模
上節(jié)課，張朝陽(yáng)利用玻爾茲曼分布，解釋溫度很低時(shí)自由度會(huì)被凍結(jié)，導(dǎo)致能量均分定理失效，最終得出比熱容隨溫度的階梯圖。同時(shí)，計(jì)算粒子平均振動(dòng)能以及普朗克黑體輻射時(shí)，也都用到了玻爾茲曼分布，足見(jiàn)其重要性與普遍性。今天，他想通過(guò)兩個(gè)關(guān)于理想氣體分布的具體計(jì)算實(shí)例，來(lái)直觀呈現(xiàn)玻爾茲曼分布。
“先來(lái)看看簡(jiǎn)單的例子?！睆埑?yáng)嘗試計(jì)算粒子質(zhì)量為 m，溫度為 T 的理想氣體，在重力加速度為 g 的重力場(chǎng)下，其數(shù)密度 n 隨高度 h 的變化。
他介紹說(shuō)，在高度為 h 的地方，取一個(gè)底面積為 A，高度為 dh 的小層，則這層的體積為 Adh，一共有 nAdh 個(gè)粒子，每個(gè)粒子受向下的重力 mg，則這層氣體受到的向下的重力為 mgnAdh。另外這層氣體還受到上下兩部分氣體的壓力，設(shè)上部分氣體的壓強(qiáng)為 p+dp，下部分氣體的壓強(qiáng)為 p，那么氣體受到向上的推力為 Ap-A（p+dp）=-Adp，它必須與向下的重力 mgnAdh 相等才可以讓這層氣體受力平衡：
另外，將理想氣體狀態(tài)方程 p=nkT 代入上式，然后消掉兩邊的 A，并將右邊的 n 移到左邊后兩邊進(jìn)行積分，最終得到氣體數(shù)密度關(guān)于高度的分布：
mgh 正是氣體在重力場(chǎng)下的勢(shì)能。可見(jiàn)大氣中的粒子數(shù)密度符合玻爾茲曼分布。
麥克斯韋速度分布：各向同性定形式 總數(shù)和壓強(qiáng)做歸一
張朝陽(yáng)還舉了另外一個(gè)例子。同樣也是理想氣體，但此氣體沒(méi)有重力場(chǎng)等外場(chǎng)勢(shì)能，只研究其中粒子在溫度為 T 時(shí)的速度分布，該分布正是麥克斯韋速度分布。他邊列公式邊介紹，設(shè)一個(gè)微小的速度區(qū)內(nèi)的粒子數(shù)密度為：
由于理想氣體中的粒子是各向同性的，所以粒子數(shù)密度的分布 f 與粒子速度的方向無(wú)關(guān)，只與速度的大小有關(guān)。他在小白板上寫下：
他解釋，“我們還知道，理想氣體中粒子之間無(wú)勢(shì)能，而關(guān)于它們的碰撞也可以分解為相互獨(dú)立的三個(gè)分量，所以粒子在三個(gè)方向上的速度分布是相互獨(dú)立的，于是又可以將 f 寫成如下形式?！?/p>
將上式等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，可以將右邊乘法變成加法，然后求其關(guān)于速度 x 分量的偏導(dǎo)，可得：
同理，對(duì)速度 y 與 z 分量求偏導(dǎo)也得到上式等號(hào)左邊的量，結(jié)合起來(lái)就得到：
由于知道 g 函數(shù)只與對(duì)應(yīng)的速度分量有關(guān)，而速度分量之間又是彼此獨(dú)立的，那么上式只能等于一個(gè)與速度分量都無(wú)關(guān)的常數(shù)：
容易解得 g 函數(shù)：
將 g 函數(shù)帶回 f 的表達(dá)式，最終可以得到粒子數(shù)密度關(guān)于總速度的分布：
▲ 利用粒子速度分布的各向同性與三個(gè)方向分量的獨(dú)立性推導(dǎo)麥克斯韋速度分布律
“接下來(lái)，我們還需要計(jì)算積分常數(shù) A 以及參數(shù) α?！彼^續(xù)推導(dǎo)，將所有速度區(qū)間的粒子數(shù)密度加起來(lái)，可以得到理想氣體的總粒子數(shù)密度 n：
由此，可以計(jì)算得到 A 的具體表達(dá)式：
至于參數(shù) α，則需要使用理想氣體狀態(tài)方程 p=nkT 來(lái)處理，張朝陽(yáng)利用粒子對(duì) zy 平面的容器壁的碰撞來(lái)計(jì)算壓強(qiáng) p。將其它速度其它分量積分可以得到速度 x 分量的分布：
每個(gè)粒子碰撞容器壁后，x 方向上的動(dòng)量大小相等方向反向，改變量為原動(dòng)量 x 分量的 2 倍大小。計(jì)算所有向 x 正方向碰撞容器壁產(chǎn)生的壓強(qiáng)：
為了繼續(xù)化簡(jiǎn)，將總粒子數(shù)密度 n 表達(dá)為 x 方向上的積分：
將此表達(dá)式代入 p=nkT 中，化簡(jiǎn)便可得到 α 的表達(dá)式：
將 A 與 α 代回 f，最終得到麥克斯韋速度分布的表達(dá)式：
若進(jìn)一步化為關(guān)于速度大小的表達(dá)式，則如下圖所示：
▲ 張朝陽(yáng)推導(dǎo)得到麥克斯韋速度分布
氫氣在大氣中為何少？ 利用麥克斯韋速度分布律推導(dǎo)解釋
觀察麥克斯韋速度分布公式，注意到 e 指數(shù)上除 kT 之外就是粒子的動(dòng)能，這說(shuō)明此分布也滿足玻爾茲曼分布，張朝陽(yáng)從物理學(xué)的角度，利用麥克斯韋速度分布解釋了氫氣為何在大氣中那么少。
根據(jù)前面計(jì)算的粒子數(shù)密度關(guān)于高度的分布，由于氫氣分子質(zhì)量相比空氣中其它分子的質(zhì)量要小得多，所以其粒子數(shù)密度隨高度衰減得沒(méi)那么快，從而氫氣可以爬得更高，再根據(jù)麥克斯韋速度分布律公式，氫氣分子質(zhì)量小還會(huì)導(dǎo)致它在速度較大的情況下仍有可觀的分布，部分粒子的速度，可以超過(guò)第一宇宙速度甚至第二宇宙速度，從而逐漸逃逸，離開地球。這樣氫氣在大氣中的含量就非常少了。
當(dāng)然，這只是看待該問(wèn)題的一個(gè)角度。實(shí)際上，從化學(xué)上講，氫較為活潑，容易形成水等許多化合物，從而以其它形式相對(duì)固定地存在于地球上，也減少了它以單質(zhì)形式存在于大氣中的量。實(shí)際上，用原子質(zhì)量較小但化學(xué)上更惰性的氦氣作為例子，可以更好地體現(xiàn)這一物理規(guī)律的影響。
可以看到，在本節(jié)課中的兩個(gè)例子都符合玻爾茲曼分布，其中一個(gè) e 指數(shù)上的能量是粒子的勢(shì)能，而另一個(gè)則是粒子的動(dòng)能，可見(jiàn)玻爾茲曼具有普適性，下節(jié)課將具體講解如何導(dǎo)出玻爾茲曼分布。直播結(jié)尾，張朝陽(yáng)總結(jié)課程內(nèi)容，“這是能量差和 kT 的戰(zhàn)爭(zhēng)?！?/p>
廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。