空間站的飛行軌跡是怎樣形成的？衛(wèi)星是如何繞地飛行的？3 月 18 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》開播，張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，回歸經(jīng)典力學(xué)，推導(dǎo)空間站的飛行軌道等問(wèn)題。他先從牛頓力學(xué)出發(fā)，為網(wǎng)友們解答了衛(wèi)星為什么能在天上運(yùn)行而不掉下來(lái)，接著帶領(lǐng)大家復(fù)習(xí)了第一、第二宇宙速度的計(jì)算以及同步衛(wèi)星的概念，在課程結(jié)尾演示了萬(wàn)有引力下的能量守恒定律和衛(wèi)星軌跡方程的求解。
復(fù)習(xí)第一、第二宇宙速度 計(jì)算同步衛(wèi)星軌道半徑
為便于理解，在本次直播中張朝陽(yáng)先帶網(wǎng)友復(fù)習(xí)了第一、第二宇宙速度的計(jì)算，并且介紹了同步衛(wèi)星的概念。為此，張朝陽(yáng)先根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 F=ma 寫出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的方程：
張朝陽(yáng)解釋道，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其速度大小雖然沒(méi)有改變，但是速度的方向是在不斷變化的，因此這個(gè)物體具有加速度。首先，角速度是角度隨時(shí)間的變化率，而速度等于角速度與半徑的乘積：
他畫指示圖來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：
(張朝陽(yáng)在直播中推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式)
在一個(gè)很小的時(shí)間間隔上，速度的改變量指向圓心，它的大小等于速度乘以角度改變量。除以 dt 就可以得到加速度的公式：
將此加速度公式代回衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)方程，化簡(jiǎn)可得衛(wèi)星的速度：
G 和 M 分別是萬(wàn)有引力常數(shù)和地球質(zhì)量。隨后，他在白板上演示了如何通過(guò)“黃金代換公式”將 G 和 M 換成更常見(jiàn)的物理量。為此，張朝陽(yáng)考慮了地球表面的萬(wàn)有引力：mg=GMm / R^2，這里 R 表示地球半徑，m 表示地球表面附近物體的質(zhì)量，g 表示地球表面附近的重力加速度。于是有 GM=gR^2。將這個(gè)結(jié)果代回衛(wèi)星速度公式就得到：
張朝陽(yáng)介紹，第一宇宙速度就是地球表面附近的衛(wèi)星繞著地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。此時(shí) r 近似為 R，于是得到第一宇宙速度公式：
這個(gè)速度的值是 7.9km / s。而對(duì)于地球同步衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即其公轉(zhuǎn)角速度應(yīng)等于地球的自轉(zhuǎn)角速度。張朝陽(yáng)將速度換成角速度乘以軌道半徑，于是得到：
代入地球自轉(zhuǎn)角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數(shù)值，張朝陽(yáng)算得同步衛(wèi)星軌道半徑約為 42600 km?！八?，為了保證衛(wèi)星同步轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)行的軌道半徑必須為四萬(wàn)兩千多公里。”張朝陽(yáng)總結(jié)道。
接下來(lái)，張朝陽(yáng)繼續(xù)介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度，就是物體從地球表面出發(fā)逃逸到無(wú)窮遠(yuǎn)處至少所需的初速度。
他先考慮了物體沿徑向運(yùn)動(dòng)的情況。假設(shè)物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸，到了無(wú)窮遠(yuǎn)處這個(gè)物體的速度必須是零，否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時(shí)候引力做的功剛好抵消掉物體的動(dòng)能，于是有：
于是得到第二宇宙速度公式：
這個(gè)速度大小是 11.2 km / s。推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果時(shí)考慮的是徑向運(yùn)動(dòng)，因此張朝陽(yáng)提了一個(gè)問(wèn)題，如果物體以這個(gè)速度從切線方向飛出，那它還能不能逃逸到無(wú)窮遠(yuǎn)處呢？他介紹，這個(gè)問(wèn)題將在下一次課程直播中解答。
推導(dǎo)萬(wàn)有引力下的能量守恒 解釋衛(wèi)星動(dòng)能勢(shì)能總和不變
隨后，張朝陽(yáng)又進(jìn)行了萬(wàn)有引力下的能量守恒定律的推導(dǎo)，揭示衛(wèi)星在引力場(chǎng)中的總能量由動(dòng)能和引力勢(shì)能兩部分組成，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)期間總能量保持不變?？紤]到情況的普遍性，張朝陽(yáng)使用了矢量分析的工具來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)。當(dāng)物體在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了一小段距離時(shí)，引力場(chǎng)做的功是：
其中矢量 er 是徑向單位矢量。張朝陽(yáng)給網(wǎng)友們?cè)敿?xì)演示了如何對(duì)此式進(jìn)行化簡(jiǎn)：
于是萬(wàn)有引力做的功可以化為：
又因牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：
于是得出：
張朝陽(yáng)解釋道，括號(hào)里邊的值就是總能量。在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總能量的改變量為 0，這就是引力場(chǎng)下的能量守恒定律?？偰芰勘磉_(dá)式中的第一項(xiàng)是物體的動(dòng)能，帶負(fù)號(hào)的第二項(xiàng)是它的引力勢(shì)能。
(張朝陽(yáng)推導(dǎo)引力場(chǎng)下的能量守恒定律)
推導(dǎo)萬(wàn)有引力下的衛(wèi)星軌跡 計(jì)算橢圓軌道時(shí)的極值距離
在地球引力下，衛(wèi)星是如何運(yùn)行的？張朝陽(yáng)繼續(xù)進(jìn)行推演。首先，他引入了極坐標(biāo)，并作如下推導(dǎo)：
其中上標(biāo)的撇號(hào)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。該推導(dǎo)需結(jié)合張朝陽(yáng)直播所畫的示意圖來(lái)理解。
(張朝陽(yáng)推導(dǎo)所用圖示)
結(jié)合萬(wàn)有引力下的牛頓第二定律：
對(duì)比徑向分量和角向分量立即得到：
于是 r^2θ’是常數(shù)，張朝陽(yáng)將其記為 a。他解釋道，θ’是單位時(shí)間經(jīng)過(guò)的角度，r^2θ’/2 就是衛(wèi)星連接地球中心的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積，這個(gè)面積是一個(gè)常數(shù)，這就是開普勒第二定律。
利用這個(gè)常數(shù)可以消去角度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，從而根據(jù)上面的第一個(gè)式子得到：
為求解這個(gè)方程，張朝陽(yáng)引入了新的變量 y=1 / r，并且將對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)化為對(duì)角度的導(dǎo)數(shù)：
將這個(gè)結(jié)果代入上面關(guān)于 r 的方程立即得到：
他強(qiáng)調(diào)，這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的方程，其通解為 y=A cos (θ+θ0)+ GM / a^2，其中 A>0。并且，可以重新選取角坐標(biāo)的原點(diǎn)使 θ0=0，將 y 代回到原形式 1 / r，可得：
張朝陽(yáng)解釋，這正是極坐標(biāo)下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程，也就是說(shuō)衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據(jù)此，可以計(jì)算當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓時(shí)的近地點(diǎn)距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距離。軌跡上離地球最近的距離是 1/(A+B)，最遠(yuǎn)的距離是 1/(B-A)。
(張朝陽(yáng)推導(dǎo)出衛(wèi)星的軌跡)
據(jù)悉，在下節(jié)課中，張朝陽(yáng)將會(huì)就空間站軌道的穩(wěn)定性 —— 當(dāng)運(yùn)行軌道受到干擾時(shí)，會(huì)發(fā)生怎樣的改變進(jìn)行推導(dǎo)解答。
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