常言說(shuō)得好：失之毫厘，謬之千里。
一顆人造衛(wèi)星，要送到地球上空的預(yù)定軌道，離不開精密的數(shù)學(xué)計(jì)算。百層摩天大廈能夠拔地而起，沒(méi)有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)計(jì)算，也是難以想象的。
數(shù)學(xué)一向以嚴(yán)密、精確著稱。然而，在 20 世紀(jì) 60 年代，卻偏有一個(gè)叫“模糊數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)新分支異軍突起。
難道數(shù)學(xué)計(jì)算無(wú)須精密準(zhǔn)確而需要“模模糊糊”? 當(dāng)然不是。自然科學(xué)的學(xué)科，只有當(dāng)它們能夠使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的時(shí)候，才談得上成熟。在恩格斯的那個(gè)年代，數(shù)學(xué)在生物學(xué)上的應(yīng)用還幾乎為零。然而如今的生物學(xué)，已全然離不開數(shù)學(xué)。就連 許多社會(huì)科學(xué)，也在不斷追求定量化和數(shù)學(xué)化。那么，為什么在此時(shí)此刻反而半路殺出一個(gè)“模糊數(shù)學(xué)”呢? 這還得從兩種不同的概念講起。
在日常生活中，我們遇到的概念不外乎兩類。一類是清晰的概念，對(duì)象是否屬于這個(gè)概念是明確的。例如，人、自然數(shù)、正方形等。要么是人，要么不是人；要么是自然數(shù)，要么不是自然數(shù)；要么是正方形，要么不是正方形。非此即彼。
另一類概念對(duì)象從屬的界限是模糊的，隨判斷人的思維而定。例如，美不美、早不早、便宜不便宜等。西施是我國(guó)古代公認(rèn)的美女，但有 道是“情人眼里出西施”，這就是說(shuō)，在一些人看來(lái)未必那么美的人，在另一些人眼里，卻美得可以與西施相比擬。可見，“美”與 “不美”是不存在一個(gè)精確的界限的。
再說(shuō)“早”與“不早”，清晨 5 點(diǎn)，對(duì)于為都市“梳妝打扮”的清潔工人來(lái)說(shuō)可能算是遲了，但對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，卻是很早的。至于便宜不便宜，那更是隨人的感覺而異了！
在客觀世界中，諸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。對(duì)于這類模糊現(xiàn)象，過(guò)去已有的數(shù)學(xué)模型難以適用，需要形成新的理論和方法，即在數(shù)學(xué)和模糊現(xiàn)象之間架起 一座橋梁。這就是我們要講的“模糊數(shù)學(xué)”。
加速這座橋梁架設(shè)的是計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展。大家知道，人的大腦具有非凡的判別和處理模糊事物的能力。就拿一個(gè)孩子識(shí)別自己的母親為例，即使這位母親更換了新衣，改變了發(fā)型，她的孩子依然會(huì)從高矮、胖瘦、音容、姿態(tài)等迅速地做出準(zhǔn) 確判斷。
如果這件事讓計(jì)算機(jī)來(lái)干，那就非得把這位母親的身高、體重、行走速度、外形曲線等，全都計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后的十幾位，然后才能著手判斷。這樣的“精確”實(shí)在是事與愿違，走到了事物的反面。
說(shuō)不定就因?yàn)檫@位母親臉上一時(shí)長(zhǎng)了一個(gè)小癤，該部位的平均高度比原來(lái)高了零點(diǎn)零幾毫米，而使計(jì)算機(jī)做出“拒絕接受”的判斷！難怪模糊數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人、美國(guó)加利福尼亞大學(xué)教授、自動(dòng)控制專家 L.A.扎德 (L.A.Zadeh,1921—2017) 說(shuō):“所面對(duì)的系統(tǒng)越復(fù)雜，人們對(duì)它進(jìn)行有意義的精確化的能力就越低。”
他生動(dòng)地舉了一個(gè)停車問(wèn)題的例子，他說(shuō)，要把汽車停在擁擠停車場(chǎng)的兩輛汽車之間的空地上，這對(duì)有經(jīng)驗(yàn)的司機(jī)來(lái)說(shuō)，并非什么難事。但若用精確的方法求解，即使是一臺(tái)大型電子計(jì)算機(jī)也不容易。
那么，要使計(jì)算機(jī)能夠模仿人腦，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別和判斷，出路在哪里呢?
扎德教授主張?jiān)跇O度的復(fù)雜性面前，從精度方面“后退”一步。他提出用隸屬函數(shù)使模糊概念數(shù)學(xué)化。例如 “禿頭”，這顯然是一種模糊概念。
上圖有 5 種頭發(fā)的類型。
(a) 的頭沒(méi)有一點(diǎn)頭發(fā)，自屬標(biāo)準(zhǔn)“禿頭”隸屬程度為 1；
(d) 的頭是典型禿頂，所以“禿”的隸屬程度可定為 0.8；
(c) 的頭上，長(zhǎng)滿了烏黑的頭發(fā)，根本與“禿”沾不上邊，所以“禿”的隸屬程度為 0；
(b) 與 (e) 的“禿”，比之 (a)、(d) 則不足，比之 (c) 則有余，隸屬程度可分別定為 0.5 和 0.3。
這樣“禿”這個(gè)模糊概念就可以用以下的方法定量地給出定義: 
=1 / a+0.5 / b+0 / c+0.8 / d+0.3 / e
這里的“+”和“/”，不是通常的相加和相除，只是一種記號(hào)?！? / a” 表明狀態(tài) a 的隸屬程度為“1”，“+”則表示各種情況的并列。
下面我們?cè)倏础澳贻p”和“年老”這兩個(gè)模糊概念。
扎德教授本人根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，擬合了這兩個(gè)概念的隸屬函數(shù)圖像。圖中橫坐標(biāo)表示年齡，縱坐標(biāo)表示隸屬程度。
例如，從坐標(biāo)圖可以看出，50 歲以下的人不屬于“年老”，而當(dāng)年齡超過(guò) 50 歲時(shí)，隨著歲數(shù)的增大，“年老”的隸屬程度也越來(lái)越大。
“人生七十古來(lái)稀”，70 歲的人“年老”的隸屬程度已達(dá) 94%。同樣，在 坐標(biāo)圖中我們可以看到，25 歲以下的人，“年輕”的隸屬程度為 100%, 超過(guò) 25 歲，“年輕”的程度越來(lái)越小。40 歲已是“人到中 年”，“年輕”的隸屬程度只有 10%。假如有人問(wèn)你:“你的數(shù)學(xué)老師年輕嗎?”而你的回答卻是: “他‘年輕’的隸屬程度為 25%?！边@樣的答案自然不會(huì)有錯(cuò)，但顯然是很別扭的。
為了使人產(chǎn)生一種確切的印象，我們可以固定一個(gè)百分?jǐn)?shù)，例如 40%，隸屬程度大于或等于 40% 的都叫“年輕”，反之就不叫“年輕”。
在這種前提下，你對(duì)你朋友的回答也就是肯定的了，你可以明白地告訴你的朋友，你的數(shù)學(xué)老師不年輕。因?yàn)檫@時(shí)“年輕”一詞，已從模糊概念轉(zhuǎn)為明確的概念。
當(dāng)然，作為隸屬程度分界線的那個(gè)固定百分?jǐn)?shù)，是應(yīng)當(dāng)通過(guò)科學(xué)的分析，或者通過(guò)民意測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)來(lái)選取的。
再舉中國(guó)古代史的分期為例，“奴隸社會(huì)”是個(gè)模糊概念。
[奴隸社會(huì)]=1 / 夏 + 1 / 商 + 0.9 / 西周 + 0.7 / 春秋 + 0.5 / 戰(zhàn)國(guó) + 0.4 / 秦 + 0.3 / 西漢 + 0.1 / 東漢
取 0.5 的隸屬程度作為奴隸社會(huì)的劃分界限，那么屬于奴隸社會(huì)的，就該是夏、商、西周、春秋和戰(zhàn)國(guó)。秦、漢則不屬于奴隸社會(huì)。
在精確數(shù)學(xué)中，“非?！薄昂堋薄安弧钡仍~是很難用數(shù)量加以表述的。但在模糊數(shù)學(xué)中，卻可以讓它們定量化。例如，“很”表示隸屬程度的平方，“不”則表示用 1 減去原隸屬度等。如 30 歲屬于“年輕”的隸屬程度為 0.5，那么屬“很年輕”的隸屬程度就只有 (0.5)2=0.25，而“不很年輕”的隸屬程度則為 1-(0.5)2= 0.75
上面我們看到，在對(duì)事物的模糊性進(jìn)行定量刻畫的時(shí)候，同樣需要用到概率統(tǒng)計(jì)的手段和精確數(shù)學(xué)的方法。由此可見，“模糊數(shù)學(xué)”實(shí)際上并不模糊。
模糊數(shù)學(xué)的誕生，把數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域從清晰現(xiàn)象擴(kuò)展到模糊現(xiàn)象，從而使數(shù)學(xué)闖進(jìn)了許多過(guò)去難以達(dá)到的“禁區(qū)”。用模糊數(shù)學(xué)的模型來(lái)編制程序，讓計(jì)算機(jī)模擬人腦的思維活動(dòng)，已經(jīng)在文字識(shí)別、疾病診斷、氣象預(yù)測(cè)、火箭發(fā)射等方面獲得了成功，前景十分誘人。
我國(guó)研究模糊數(shù)學(xué)雖然只有短短幾十年，但這門新興的學(xué)科發(fā)展極快，表現(xiàn)出了強(qiáng)大的生命力。目前，該學(xué)科在工業(yè)、農(nóng)業(yè)和國(guó)防技術(shù)的應(yīng)用方面，已經(jīng)初露鋒芒！
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：原點(diǎn)閱讀 （ID：tupydread），作者：張遠(yuǎn)南 張昶，編輯：張潤(rùn)昕
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