彩虹也能“生”出小彩虹

生命是近似的藝術(shù)。如果我們考慮生活方方面面的每個細(xì)節(jié)，將永遠(yuǎn)無法取得新進(jìn)展。當(dāng)然，我們需要小心地選擇忽略哪些事情，因?yàn)槿绻切┘?xì)節(jié)里包含眾所周知的魔鬼，他們可能會反過來咬我們一口。

數(shù)學(xué)家們已經(jīng)吃過很多次苦頭了。一個典型的例子是斯托克斯現(xiàn)象（Stokes' phenomenon）。它起源于近二百年前一個關(guān)于彩虹的問題，并衍生出了一個數(shù)學(xué)的子領(lǐng)域。事實(shí)上，今年劍橋匯集了一些這個領(lǐng)域最聰明的人才，就這個話題開展了一個虛擬研究項(xiàng)目。這個問題涉及非常小的量 —— 呈指數(shù)級小。但經(jīng)過時間和空間的推移，這個小量可以按照指數(shù)級增長到很大。了解這些潛在的可以爆炸性增長的量不僅對數(shù)學(xué)、也對從制造噴氣發(fā)動機(jī)到理論物理學(xué)的工程與科學(xué)各個領(lǐng)域都至關(guān)重要。

彩虹之下

這個問題始于 1838 年，當(dāng)時天文學(xué)家喬治?比德爾?艾里（George Biddell Airy）對彩虹很感興趣。

如果足夠幸運(yùn)的話，仔細(xì)觀察彩虹會發(fā)現(xiàn)，在彩虹主體（主虹）下方有一個或幾個不太明顯的弧線，主要是綠色、粉色和紫色。艾里對這些多余的條紋（附屬虹，supernumerary fringes）感興趣，并不是因?yàn)樗麄儽旧?，而是因?yàn)樵诠鈱W(xué)透鏡中也出現(xiàn)了類似的邊緣效應(yīng)。作為一名需要經(jīng)常使用望遠(yuǎn)鏡的天文學(xué)家，艾里想要理解這一現(xiàn)象背后的原因。

艾里函數(shù)

艾里函數(shù) Ai (r) 是下列微分方程的一個解：

它由這個積分給出：

沿著垂直穿過彩虹的坐標(biāo)軸，光的強(qiáng)度與艾里函數(shù)的平方有關(guān)。

在 17 世紀(jì)初，勒內(nèi)?笛卡爾（René Descartes）使用一種將光想象成由射線組成的理論解釋了主彩虹的成因。“但光的射線理論并不能預(yù)測附屬條紋的存在，所以我們不能模擬出它是什么”克里斯?豪斯說，他也是牛頓研究所項(xiàng)目的共同發(fā)起人?！鞍锸褂昧斯獾牟▌永碚摚@種方法自然地導(dǎo)出了附屬條紋?！?/p>

艾里寫下了一個數(shù)學(xué)公式，這個公式現(xiàn)在被稱為艾里函數(shù)（Airy function），從中可以得到主虹和附屬虹的光強(qiáng)，當(dāng)用一個垂直于彩虹的直線坐標(biāo)軸來描述彩虹時，我們還能得到彩虹弧線的位置?！鞍锵胗嬎氵@些多余的條紋在哪里，因?yàn)檫@將有助于改善望遠(yuǎn)鏡的光學(xué)性能?！焙浪拐f。

艾里函數(shù)的問題是很難計算，給定一個特定的 x 值，很難計算出艾里函數(shù)值 Ai (x)。起初，艾里使用求積方法（quadratures），費(fèi)盡心力地計算了 x 從-4 到 4 間隔 0.2 時艾里函數(shù)的值。十一年后，他使用數(shù)學(xué)家奧古斯都?德?摩根（Augustus de Morgan）推薦的方法改進(jìn)了結(jié)果：使用無窮多項(xiàng)級數(shù)的和來對函數(shù)做近似。

指數(shù)的力量

無窮級數(shù)求和的想法乍一看似乎很奇怪，讓我們來看個例子。

考察指數(shù)函數(shù)：

其中 e 是歐拉常數(shù) e=2.718281…

這個函數(shù)由下面這個無窮多項(xiàng)求和的泰勒級數(shù)給出：

級數(shù)的每一項(xiàng)都是變量 x 的冪函數(shù)。

現(xiàn)在給變量 x 賦予任意一個特定值，我們永遠(yuǎn)不能將這個級數(shù)的每一項(xiàng)都加起來（因?yàn)闆]有無限的時間），但是可以對前 n 項(xiàng)求和，得到所謂的部分和。我們得到的結(jié)果是 e^x 的一個近似：n 越大（也就是部分和中包含的項(xiàng)數(shù)越多），這個近似就越精確。事實(shí)上，只要將 n 取得足夠大（即部分和中包含的項(xiàng)足夠多），我們可以得到任意精度的近似值。數(shù)學(xué)上認(rèn)為這個級數(shù)對于所有的 x 都可以收斂到值 f (x)。

舉個例子，現(xiàn)在為了估計 x=2 時 e^x 的值，我們?nèi)?x=2 簡單地計算泰勒級數(shù)（也叫麥克勞林級數(shù)）的前幾項(xiàng)，保留前五項(xiàng)，我們得到：

而函數(shù) f (x) 在 x=2 時的真實(shí)值是 f (2) = e² ≈ 7.4.

所以在這個例子中，甚至只取泰勒級數(shù)的前五項(xiàng)就可以給出 x=2 時函數(shù)值的一個合理近似。

泰勒級數(shù)存在于一整類函數(shù)中。并且泰勒定理可以告訴我們近似值與函數(shù)的真實(shí)值差距有多大。

泰勒的失敗

泰勒級數(shù)在理論上很棒，并且艾里使用與艾里函數(shù)相對應(yīng)的泰勒級數(shù)也確實(shí)可以計算出 x 從-5.6 取到 5.6 時函數(shù)的值。但仍然有一個障礙。盡管艾里函數(shù)的泰勒級數(shù)可以收斂到函數(shù)本身，但它收斂得太慢了?！霸诘玫降谝粋€附屬條紋前，我們甚至需要計算 13 到 14 項(xiàng)”豪斯說，“在 1838 年這非常困難，因?yàn)楫?dāng)時的科學(xué)家不得不用手算，這是不切實(shí)際的。”

為了找到一種更簡單的近似艾里函數(shù)的方法，數(shù)學(xué)家喬治?加布里埃爾?斯托克斯（George Gabriel Stokes）在 1850 年決定冒險使用一個不收斂的級數(shù)做近似。

撒旦級數(shù)

容易想象，不是所有的級數(shù)都收斂在有限值。一個簡單地例子是下面這個級數(shù)：

當(dāng)部分和中包含越來越多項(xiàng)時，得到的結(jié)果也越來越大，最終超過所有的邊界 —— 它們不會接近一個有限值。這個級數(shù)會發(fā)散到無窮大。

發(fā)散級數(shù)像馬戲團(tuán)里的野獸，危險但可以用各種技巧控制。在 1828 年，就在斯托克斯開始研究艾里函數(shù)前不久，挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯?亨里克?阿貝爾（Niels Henrik Abel）就用“魔鬼的發(fā)明”來描述發(fā)散級數(shù)，并且聲稱“任何基于發(fā)散級數(shù)的證明都是可恥的”。

但斯托克斯在尋求對艾里函數(shù)做近似時并沒有被嚇倒。出于對艾里函數(shù)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深入剖析，他開始考慮運(yùn)用發(fā)散級數(shù)。事實(shí)上，發(fā)散級數(shù)給出了一個對艾里函數(shù)很好的近似。

“馴獸”的技巧在于知道從哪里停止。由于斯托克斯使用的級數(shù)發(fā)散到無窮，所以如果部分和中的項(xiàng)數(shù)取得過多，近似值會變得巨大并且遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離對應(yīng)的有限大小的艾里函數(shù)值。但如果部分和的項(xiàng)數(shù)取得剛剛好，那么近似值就會很接近實(shí)際函數(shù)值。

當(dāng)把發(fā)散級數(shù)越來越多的項(xiàng)加起來，我們會得到一個越來越大的結(jié)果，最終發(fā)散至無窮。但是斯托克斯知道對于他使用的發(fā)散級數(shù)，取適當(dāng)多的項(xiàng)可以得到艾里函數(shù)的一個好的近似。

斯托克斯的精妙方法使他能夠“非常方便地”在所求的 x 值處近似得到艾里函數(shù)值，所以他基本上解決了計算出附屬彩虹的問題。下圖藍(lán)色曲線代表實(shí)際的艾里函數(shù)，紅色曲線代表斯托克斯的近似?？梢钥吹郊t線對藍(lán)線的擬合非常接近。僅有的不符出現(xiàn)在 x=0 的附近，在紅色曲線發(fā)散向無窮的中間。

就彩虹而言，這種差異并不重要，因?yàn)槲覀兏信d趣的是艾里函數(shù)在 x=0 左側(cè)代表附屬虹的行為。

這里，“漸進(jìn)”這個詞代表近似只在 x 為足夠大的正數(shù)和足夠小的負(fù)數(shù)時有效。（類似于我們在學(xué)校中學(xué)過的直線漸近線。這里給出了漸進(jìn)的嚴(yán)格定義。）

盡管成功解決了問題，斯托克斯卻并不滿意。他的近似的兩部分由兩個十分不同的數(shù)學(xué)公式描述（在上圖給出），令斯托克斯十分困擾?！八雇锌怂瓜胫赖氖?，如何從一個表達(dá)式過渡到另一個?！焙浪拐f，“從 1850 年到 1902 年，這個問題一直困擾著他?！彼雇锌怂棺罱K給出的答案顯示，當(dāng)涉及到漸進(jìn)近似時，微小的指數(shù)項(xiàng)可以突然出現(xiàn)然后增長到占據(jù)支配地位。各中詳情，請聽下回分解。

原文鏈接：

• https://plus.maths.org/content/stokes-phenomenon-asymptotic-adventure

翻譯內(nèi)容僅代表作者觀點(diǎn)，不代表中科院物理所立場

本文來自微信公眾號：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Marianne Freiberger，翻譯：藏癡，審校：zhenni

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