英國數(shù)學家對數(shù)學發(fā)展的貢獻是在獨創(chuàng)性方面。布爾的就是一個典型的例子。布爾的邏輯代數(shù)迅速發(fā)展成為純數(shù)學的一個主要分支。各國數(shù)學家們把它擴展到一切數(shù)學領(lǐng)域。伯特蘭?羅素說：
純數(shù)學是布爾在 1854 年出版的他的《思維規(guī)律》一書中發(fā)現(xiàn)的。
這表明了數(shù)學邏輯及其分支在今天的重要程度。布爾以前的其他人，特別是萊布尼茨和德?摩根，曾經(jīng)夢想過要把邏輯本身加進代數(shù)的領(lǐng)域。布爾將它變成了現(xiàn)實。
布爾于 1815 年 11 月 2 日出生在英格蘭的林肯，是一個小店主的兒子，屬于社會底層。當時英國學校里學生的目標是將來擔任當時開始流行的工廠和礦山的工頭。這些學校不是為布爾這類人設(shè)立的。布爾進的“國立學?！保饕康脑谟诎迅F人留在適合他們的卑賤地位上。布爾所處的時代，懂得一點點可憐的拉丁文，或者再稍微懂一點希臘文，是一個上等人的標記。說來奇怪，靠死記硬背記住拉丁文的句法，卻被認為是最有用的腦力訓練。
布爾也趨之若鶩地作了一個可悲的錯誤判斷，他認定，想要走出困境，必須學習拉丁文和希臘文。事實是，拉丁文和希臘文與他窮困的原因毫無關(guān)系。到 12 歲時，布爾已經(jīng)掌握了足夠的拉丁文，能夠把一首賀拉斯的詩翻譯成英文詩了并在地方報紙上發(fā)表了它。這引起了一場文化上的爭吵，部分是對布爾的贊揚，部分是對他的羞辱。
布爾最早的數(shù)學教育來自他的父親，他父親通過自學，遠遠超出了他自己所受的那一點點教育。但是布爾堅持認為古典文學是主宰生活的鑰匙。到 16 歲時，他便被迫贍養(yǎng)自己的父母了，找了一份小學老師的工作。
布爾在兩所小學教了 4 年書。他在資本方面一無所有，掙得的每一個便士，都是用來贍養(yǎng)他的父母和維持自己清貧生活的最低需要了。進軍隊，在當時是他無力辦到的，因為他買不起委任狀。當律師，在財產(chǎn)和教育方面都有明顯的要求，而他不可能滿足這些要求。還有什么呢？只有教會了，布爾決定當一名教士。但是在貧窮的折磨下，布爾放棄擔任教士職位的一切想法。但是他為理想生涯所作的 4 年私下準備，并沒有完全白費；他精通了法語、德語、意大利語。
幾經(jīng)周折，布爾在 20 歲時開辦了自己的一所私人學校。在給他的學生們教授數(shù)學的過程中，布爾對數(shù)學產(chǎn)生了興趣。當時那些平庸的、令人討厭的教科書，先是使他驚訝，然后是激起他的輕蔑。這些東西算是數(shù)學嗎？難以置信。同阿貝爾和伽羅瓦一樣，布爾直接到原始的數(shù)學大陸去尋找真正的數(shù)學。他只受過初步的數(shù)學訓練，但他靠自己的努力，掌握了拉普拉斯的《天體力學》，而這是拉普拉斯最深奧的杰作之一。他還對拉格朗日的非常抽象的《分析力學》，作了徹底的研究。他甚至憑自己的努力，沒有任何人指導，作出了他對數(shù)學的第一個貢獻 —— 寫出一篇關(guān)于變分法的論文。
布爾從他這段孤獨的研究中，取得了另一項成就，他發(fā)現(xiàn)了不變量。要是沒有不變量的數(shù)學理論，相對論就是不可能的。布爾之所以能看出其他人忽略的東西，無疑是由于他對于代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強烈的感覺。
可以指出，代數(shù)的現(xiàn)代概念開始于英國。皮科克在 1830 年發(fā)表了他的《代數(shù)論文》，當時被視為多少有些異端的新奇東西，它在今天已成為任何一本教科書中的常識了。皮科克徹底拋棄了我們在初等代數(shù)中看到的在諸如 x+y=y+x，xy=yx，x（y+z）=xy+xz 等關(guān)系中 x，y，z，… 必然 "代表數(shù)" 這種觀念。它們并不必須代表數(shù)，這正是關(guān)于代數(shù)及其應用的一件最重要的事情。x，y，z，… 僅僅是按照一些運算結(jié)合在一起的任意符號。
如果不了解代數(shù)本身只不過是一個抽象系統(tǒng)，那么代數(shù)可能仍然牢固地停留在 18 世紀的算術(shù)泥淖中，而不能在哈密頓指引下朝它的極為有用的現(xiàn)代變種前進。代數(shù)的這個革新給布爾提供了他的第一次機會。他獨創(chuàng)性地指出，把數(shù)學運算的符號與它們據(jù)以運算的東西分開，并研究這些運算本身。它們是怎樣結(jié)合的？它們也受某種符號代數(shù)的支配嗎？他在這方面的研究是極其有意義的，但是他另一項偉大的貢獻，即創(chuàng)立一種簡單可行的符號體系或者說數(shù)理邏輯體系，使這項工作相形見絀。
為了介紹布爾杰出的發(fā)現(xiàn)，我們稍稍偏離一下主題。19 世紀有兩個知名的哈密頓，一個是愛爾蘭數(shù)學家威廉?羅恩?哈密頓，另一個是蘇格蘭哲學家威廉?哈密頓。善于辭令的哲學家哈密頓最后成了愛丁堡大學的邏輯學和形而上學教授。愛爾蘭的哈密頓則成為了 19 世紀富于獨創(chuàng)性的數(shù)學家。
蘇格蘭的哈密頓太愚鈍，在學校時沒有學到比初等數(shù)學更多的東西，而他的弱點正是自認為無所不知，當他開始講授和寫作關(guān)于哲學的東西時，他告訴世界，數(shù)學是多么沒有價值。
數(shù)學使頭腦僵死和干涸；過度研究數(shù)學使頭腦完全喪失哲學和生活所需要的智力；數(shù)學根本無助于養(yǎng)成邏輯習慣；在數(shù)學上，遲鈍于是被提升為才能，而才能降格為無能；數(shù)學可以扭曲頭腦，但永遠不會糾正頭腦。
英國數(shù)學史上一位重要的人物德?摩根出場了，他是有史以來最老練的辯論家之一，一個精力充沛的數(shù)學家，為布爾開路的偉大的邏輯學家。
德?摩陷入與哈密頓關(guān)于其 " 謂項的量化 " 的的爭論（沒有必要解釋這個神秘的東西是什么或曾經(jīng)是什么）。德?摩根對演繹法作出了真正的貢獻，但哲學家哈密頓認公開指責德?摩根竊取了自己的成果，于是戰(zhàn)斗開始了。在德?摩根方面，辯論是一種愉快的嬉戲。德?摩根從來不發(fā)火；哈密頓從未學會不發(fā)脾氣。
如果這僅僅是關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭吵中的一次，就不值得一提了。其歷史上的重要性在于，布爾那時是德?摩根的堅定的支持者。當時布爾仍然在小學教書，他知道德?摩根是正確的，哈密頓錯了。所以，在 1848 年，布爾出版了薄薄的一本《邏輯學的數(shù)學分析》。
這本小冊子受到德?摩的強烈贊揚。這本小冊子只是對在 6 年以后出現(xiàn)的更偉大的東西的預告。與此同時，布爾拒絕了去劍橋接受正統(tǒng)數(shù)學訓練的建議。他繼續(xù)在小學教書，因為他的父母完全靠他供養(yǎng)。
1849 年，最后他被任命為新近成立的女王學院的數(shù)學教授。他做了各種各樣值得注意的數(shù)學工作，但他主要努力的是繼續(xù)使他的杰作（符號邏輯）趨于完善。1854 年，39 歲的布爾發(fā)表了這一杰作 ——《對于奠定邏輯和概率的數(shù)學理論基礎(chǔ)的思維規(guī)律的研究》。
下面摘錄的幾段將使我們對布爾的風格及其工作領(lǐng)域有所了解，
這篇論文的目的，是研究那些據(jù)以進行推理的心算的基本規(guī)律；用微積分學語言來表達它們，并在這個基礎(chǔ)上建立邏輯科學，構(gòu)造它的方法；使這個方法本身成為應用于概率的數(shù)學原理之一般方法的基礎(chǔ)；最后，從在這些探索過程中發(fā)現(xiàn)的各種真理的成分中，收集一些可能與自然和人類思維的構(gòu)成有關(guān)的提示……
確實存在某些建立在語言本身特點上的一般原則，據(jù)以決定作為科學語言要素的符號的用途。在一定程度上，這些要素是任意的。它們的解釋純粹是常規(guī)的∶我們可以在我們愿意的任何意義上應用它們。但是這個許可受到兩個必不可少的條件的限制 —— 第一，一旦這個意義常規(guī)地建立起來了，我們在推理的同一過程中，決不能背離它；第二，指導過程的法則應該完全建立在所用符號的上述固定意義上。與這些原則一致，在邏輯的符號法則和代數(shù)的符號法則之間建立起來的任何一致，都只能得出過程一致的結(jié)果。解釋的這兩個領(lǐng)域仍然是分開的和獨立的，每一個領(lǐng)域都服從于它自己的法則和條件。
下面幾頁的實際研究，在它的實用方面，把邏輯展示為借助于有確定解釋的符號的幫助而實施的過程體系，并且只服從于建立在該解釋基礎(chǔ)上的法則。但是同時，它們表現(xiàn)出那些在形式上與代數(shù)的一般符號相同，只添加了一點，即邏輯符號還得服從于一項特別的法則，就此而論，量的符號無須遵守這條規(guī)律。
布爾把邏輯簡化成極為容易的一類代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當?shù)耐评?，成了對公式的初等運算。于是，邏輯本身就受數(shù)學的支配了。
自從布爾的開創(chuàng)性工作以來，他的偉大發(fā)現(xiàn)已經(jīng)在許多方面被改進和推廣了。今天，在理解數(shù)學的本質(zhì)中，符號或數(shù)學的邏輯都是不可缺少的。如果我們只能利用布爾之前的邏輯方法，那么人類的理智無法對付符號推理所深入到的那些錯綜復雜的困難。布爾的大膽創(chuàng)見是一個里程碑。
自從 1899 年希爾伯特發(fā)表他關(guān)于幾何基礎(chǔ)的杰作以來，人們就已經(jīng)開始關(guān)注幾個數(shù)學分支的公設(shè)的系統(tǒng)闡述。由于希爾伯特的工作，公設(shè)法才得到承認。這個抽象的趨勢曾風行一時，在這一趨勢中，某一特定主題中的運算的符號和規(guī)則完全失去了意義，而是從純形式觀點予以討論，從而忽略了應用，而應用正是人類對于任何科學活動的最終追求。然而，抽象的方法確實提供了無可替代的洞察力，特別是由此非常容易看出布爾的邏輯代數(shù)的簡便性。
因此，我們將敘述布爾代數(shù)（邏輯代數(shù)）的公設(shè)。下面一組公設(shè)是從亨丁頓發(fā)表在《美國數(shù)學學會報》（1933 年）上的一篇文章中摘錄的。
這一組公設(shè)用 K，+，x 表示，其中 K 是一類不確定的（完全任意的，沒有任何預先指定的意義或超出公設(shè)所給出的性質(zhì)）元素 a，b，c，…，而 a＋b 和 a×b 是兩個不確定的二元運算 +，× 的結(jié)果。一共有 10 個公設(shè)，
Ⅰa：如果 a 和 b 在類 K 中，那么 a+b 在類 K 中。
Ⅰb：如果 a 和 b 在類 K 中，那么 ab 在類 K 中。
Ⅱa：有一個元素 Z，使得對于每一個元素 a 有 a+Z=a。
Ⅱb：有一個元素 U，使得對于每一個元素 a 有 aU=a。
Ⅲa：a+b=b+a。
Ⅲb：ab=ba。
IVa：a+bc=(a+b)(a+c)。
Ⅳb：a(b+c)=ab+ac。
V：對于每一個元素 a，有一個元素 a'，使得 a+a'=U，aa'=Z。
Ⅵ：在類 K 中至少有兩個不同的元素。
很容易看出，下面的解釋滿足這些公設(shè)∶a，b，c，… 是一些類；a＋b 是所有那些至少在類 a，b 之一中的東西構(gòu)成的類；ab 是那些既在類 a 中又在類 b 中的東西構(gòu)成的類；Z 是“空類”—— 沒有元素的類；U 是“全類”—— 包含所討論的一切類中的一切東西的類。那么公設(shè) V 說明，對于已知的任何類 a，有一個包含所有那些不在 a 中的東西構(gòu)成的類 a'。注意 Ⅵ 表示 U，Z 不是同一個類。
從這樣一組簡單而明顯的陳述中，整個古典邏輯都能通過由（公設(shè)生成的）代數(shù)用符號建立起來。從這些公設(shè)中發(fā)展出了可以稱為“邏輯方程”的理論∶邏輯中的問題被轉(zhuǎn)換成這樣的方程，然后這些方程用代數(shù)的方法“求解”；然后再按照邏輯數(shù)據(jù)重新解釋這個解，給出原始問題的解答。
關(guān)系 a<b [讀作 a 包含在 b 中] 是由以下方程中的任意一個定義的∶a+b=b，ab=a，a'+b=U，ab'=Z。
為了說明這些是合理的，考慮第二個方程 ab=a。這個方程說，如果 a 包含在 b 中，那么既在 a 中又在 b 中的一切是 a 的全體。
從所述的公設(shè)中，能夠證明以下關(guān)于包含的定理（如果有必要，可以有幾千個更為復雜的定理）。選出來的例子都符合我們對于“包含”的意義的直觀概念。
1. a<a。
2. 如果 a<b，b<c，那么 a<c。
3. 如果 a<b，b<a，那么 a=b。
4. Z<a（其中 Z 是 Ⅱa 中的元素 ———— 可以證明是滿足 Ⅱa 的唯一元素）。
5. a<U（其中 U 是 Ⅱb 中的元素 —— 同樣是唯一的）。
6. a<a+b 并且如果 a<y，b<y，那么 a+b<y。
7. ab<a 并且如果 x<a，x<b，那么 x<ab。
8. 如果 x<a，x<d'，那么 x=Z；并且如果 a<y，a'<y，那么 y=U。
9. 如果 a<b' 不成立，那么至少有一個與 Z 不同的元素 x，使得 x<a，x<b。
注意到在算術(shù)和分析中“<”是“小于”的符號。這種“符號推理”的重要性，在于它可用于與全部數(shù)學的基礎(chǔ)有關(guān)的微妙問題，要不是這個精確方法一勞永逸地確定了“語詞”或其他“符號”的意義，這種問題也許是常人無從著手的。
幾乎像所有的新奇事物一樣，符號邏輯在發(fā)明之后的許多年內(nèi)沒有受到人們的重視。甚至到了 1910 年，著名的數(shù)學家們還輕蔑地稱它為沒有數(shù)學意義的、哲學上稀奇古怪的東西。羅素在《數(shù)學原理》中的工作，首先使一切專業(yè)數(shù)學家們相信，符號邏輯可能是值得他們注意的。這里可以提一下符號邏輯的一個堅定反對者 —— 康托爾。理解了“數(shù)”，也就理解了數(shù)學
布爾于 1864 年 12 月 8 日去世，終年 50 歲。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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