原文標(biāo)題：《給我一個(gè)物理引擎，我也能“預(yù)測(cè)”世界杯？》
世界杯正如火如荼地進(jìn)行，而大力神杯終究會(huì)花落誰(shuí)家，成為了每屆世界杯都被人們津津樂(lè)道的話題。許多專業(yè)機(jī)構(gòu)也不甘落后，紛紛用自己的專業(yè)模型和數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，給出了每支球隊(duì)奪冠的賠率。但你有沒(méi)有想過(guò)，不要 998，只要一個(gè)物理引擎，你也可以在家“預(yù)測(cè)”世界杯？
此預(yù)測(cè)非彼預(yù)測(cè)
看到這個(gè)小標(biāo)題，想必同學(xué)們應(yīng)該也猜到了，小編接下來(lái)為大家介紹的既不是像章魚(yú)保羅這樣的“神獸”式預(yù)測(cè)，也不是專業(yè)預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)那樣神秘的數(shù)據(jù)分析。接下來(lái)，小編將帶領(lǐng)同學(xué)們走入的是元宇宙紀(jì)元下交互版的世界杯預(yù)測(cè)世界??（其實(shí)就是帶大家一起玩實(shí)況啦~）
不知道還有多少同學(xué)知道這樣一句話呢：“歡迎來(lái)到實(shí)況足球 8，國(guó)際版的游戲世界”??實(shí)況 8，相信是整整一代人的足球游戲入坑作，想當(dāng)年小編也曾在其中打造自己的“夢(mèng)之隊(duì)”，去馳騁世界賽場(chǎng)，斬獲一座座獎(jiǎng)杯。
小編再來(lái)考一考，有多少同學(xué)知道拉普拉斯妖呢？這是一只準(zhǔn)確知道宇宙中所有原子的位置和動(dòng)量，并能熟練使用牛頓定律的小妖，其可以通過(guò)力學(xué)定律精確地推演歷史，并預(yù)測(cè)未來(lái)。
讀到這里，相信同學(xué)們已經(jīng)能夠猜地八九不離十了：假如有這樣一個(gè)足球游戲，其能夠真實(shí)地還原每場(chǎng)比賽中的所有物理組成，包括場(chǎng)地、足球以及雙方球員的身體狀況、心態(tài)決策等等，那么我們就成為了這場(chǎng)比賽的“拉普拉斯妖”，并可以通過(guò)模擬這場(chǎng)比賽來(lái)對(duì)真實(shí)的比賽結(jié)果給出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。
腦洞開(kāi)的再大一點(diǎn)，我們甚至可以為比賽雙方都設(shè)置一個(gè)可以“進(jìn)化”的 AI，并讓他們之間不斷對(duì)戰(zhàn)，通過(guò)電腦自己的“左右互搏”而自我進(jìn)化，從而篩選出一套最強(qiáng)的足球戰(zhàn)術(shù)，從而反過(guò)來(lái)在現(xiàn)實(shí)中幫助球隊(duì)所向披靡。
且不論上述黑魔法是否真的能實(shí)現(xiàn)，但不可否認(rèn)的是，現(xiàn)在的足球游戲真的是做的很逼真，不論是各種詭異的足球彈道到人物的表情服飾，都在游戲光影的渲染下與現(xiàn)實(shí)無(wú)異。然而，不知道同學(xué)們有沒(méi)有想過(guò)，電腦中的游戲?yàn)槭裁茨苋绱髓蜩蛉缟卦佻F(xiàn)足球比賽，并且讓玩家可以感受到球員真實(shí)的技術(shù)動(dòng)作以及反應(yīng)呢？下面，就讓小編帶領(lǐng)大家走進(jìn)作為足球游戲支撐的，背后的物理引擎世界吧~??
實(shí)況、FIFA，然后物理引擎
當(dāng)年小編玩的實(shí)況八，大致是這樣一種觀感：
可見(jiàn)，其人物造型仍有點(diǎn)“生疏”，而背后的草地也更像是一塊簡(jiǎn)單的劣質(zhì)貼圖??。再來(lái)看看近幾年（以 FIFA22 為例）的游戲場(chǎng)景：
是不是既真實(shí)又炫酷呢？現(xiàn)在游戲之所以能夠帶來(lái)如此真實(shí)的體驗(yàn)，離不開(kāi)其背后的游戲引擎的支撐。
FIFA22 中使用的游戲引擎是大名鼎鼎的寒霜引擎：
而寒霜引擎中，作為其最基本物理部分引擎的，是 Havok 物理引擎 [1]：
其支持許多對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中物理現(xiàn)象的模擬，并通過(guò)不斷的技術(shù)迭代，使得人物的動(dòng)作更加真實(shí)。
而其更是被應(yīng)用到了很多的 3A 大作中，例如：
而游戲引擎，顧名思義，猶如一款游戲的發(fā)動(dòng)機(jī)，是一個(gè)游戲的核心部件。游戲中例如足球的滾動(dòng)、球員們的對(duì)抗與碰撞，都是基于其主管物理的部分：物理引擎而實(shí)現(xiàn)的。而在物理引擎的底層，其也蘊(yùn)含著十足的硬核物理原理。同學(xué)們不妨跟著小編一起看下去，去踢一場(chǎng)“最硬核”的世界杯吧！??
物理引擎：剛體動(dòng)力學(xué)、碰撞檢測(cè)與約束
一個(gè)成熟的物理引擎，其核心主要包括以下三大部分 [2]:
1.剛體動(dòng)力學(xué)部分
2.碰撞檢測(cè)部分
3.約束部分
通過(guò)以上三個(gè)流程，物理引擎可以用如下圖所示的一個(gè)循環(huán)來(lái)迭代計(jì)算每個(gè)物體的位置和速度信息，當(dāng)?shù)俣茸銐蚩烨业Y(jié)果足夠精確時(shí)，顯示到屏幕上的物體運(yùn)動(dòng)就可以稱得上“栩栩如生”了。
物理引擎中的核心循環(huán)，通過(guò)一系列符合物理法則的迭代計(jì)算更新物體的信息，從而使得游戲世界栩栩如生
下面，讓小編逐一為大家進(jìn)行介紹。
剛體動(dòng)力學(xué)
首先，要讓計(jì)算機(jī)知道在游戲場(chǎng)景中，哪個(gè)地方存在一個(gè)什么樣的物體，它是如何運(yùn)動(dòng)的，我們需要找到一種合適的方式來(lái)對(duì)于物體的形狀、位置、速度等進(jìn)行描述。在建模過(guò)程中，一個(gè)復(fù)雜的物體經(jīng)?？梢砸暈樵S許多多相對(duì)簡(jiǎn)單的剛體的組合，作為 building blocks, 我們首先考察剛體動(dòng)力學(xué)。
剛體 (rigid body)，被定義為形變?yōu)?0 的物體，其上任意兩點(diǎn)之間的距離，無(wú)論剛體如何運(yùn)動(dòng)，都是不變的 [3]。在中學(xué)物理中，相信同學(xué)們都學(xué)習(xí)過(guò)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)，其由牛頓三定律描述 [4]：
牛頓三定律
從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)給我們的啟發(fā)，在研究剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)，我們也嘗試借鑒描述質(zhì)點(diǎn)時(shí)的成功經(jīng)驗(yàn)，并在其上進(jìn)行進(jìn)一步擴(kuò)充，以便正確描述一個(gè)有形狀有體積的剛體。鑒于剛體有著以一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)的特征，我們可以首先定義其質(zhì)心：
質(zhì)心
其中，求和對(duì)應(yīng)于剛體質(zhì)量離散分布，而積分對(duì)應(yīng)連續(xù)質(zhì)量分布的剛體。
顧名思義，質(zhì)心就是剛體質(zhì)量的中心，凡是與剛體平動(dòng)有關(guān)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，都可以用質(zhì)心來(lái)代替。而質(zhì)心也有很多有趣的性質(zhì)，例如下圖，如果一只玩具鳥(niǎo)的質(zhì)心正好被設(shè)計(jì)在嘴部，則人可以用一只手指將其托起而不至翻倒。
但與此同時(shí)，由于剛體可以視為一系列質(zhì)點(diǎn)的集合，其在空間存在一定的分布，所以如果僅僅使用質(zhì)心來(lái)描述其動(dòng)力學(xué)特性是不夠的，我們還要研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。
為了研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，首先明確以下約定和記號(hào) [6]：如下圖，假設(shè) XYZ 是我們進(jìn)行觀察的實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系（固定坐標(biāo)系），而 x1x2x3 為固定在剛體上并隨之一起平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系（稱之為動(dòng)坐標(biāo)系），圖中一些約定如下：
約定與記號(hào)
則剛體的任何一個(gè)無(wú)窮小位移:
可以表示為一個(gè)隨著其質(zhì)心的無(wú)窮小平動(dòng)
以及一個(gè)繞著動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)
之和：
剛體無(wú)窮小位移
這樣，剛體上任意一點(diǎn)的位置就可以被我們方便地描述了。下面，對(duì)上式逐項(xiàng)進(jìn)行求導(dǎo)，來(lái)考察剛體上各點(diǎn)的速度：
其分別為剛體上某一點(diǎn)對(duì)于固定坐標(biāo)系的速度，剛體質(zhì)心的平動(dòng)速度以及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。由此可見(jiàn)，剛體上任意一點(diǎn)的速度可以用剛體平動(dòng)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度來(lái)分解：
下面研究剛體的受力與運(yùn)動(dòng)方程：首先，處理平動(dòng)部分，并假設(shè)剛體的總質(zhì)量為
則有
進(jìn)一步，則有剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：
剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程
這與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是一致的，而這個(gè)結(jié)果也再次驗(yàn)證了上文所說(shuō)的，通過(guò)使用質(zhì)心來(lái)描述剛體平動(dòng)的合理性。
為了描述轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，首先定義剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量：
轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量
上式對(duì)應(yīng)于離散情況，對(duì)連續(xù)質(zhì)量分布情況，只需要將各個(gè)分量用如下積分代替：
進(jìn)而，可以定義剛體的內(nèi)稟角動(dòng)量
不妨選擇慣性參考系使得剛體質(zhì)心速度在該參考系中為 0（這一點(diǎn)總可以做到），并定義剛體的總力矩
則有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)方程：
剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程
碰撞檢測(cè)
現(xiàn)在我們已經(jīng)知道如何描述一個(gè)剛體的位置以及運(yùn)動(dòng)了，但游戲場(chǎng)景中通常存在許許多多的物體，根據(jù)平時(shí)物理世界的直覺(jué)，如果兩個(gè)物體相向而行，則其必定會(huì)在某個(gè)時(shí)刻相撞而彈開(kāi)。在物理引擎中，專門(mén)有碰撞檢測(cè)的算法來(lái)處理這一問(wèn)題。
一般，對(duì)于物體的碰撞檢測(cè)分為兩個(gè)階段進(jìn)行，第一部分是較為粗糙的 Broad-Phase 部分，而第二部分是較為細(xì)致的 Narrow-Phase 部分。首先，看 Broad-Phase 檢測(cè) [7]：
在 Broad-Phase 檢測(cè)中，就是先粗略地估計(jì)兩個(gè)物體有沒(méi)有可能相撞，來(lái)為之后的 Narrow-Phase 檢測(cè)減少工作量。首先，定義物體的 Bounding Volume[8]: 能完全包住該物體的最小長(zhǎng)方體的體積。
最常用的 Bounding Volume 方法有 AABB(axis-aligned bounding boxes), OBB(oriented bounding boxes), 和 Bounding Circle/Sphere，其示意分別如下圖所示：
其中最常用，也是最節(jié)省計(jì)算資源的是第一種，為 AABB，在這一種 Bounding 方式下，判斷兩個(gè)物體是否可能發(fā)生碰撞，只需要檢測(cè)包圍住這兩個(gè)物體的長(zhǎng)方體有沒(méi)有可能發(fā)生碰撞，從而將不規(guī)則物體碰撞的預(yù)檢測(cè)化為了規(guī)則的長(zhǎng)方體之間重合的檢測(cè)。
在檢測(cè)是否有碰撞發(fā)生時(shí)，通常采用 Sweep and Prune 方法 [9]，其大意如下：在 AABB 方法下，在每個(gè)坐標(biāo)軸上將每個(gè)物體所占有的長(zhǎng)度的兩端標(biāo)記為 (b,e)，如下圖，以 x 軸為例：
分別在坐標(biāo)軸上標(biāo)記了三個(gè)物體在 AABB 方法下的邊界，并產(chǎn)生了三個(gè) (b,e) 對(duì)：
如此，對(duì)于任意兩個(gè)物體 i 和 j，如果判定下列不等式之一成立：
即判定這兩個(gè)物體有可能（即將或者已經(jīng)在）發(fā)生碰撞。
例如上面橫著的葡萄和足球，就滿足
這個(gè)不等式，而從圖中也可以看出，在 x 軸上，這兩個(gè)物體的投影也確實(shí)是有重合的。
在進(jìn)行完 Broad-Phase 檢測(cè)后，我們就挑選出了所有可能存在碰撞情況的物體對(duì)，并只需要對(duì)于這些物體對(duì)進(jìn)行更為細(xì)致的 Narrow-Phase 檢測(cè)，其簡(jiǎn)介如下：
首先，考察一個(gè)物體的凹凸性，由于凸多面體有著更為方便的碰撞檢測(cè)特點(diǎn)，所以我們期望更多地使用凸多面體去近似實(shí)際的物理物體。
凸多面體可以被定義為，一個(gè)幾何體內(nèi)任意兩點(diǎn)所連線段都落在該幾何體內(nèi)的多面體。而凹多面體則反之，存在一條幾何體兩點(diǎn)連線，其不能完全包含在該幾何體內(nèi)。
可見(jiàn)，凸多面體存在著相較于凹多面體規(guī)則地多的形狀，這也是為什么凸多面體在實(shí)際計(jì)算中更好判斷是否發(fā)生碰撞的部分原因。但幸運(yùn)的是，通過(guò) Quickhull 算法 [10]，我們可以方便地生成任意一個(gè)凹多面體的凸多面體逼近：
現(xiàn)在我們面對(duì)的問(wèn)題就簡(jiǎn)化成了如何細(xì)致判斷兩個(gè)凸多面體是否發(fā)生碰撞。一種直觀的想法是逐點(diǎn)判斷兩個(gè)物體的輪廓，是否有存在一個(gè)多邊形的某個(gè)點(diǎn)被另一個(gè)多邊形的所有邊界點(diǎn)所包圍。但在實(shí)際物理引擎中，通常使用更為優(yōu)化的計(jì)算方法，以平衡計(jì)算開(kāi)支。其中一種較為方便的方法稱為 Separating Axis Theorem(SAT)，其基本原理是 [11]：對(duì)于兩個(gè)凸多面體，其不相交的條件是存在一條直線，使得兩者在該直線上的投影不相交。
例如，上圖六邊形與梯形，存在一條投影軸 (Axis) 使得兩者在其上的投影不相交，則判定這兩個(gè)物體沒(méi)有發(fā)生碰撞，這也與直接的直觀認(rèn)知是一致的。
現(xiàn)在我們知道了如何判定兩個(gè)物體有沒(méi)有碰撞，那么，假如兩個(gè)物體發(fā)生了碰撞，其碰撞之后的情況又是什么樣的呢？下面以質(zhì)點(diǎn)碰撞為例，說(shuō)明物理引擎對(duì)于碰撞的處理。
碰撞可以分為彈性碰撞與非彈性碰撞（包含完全非彈性碰撞和部分彈性碰撞），首先，看彈性碰撞，對(duì)于兩個(gè)理想球體發(fā)生彈性碰撞，其過(guò)程中動(dòng)量和能量都守恒，設(shè)其質(zhì)量分別為 m1 和 m2，初始速度分別為 u1 和 u2，碰撞后速度為 v1 和 v2，則有 [12]：
對(duì)于非彈性碰撞，定義恢復(fù)系數(shù)
恢復(fù)系數(shù)
則有碰撞后速度：
可以看出，恢復(fù)系數(shù)為 0 對(duì)應(yīng)完全非彈性碰撞，而其為 1 對(duì)應(yīng)為完全彈性碰撞。恢復(fù)系數(shù)通常與兩個(gè)碰撞物體的材質(zhì)以及物理特性有關(guān)，是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)的參數(shù)，需要對(duì)兩兩物體間分別設(shè)定。
看到這里，兩個(gè)物體在物理引擎中是如何判定是否發(fā)生碰撞的，以及如果其發(fā)生了碰撞后如何繼續(xù)演化就被我們以至少一種可行的方式弄清楚了。但僅僅知道上述內(nèi)容還不足以完成一個(gè)完整的物理引擎，這是因?yàn)樵趯?shí)際的物理世界中，處處都存在著約束條件 [15]，例如一個(gè)小物塊從斜坡上滑下，其在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必須保持自身處于斜面之上，而不能突然穿入斜面或者飛到天上去。
下面就讓我們一起來(lái)看看，物理引擎中所用到的約束吧。
約束
從上文的討論可知，約束通常意味著真實(shí)的物理情形對(duì)于物體位置和速度的限制，使之不會(huì)出現(xiàn)反常、反直覺(jué)的現(xiàn)象（例如游戲中偶爾出現(xiàn)的穿模 bug，就是約束沒(méi)算好??）
那么，在物理引擎中，約束是如何進(jìn)行計(jì)算的呢？下面用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行說(shuō)明：
例如，對(duì)于一個(gè)在碗里的小球，我們把小球從碗的邊緣釋放，使之在碗中自由運(yùn)動(dòng)。
把碗的內(nèi)壁簡(jiǎn)化為一個(gè)半球面，并不妨設(shè)其半徑為 R，并把小球簡(jiǎn)化成質(zhì)點(diǎn)的話，則不難得到如下的約束：
其含義是小球到上圖坐標(biāo)系原點(diǎn) O 的距離始終是碗的半徑，也就對(duì)應(yīng)著小球被約束在碗壁上這一物理實(shí)在。
下面，將上述約束寫(xiě)為更形式化的形式：
其中，C (r) 被稱為約束方程，其等價(jià)于上面的約束條件。將該約束方程與最開(kāi)始部分的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)立，即得到了對(duì)于物體的準(zhǔn)確描述。而在物理引擎求解約束這一部分，則相應(yīng)的需要對(duì)在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)的違反約束的位形進(jìn)行修正，通常采用人為引入一個(gè)約束力的方式進(jìn)行，以保證最后不出現(xiàn)不合常理的游戲情形。(媽媽再也不用擔(dān)心我的穿模啦??)
最后...
相信通過(guò)上文的學(xué)習(xí)，同學(xué)們一定已經(jīng)對(duì)物理引擎有了一個(gè)較為基礎(chǔ)的了解了??，不過(guò)當(dāng)然，就像鳥(niǎo)兒飛翔不需要懂空氣動(dòng)力學(xué)一樣，同學(xué)們不必知道游戲引擎的每一個(gè)原理也可以暢玩游戲，但作為當(dāng)今世界傳播最廣的娛樂(lè)方式之一，游戲，其核心：游戲引擎，尤其是物理引擎，卻大量應(yīng)用了最基本的物理原理。正是由于物理定律對(duì)于真實(shí)世界的精確描述，人們才得以在計(jì)算機(jī)構(gòu)建的世界中搭建一個(gè)栩栩如生的舞臺(tái)，在其上有列國(guó)紛爭(zhēng)、異世冒險(xiǎn)、激情賽道、鷹擊長(zhǎng)空、實(shí)況足球等等等等，但小編也希望同學(xué)們?cè)诳赐赀@篇科普后，也能在以后再次打開(kāi)實(shí)況八的時(shí)候，或多或少地想到，作為游戲核心支撐的物理定律，其強(qiáng)大的威力以及其無(wú)盡的魅力。而至于開(kāi)頭說(shuō)的拉普拉斯妖式預(yù)測(cè)可能還有很長(zhǎng)的路要走，但左右互搏術(shù)的思想已經(jīng)被用于多種情景中，例如大名鼎鼎的 Alpha Go Zero。
最后，希望同學(xué)們既能夠享受游戲，也能夠享受本屆世界杯的無(wú)窮魅力，就像 1998 年法國(guó)世界杯主題曲所唱一樣，"Here we go, 啊嘞啊嘞啊嘞，GOGOGO，啊嘞啊嘞啊嘞 "??
參考資料：
向上滑動(dòng)閱覽
[1]: 寒霜引擎_百度百科 (baidu.com)
[2]: Video Game Physics Tutorial | Toptal
[3]: Rigid body - Wikipedia
[4]: 牛頓運(yùn)動(dòng)定律（物理定律）_百度百科 (baidu.com)
[5]: Center of mass - Wikipedia
[6]: 朗道理論物理教程 (卷 01)，《力學(xué)》(第 5 版)，[俄] 朗道、栗弗席茲，李俊峰、鞠國(guó)興 (譯)，高等教育出版社，2007
[7]:Chapter 32. Broad-Phase Collision Detection with CUDA | NVIDIA Developer
[8]: Bounding volume - Wikipedia
[9]: Sweep and prune - Wikipedia
[10]: Quickhull - Wikipedia
[11]: Hyperplane separation theorem - Wikipedia
[12]:Elastic collision - Wikipedia
[13]: Coefficient of restitution - Wikipedia
[14]: Inelastic collision - Wikipedia
[15]: Constraint (classical mechanics) - Wikipedia
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Callo
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