想要對(duì)幾何學(xué)作一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹v解是不容易的。因?yàn)檫@個(gè)數(shù)學(xué)分支的基本概念要么太簡(jiǎn)單，無(wú)需解釋，例如，沒(méi)有必要在這里來(lái)講什么是圓，什么是直線，什么是平面等等；要么就比較高深。然而，如果沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這些高深的概念，對(duì)于現(xiàn)代幾何學(xué)將一無(wú)所知。那么，要是懂得了兩個(gè)基本概念，收獲一定會(huì)大得多。這兩個(gè)概念就是∶幾何學(xué)與對(duì)稱性的關(guān)系，以及流形的概念。
幾何學(xué)與對(duì)稱群
廣泛地說(shuō)，幾何學(xué)就是數(shù)學(xué)里使用幾何語(yǔ)言的那一部分，諸如“點(diǎn)”，“直線”，“平面”，“空間”，“曲線”，“球”，“立方體”，“距離”，還有“角”，都是幾何中基本且關(guān)鍵的概念。但是，還有一個(gè)更深刻的觀點(diǎn)，就是克萊因所主張的，認(rèn)為變換才是這門學(xué)科的真正核心。所以，除了上面列舉的那些詞以外，還要加上“反射”、“旋轉(zhuǎn)”、“平移”、“拉伸”、“剪切”和“投影”這些詞。還有稍微進(jìn)階的概念，例如“保角映射”或者“連續(xù)變形”。
變換總是和群在一起，因此幾何學(xué)與群論就有密切的關(guān)系。給定了一個(gè)變換群，就有一種相應(yīng)的幾何學(xué)。特別是，若一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)此群中的一個(gè)變換能夠變成另一個(gè)圖形，就說(shuō)它們是等價(jià)的。不同的群會(huì)導(dǎo)出不同的等價(jià)概念。下面就要簡(jiǎn)短地描述一下最重要的幾何學(xué)以及與之相關(guān)的變換群。
歐幾里得幾何學(xué)
歐幾里得幾何就是絕大多數(shù)人所認(rèn)為的“普通的幾何學(xué)”。例如，三角形的內(nèi)角和為 180° 這個(gè)定理就屬于歐幾里得幾何學(xué)。
要想從變換的角度來(lái)看待歐幾里得幾何，就要先說(shuō)明是在多少維的空間里進(jìn)行研究的，當(dāng)然也必須指定一個(gè)變換群。一個(gè)典型的變換是剛性變換?？梢杂脙蓚€(gè)方法來(lái)考慮這種（剛性）變換。其一是，剛性變換就是在平面里、三維空間里，或者更為一般是在 R^n 里的保持距離不變的變換。就是說(shuō)，給定兩個(gè)點(diǎn) x 與 y，若一個(gè)變換 T 使得 Tx 和 Ty 的距離等于 x 和 g 的距離，就說(shuō) T 是一個(gè)剛性變換。
后來(lái)發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)這樣的變換都可以用旋轉(zhuǎn)、反射和平移的復(fù)合來(lái)實(shí)現(xiàn)。這就給了第二種也是比較具體的思考這個(gè)群的方法。換句話說(shuō)，歐幾里得幾何研究的就是那些在旋轉(zhuǎn)、反射和平移下不變的概念，這些概念里就包括了點(diǎn)、直線、平面、圓、球、距離、角、長(zhǎng)度、面積和體積。R^n 中的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成了一個(gè)重要的群∶特殊正交群，記作 SO（n）。更大一點(diǎn)的正交群 O（n）還把反射也包括進(jìn)去了。
仿射幾何學(xué)
除了旋轉(zhuǎn)和反射以外還有許多別的線性映射。如果把 SO（n）或者 O（n）放大，使之把盡可能多的這些線性變換也包括進(jìn)來(lái)，又會(huì)發(fā)生什么？要使一個(gè)變換成為群的元素，它就必須是可逆的，但并非所有線性變換都是如此，所以一應(yīng)該考察的群就是由 R^n 的所有可逆的線性變換所成的群 GL_n（R）。所有這些變換都令原點(diǎn)不動(dòng)。但如果我們?cè)敢猓€可以把平移也加進(jìn)來(lái)得到一個(gè)更大的群，就是包括所有形如 x → Tx＋b 的變換所成的群。這里 b 是一個(gè)固定的向量，而 T 是一個(gè)可逆的線性變換。這樣得到的幾何學(xué)稱為仿射幾何學(xué)。
因?yàn)榫€性映射中還包括了拉伸和剪切，它們既不能保持距離也不能保持角度，所以距離和角度都不是仿射幾何學(xué)的概念。然而，經(jīng)過(guò)可逆的線性映射和平移以后，點(diǎn)、直線、平面仍然是點(diǎn)、直線、平面，所以這些概念都屬于仿射幾何學(xué)。另一個(gè)仿射概念是兩條直線的平行（就是說(shuō)，雖然線性映射一般并不保持角度不變，但是，角度為零卻得到了保持）。這意味著雖然在仿射幾何學(xué)中沒(méi)有矩形或正方形這樣的東西，卻可以討論平行四邊形。類似地，雖然不能討論圓，卻可以討論橢圓，因?yàn)榫€性映射總是把橢圓變?yōu)闄E圓。
拓?fù)鋵W(xué)
與一個(gè)群相聯(lián)系的幾何學(xué)“研究的是被此群的所有變換保持的概念”這個(gè)思想可以用等價(jià)關(guān)系搞得更加確切。令 G 是 R^n 中的一個(gè)變換群。可以把一個(gè) d 維“圖形”看成是 R^n 的一個(gè)子集合 S。在研究 G 幾何學(xué)的時(shí)候，并不把 S 和從它經(jīng)過(guò) G 中的變換得來(lái)的集合相區(qū)別。所以這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)圖形是等價(jià)的。例如，兩個(gè)圖形在歐幾里得幾何中為等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)谕ǔ５囊饬x下是全等的，而在二維仿射幾何學(xué)里，所有的平行四邊形都是等價(jià)的，所有的橢圓也都是等價(jià)的?？傊覀兛梢哉J(rèn)為 G 幾何學(xué)的基本對(duì)象是圖形的等價(jià)類，而不是圖形本身。
拓?fù)鋵W(xué)可以認(rèn)為是當(dāng)應(yīng)用最寬松的等價(jià)概念所得到的幾何學(xué)，其中我們說(shuō)兩個(gè)圖形是等價(jià)的，或者用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)是同胚的，如果二者的每一個(gè)都可以“連續(xù)變形”為另一個(gè)。例如，球和立方體就是在這個(gè)意義下等價(jià)的，如下圖所示
因?yàn)榇嬖诤芏嗪芏嗟倪B續(xù)變形，要想說(shuō)兩個(gè)圖形在這個(gè)意義下不等價(jià)就很難了。例如，似乎很明顯，球面不能連續(xù)變形為一個(gè)環(huán)面，因?yàn)樗鼈兪潜举|(zhì)不同的圖形 —— 一個(gè)有“洞”，一個(gè)沒(méi)有。然而，把這種直觀變成嚴(yán)格的論證并非易事。更詳細(xì)的涉及不變式、代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)?。我們后面慢慢討論?/p>
球面幾何學(xué)
至此，我們一直是在逐步放松對(duì)于兩個(gè)圖形為等價(jià)的要求，允許越來(lái)越多的變換?，F(xiàn)在我們要再次收緊，考慮球面幾何學(xué)?，F(xiàn)在的宇宙不再是 R^n 而是 n 維球面 S^n，即半徑為 1 的（n＋1）維球體的表面，或者用代數(shù)方法來(lái)表示，即 R^（n+1）中適合方程
的點(diǎn)（x_1，x_2，…，x_n+1）的集合。正如 3 維球體的表面是 2 維的一樣，這個(gè)集合則是 n 維的。我們將只討論 n=2 的情況，但是很容易推廣到更大的 n。
現(xiàn)在適當(dāng)?shù)淖儞Q群是 SO（3），它是由所有這樣的旋轉(zhuǎn)組成，這些旋轉(zhuǎn)的軸是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線（也可以允許反射而取 O（3），它們是球面 S^2 的對(duì)稱；在球面幾何學(xué)里就這樣來(lái)看待它們，不把它們看成整個(gè) R^3 中的變換）。
在球面幾何學(xué)中有意義的概念有直線、距離和角。限制在球體表面上而又談?wù)撝本€，這看起來(lái)有些奇怪，但是，“球面直線”并不是通常意義下的直線，而是 S^2 用如下方法得出的子集合∶用一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)（球心）的平面與 S^2 相交所成的子集合（叫做大圓），即半徑為 1 的圓，就是球面直線。
把大圓看成某種直線的重要理由還在于 S^2 上的兩點(diǎn) x，y 之間最短的路徑就是大圓，當(dāng)然，路徑要限制位于 S^2 上。
兩點(diǎn) x 和 y 之間的距離定義為連接 x 和 y 而且完全位于 S^2 上的最短路徑的長(zhǎng)度。至于兩條球面直線之間的角又如何定義？球面直線是定義為一個(gè)平面與 S^2 的交線，所以兩條球面直線的交角可以定義為這兩個(gè)平面在歐幾里得幾何學(xué)意義下的角。還有一個(gè)從審美角度來(lái)看的觀點(diǎn)，它完全不涉及球面以外的東西。這個(gè)看法就是在這兩條球面直線的兩個(gè)交點(diǎn)之處看交點(diǎn)的一個(gè)小鄰域，這時(shí)，球面的這一小部分幾乎是平坦的，這兩條直線也幾乎是直的。所以可以定義這個(gè)角就是這個(gè)“極限平面”上的“極限直線”的歐式角。
雙曲幾何學(xué)
參照變換的某個(gè)集合（即變換群）來(lái)看幾何學(xué)，這一思想只不過(guò)是看待這個(gè)學(xué)科的一個(gè)有用的途徑。然而，來(lái)到雙曲幾何學(xué)時(shí)，變換的途徑就是不可少的了。
產(chǎn)生雙曲幾何學(xué)的變換群是二維的特殊射影線性群，記作
講解這個(gè)群的方法之一如下∶特殊線性群 SL_2（R）是所有的行列式為 1 的矩陣
的集合，即適合關(guān)系式 ad-bc =1 的這種矩陣的集合（它們確實(shí)構(gòu)成一個(gè)群，因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)矩陣的行列式均為 1，則它們的乘積也如此）。為了讓它成為 "射影的"，就令矩陣 A 等價(jià)于-A，例如，矩陣
為了從這個(gè)群得出一種幾何學(xué)，首先必須把它解釋為某個(gè) 2 維點(diǎn)集合的變換群。一旦做到了這一點(diǎn)，就把這個(gè) 2 維點(diǎn)集合稱為雙曲幾何學(xué)的一個(gè)模型。微妙之處就在于雙曲幾何學(xué)沒(méi)有一個(gè)看起來(lái)是最為自然的模型，如球面是球面幾何學(xué)的模型那樣。雙曲幾何學(xué)的三個(gè)最常用的模型是半平面模型、圓盤模型和雙曲面模型。
半平面模型是與群 PSL_2（R）最直接聯(lián)系的模型，所需要的 2 維平面點(diǎn)集合是復(fù)平面 C 的上半平面，即所有復(fù)數(shù) z=x＋ig，y>0 的集合。給定了矩陣以后，相應(yīng)于此矩陣的變換就是把點(diǎn) z 變?yōu)椋╝z＋b）/（cz＋d）。條件 ad-bc=1 是用于證明變換后的點(diǎn)仍然在上半平面上，還用于證明這個(gè)變換是可逆的。
這里還沒(méi)有做的是∶對(duì)于距離還什么也沒(méi)有說(shuō)。正是在這種幾何學(xué)里，需要用群來(lái)“生成”幾何學(xué)。如果想要有一個(gè)從變換群角度看來(lái)是距離概念，那么重要的就是這種變換要保持這個(gè)距離不變。就是說(shuō)，如果 T 是一個(gè)這樣的變換，而 z 和 w 兩點(diǎn)在上半平面里，則 T（z）和 T（w）也在上半平面，而且
可以證明，本質(zhì)上恰好只有一種定義距離的方法具有這個(gè)性質(zhì)，用變換來(lái) "生成" 的幾何學(xué)就是這個(gè)意思。
這個(gè)距離有一些初看起來(lái)顯得奇怪的性質(zhì)。例如，一條典型的雙曲直線的形狀是端點(diǎn)在實(shí)軸上的半圓弧。但是，說(shuō)它是半圓，不過(guò)是從 C 上的歐幾里得幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看是半圓；從雙曲幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，歐幾里得幾何學(xué)的直線是“直”的，也同樣奇怪。兩種距離的真正差別在于，雙曲距離和歐幾里得距離比較起來(lái)，越是接近實(shí)軸，前者變得越大。所以要從點(diǎn) z 走到點(diǎn) w，“繞道”偏離實(shí)軸，路程反而更短，最佳的彎道就是沿著連接點(diǎn) z 和點(diǎn) w 而且與實(shí)軸成直角的半圓弧。
2 維雙曲幾何學(xué)的最著名的性質(zhì)之一，就是它是一種使得歐幾里得平行線公設(shè)不成立的幾何學(xué)。就是說(shuō)，可以找到一條雙曲直線 L 和其外一點(diǎn) x，使得過(guò)點(diǎn) x 可以畫(huà)出兩條直線都不與 L 相交。在適當(dāng)解釋后，歐幾里得幾何學(xué)的所有其他公理在雙曲幾何學(xué)中都成立。由此可知，從那些公理是不可能推導(dǎo)出平行公設(shè)的。這個(gè)發(fā)現(xiàn)解決了一個(gè)困擾歷代數(shù)學(xué)家兩千多年的問(wèn)題。
另一個(gè)性質(zhì)補(bǔ)全了關(guān)于歐幾里得三角形和球面三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)。有一個(gè)很自然的雙曲面積概念，具有頂角 α，β 和 γ 的雙曲三角形的面積是 π-a-β-γ。所以在雙曲平面上，a＋β＋σ 總小于 π，而當(dāng)三角形非常小的時(shí)候，就幾乎等于 π。內(nèi)角和的性質(zhì)反映了以下的事實(shí)∶球面具有正的曲率，歐幾里得平面是 " 平坦”的，而雙曲平面則有負(fù)曲率。這樣，雙曲三角形、歐幾里得三角形和球面三角形的內(nèi)角和分別小于、等于和大于 π；其差與曲率成正比；而這些空間的曲率也相應(yīng)地為負(fù)、為零和為正。上面說(shuō)是“補(bǔ)全了”相應(yīng)性質(zhì)，就是這個(gè)意思。
圓盤模型是龐加萊在一個(gè)著名的瞬間，在登上一輛公共汽車的時(shí)刻想出來(lái)的，它的點(diǎn)集合就是 C 平面的開(kāi)單位圓盤，也就是模小于 1 的復(fù)數(shù)的集合 D?，F(xiàn)在，典型的變換形狀如下。取 D 中的一個(gè)復(fù)數(shù) a 以及實(shí)數(shù) θ，這個(gè)變換就把 z 點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)
這些變換成為一個(gè)群并不完全是顯然的，而這個(gè)群同構(gòu)于 PSL_2（R）就更不顯然。然而可以證明，變 z 為-（iz＋1）/（z＋i）的函數(shù)把單位圓盤映為上半平面，反過(guò)來(lái)也一樣。這就證明了這兩種幾何學(xué)是相同的，可以用這個(gè)函數(shù)把一個(gè)幾何學(xué)的結(jié)果變?yōu)榱硪粋€(gè)幾何學(xué)的結(jié)果。
和半平面模型一樣，當(dāng)接近圓盤的邊緣時(shí)，雙曲距離比歐幾里得距離越來(lái)越大，從雙曲幾何學(xué)的視角看來(lái)，圓盤的直徑是無(wú)窮大，它實(shí)際上沒(méi)有邊緣。
上圖表明，可用一些全等圖形把圓盤鑲嵌鋪裝（tessellation）起來(lái)，說(shuō)這些圖形全等是指其任意一個(gè)圖形都可以用群中的一個(gè)變換變?yōu)槿我饬硪粋€(gè)。所以，盡管這些圖形看起來(lái)不都相同，但是從雙曲幾何的視角看來(lái)，它們卻是大小相同形狀也一樣的。圓盤模型中的直線或者是與單位圓周交成直角的（歐幾里得）圓弧，或者是經(jīng)過(guò)圓盤中心的（歐幾里得）直線線段。
雙曲面模型可以解釋這個(gè)幾何學(xué)何以稱為雙曲幾何學(xué)。這一次，點(diǎn)集合就是
這是一個(gè)單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面，它是由平面 z=0 上的雙曲線 x^2=1＋z^2 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)生成的。PSL_2（R）里的一般的變換，就是這個(gè)單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面上的某種“旋轉(zhuǎn)”，而可以從真正的繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)和 xz 平面上的“雙曲旋轉(zhuǎn)”合成，所謂雙曲旋轉(zhuǎn)就是矩陣為
的變換。正如普通的旋轉(zhuǎn)保持單位圓周一樣，雙曲旋轉(zhuǎn)保持雙曲線 x^2=1＋z^2，而讓其內(nèi)側(cè)的點(diǎn)互相變動(dòng)。同樣，說(shuō)這種變換會(huì)給出和上面同樣的群，這并非顯然的事，然而事實(shí)確實(shí)如此，從而雙曲模型和上面兩個(gè)模型是等價(jià)的。
洛侖茲幾何學(xué)
這是一個(gè)用于狹義相對(duì)論的幾何學(xué)，以 4 維時(shí)空，又稱閔可夫斯基空間為模型。它與 4 維的歐幾里得幾何學(xué)的主要區(qū)別在于它考慮的不是兩點(diǎn)（t，z，g，z）和（t'，x'，y'，z'）的通常的距離，而是以下的量
如果不是前面的極為重要的負(fù)號(hào)，它就是歐幾里得距離的平方。這反映了一個(gè)事實(shí)，即時(shí)間和空間是極為不同的（雖然它們交織在一起）。
洛侖茲變換就是一個(gè)由 R^4 到 R^4 而且保持上面的 "廣義距離" 不變的線性映射。令 g 為（t，x，y，z）到（-t，x，y，z）的線性映射，而 G 為 g 的相應(yīng)的矩陣（主對(duì)角線上的元素為-1，1，1，1，其余元素為 0 的矩陣），我們可以抽象地定義洛侖茲變換為
對(duì)于一個(gè)點(diǎn)（t，x，y，z），如果
就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)是類空的；而若
就說(shuō)它是類時(shí)的；而若
就說(shuō)它位于光錐上。所有這些都是真正的洛侖茲幾何學(xué)的概念，因?yàn)樗鼈兌际潜宦鍋銎澴儞Q所保持的。
洛侖茲幾何學(xué)對(duì)于廣義相對(duì)論也有基本的重要性，廣義相對(duì)論可以說(shuō)就是對(duì)洛侖茲流形的研究。這些都與黎曼流形密切相關(guān)。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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