“做面包”是你在廚房里能做的最數(shù)學(xué)化的事情之一，這遠(yuǎn)不止量出配料這么簡單。當(dāng)你折疊和壓縮面團(tuán)時(shí)，你正在進(jìn)行拓?fù)渥冃?。揉捏的?dòng)作構(gòu)成了一個(gè)在混沌理論中被稱為貝克圖（Baker’s Map）的操作，在這個(gè)操作中，一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的混合從一個(gè)系統(tǒng)的映射到它自身，并多次進(jìn)行。
混合是一種混亂，但不是隨機(jī)的行為。它的發(fā)生是因?yàn)橄到y(tǒng)中的非線性自相互作用，導(dǎo)致系統(tǒng)完全重塑自己，經(jīng)過足夠多的迭代，系統(tǒng)物質(zhì)的每一種可能的組合都會(huì)出現(xiàn)。這對(duì)于稱為遍歷理論的數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域是至關(guān)重要的，遍歷理論是統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。當(dāng)然，這并非沒有約束。原子不會(huì)發(fā)生核聚變或擴(kuò)散到數(shù)光年之外，除非那是你定義系統(tǒng)的一部分。然而，混合會(huì)確保面團(tuán)不僅達(dá)到最大熵，而且在足夠的時(shí)間內(nèi)，面團(tuán)中龐大數(shù)量的分子總數(shù)會(huì)經(jīng)歷所有可能的排列。
在我們的宇宙中，混合是最基本的形式之一，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了隨機(jī)性。這是什么意思？
其基本理念是，一個(gè)被執(zhí)行無數(shù)次的貝克圖完全沒有可預(yù)測性，所有組件都被完全打亂，從而成為隨機(jī)的。
當(dāng)你在確定性過程中加入一個(gè)像這樣的隨機(jī)過程時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)系統(tǒng)，就像擺動(dòng)的彈簧或滾下山的球。確定性過程提供了整體運(yùn)動(dòng)，而隨機(jī)性提供了運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)分布。隨機(jī)系統(tǒng)中的隨機(jī)性取決于所涉及的長度范圍，但大多數(shù)系統(tǒng)都有一些隨機(jī)行為。
混沌混合和隨機(jī)性之間的關(guān)系是所有統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)，但我認(rèn)為混沌混合實(shí)際上是更基礎(chǔ)的。原因是我們知道至少對(duì)于像氣體這樣的經(jīng)典系統(tǒng)分子是基本單位。因此，混亂的混合不會(huì)發(fā)生在分子水平以下。相反，分子的熱行為是由動(dòng)能和碰撞其他分子的組合產(chǎn)生的。在分子模型和實(shí)驗(yàn)測量之間有很好的一致性。
在這個(gè)小尺度上，兩個(gè) (或更多) 分子的相互作用是確定的和混亂的，而不是隨機(jī)的。因此，我們與隨機(jī)性聯(lián)系在一起的特征來自確定性混沌，而不是真正的隨機(jī)性。
統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的另一個(gè)有趣特征是，隨機(jī)性并不是做出預(yù)測的關(guān)鍵因素。它通常用于模擬和不可預(yù)測的熱波動(dòng)，但如果基本成分不是隨機(jī)的，而是簡單地混合，統(tǒng)計(jì)預(yù)測通常也能奏效。重要的是混合，因?yàn)榛旌蠒?huì)導(dǎo)致元素在正確的時(shí)間內(nèi)以正確的構(gòu)型結(jié)束。
以溫度或壓力為例，這是統(tǒng)計(jì)過程的結(jié)果。對(duì)于溫度來說，重要的是分子在正確的位置提供了正確的能量來反映每個(gè)分子的平均動(dòng)能。而且，正如我之前提到的，這種混合在本質(zhì)上必須是分形的。你需要看到所有層次的混合發(fā)生，這樣，無論你的溫度計(jì)是怎樣的，你仍然會(huì)看到相同的平均溫度。但是當(dāng)你看到分子的大小時(shí)，這就結(jié)束了。如果你的溫度計(jì)是以單個(gè)氣體粒子為刻度的，你就不能正確地測量它。
為什么這很重要？
因?yàn)槲蚁嘈庞钪鎻母旧蟻碚f不是隨機(jī)的。上帝不擲骰子。相反，上帝是一個(gè)面包師，他從宇宙的尺度一直烤到普朗克長度。再小一點(diǎn)，烘焙就停止了。即使涉及到量子現(xiàn)象，一切都只是烘焙，但在另一個(gè)維度，空間和時(shí)間本身被揉捏。
如果是這樣，那么隨機(jī)性就是一種幻覺，隨機(jī)性的模型是混合的近似。
諾貝爾獎(jiǎng)獲得者肯尼斯?威爾遜，他可能是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和量子場理論中最偉大的英雄之一。他發(fā)展了一個(gè)關(guān)于長度尺度的理論，向我們展示了如何在特定的長度尺度上建模物理系統(tǒng)，并將這些尺度彼此關(guān)聯(lián)起來。從威爾遜的遺產(chǎn)中，我們得到了對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)的現(xiàn)代理解，特別是狀態(tài)變化，如水結(jié)冰或蒸發(fā)，或磁體磁化或退磁。
由此，我們可以理解為什么物理系統(tǒng)不僅在一個(gè)長度尺度上混合，而是在所有長度尺度上混合，無論是一個(gè)分子大學(xué)或普朗克長度。正是由于這些系統(tǒng)在不同長度尺度上的“自相似性”，它們?cè)诓煌叨壬系男袨橄嗨?，但具有較強(qiáng)或較弱的自相互作用，這可能會(huì)使這些系統(tǒng)在一個(gè)尺度上或多或少地混合在一起。
例如，有些系統(tǒng)在大尺度上是平滑的，但在小尺度上卻是粗糙的。另一些則恰恰相反，在大尺度上是復(fù)雜和混亂的，但在小范圍上是簡單和容易預(yù)測的。
空氣在大尺度下的表現(xiàn)與在小尺度下的表現(xiàn)是截然不同的，這就是為什么飛機(jī)可以用大的固定翼穿過空氣，而蒼蠅必須嗡嗡地穿過漩渦氣流。這和空氣的粘度有很大關(guān)系，有時(shí)和空氣的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)有關(guān)。
股票市場是另一個(gè)在長時(shí)間間隔比短時(shí)間間隔更容易預(yù)測的例子。這就是為什么你可以投資指數(shù)基金，把你的錢投資 10 年，并且相當(dāng)自信你會(huì)賺錢。
然而，一種尺度的混亂也會(huì)傳播到另一個(gè)尺度。這就是所謂的蝴蝶效應(yīng)。威爾遜特別指出，試圖將不同尺度分離是愚蠢的。相反，我們必須將它們相互聯(lián)系起來，并處理這樣一種可能性，即我們感興趣研究的現(xiàn)象取決于所有長度范圍內(nèi)發(fā)生的事情，而不僅僅是一個(gè)范圍。特別是當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)接近所謂的“臨界點(diǎn)”時(shí)，比如冰融化或磁鐵磁化，所有的尺度都會(huì)聚集在一起產(chǎn)生這種現(xiàn)象，引起級(jí)聯(lián)，以他們的方式上下波動(dòng)，這樣就會(huì)發(fā)生一些神奇的事情，系統(tǒng)就會(huì)被改變。
同樣，在金融領(lǐng)域，小的變化可以影響大的趨勢，反之亦然，這樣就到達(dá)了市場崩潰或繁榮的臨界點(diǎn)。你永遠(yuǎn)無法確定每一秒發(fā)生的事情不會(huì)爆發(fā)，不會(huì)影響每個(gè)月發(fā)生的事情。
所有這些都沒有假定隨機(jī)性存在或不存在。相反，它只是假設(shè)混合（隨機(jī)或非隨機(jī)）發(fā)生在許多不同的尺度和不同的速度。隨機(jī)性對(duì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來說當(dāng)然很方便，但不是必需的。
假設(shè)系統(tǒng)是隨機(jī)的好處之一是，它可以除所有你不理解的外部因素。但作為世界運(yùn)行的基本模型，隨機(jī)性是站不住腳的。隨機(jī)模型總是依賴于某種神秘的熵源。它們不允許系統(tǒng)是完全封閉和確定性的。隨機(jī)性的另一個(gè)特征是它破壞了系統(tǒng)的一些很好的數(shù)學(xué)特性，比如可微性。
如果你有一個(gè)粒子，它是隨機(jī)波動(dòng)的，根據(jù)某種正態(tài)分布，它的運(yùn)動(dòng)是不可微的。原因是，在一段很小的時(shí)間內(nèi)，它平均移動(dòng)的距離與時(shí)間的平方根成正比。導(dǎo)數(shù)依賴于無限小的時(shí)間和距離成比例，所以它們中的微小量在比例中抵消。但隨機(jī)性并非如此。除非隨機(jī)性在一定長度范圍內(nèi)神奇地消失，否則將陷入不可微分運(yùn)動(dòng)中。
這也是為什么量子力學(xué)有非交換算符的原因，這些算符根據(jù)你應(yīng)用它們的順序會(huì)給出不同的答案。這就是海森堡測不準(zhǔn)原理的來源。
如果我們說系統(tǒng)從來都不是隨機(jī)的，它們只是因?yàn)閮?nèi)部的非線性自相互作用或與外力的無法解釋的相互作用而被混合，不是更簡單嗎？
也許是，也許不是。我們有整個(gè)分布理論來處理隨機(jī)性。我們用算子微積分來處理隨機(jī)性。我們不需要用復(fù)雜的，多尺度非線性混合運(yùn)算來代替它來得到像可微性這樣的東西。
但是如果我們真的想要了解內(nèi)部發(fā)生了什么呢？我們可以加倍重視隨機(jī)性，或者我們可以質(zhì)疑它并嘗試著去理解它的局限性。
我在想，用林德布萊德方程來處理量子力學(xué)，這些方程式將隨機(jī)性編入量子力學(xué)，以便解釋為什么量子測量看起來是隨機(jī)的。既然量子預(yù)測沒有它們也能正常工作，為什么要引入它們呢，除非你想說上帝確實(shí)玩骰子？
如果上帝是面包師呢？
本文來自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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