ChatGPT 可以做數(shù)學嗎

翻譯：蔣迅

Chat-GPT 是 Open AI 發(fā)布的令人印象深刻的全新 AI 聊天機器人。它令人印象深刻的應用程序可以在整個互聯(lián)網上找到。但它能做數(shù)學嗎？

通過數(shù)學，我們并不意味著簡單地做一些計算。它自己的設計確保了存在著它無法解決的計算問題。我更感興趣的是它可否解決需要一些數(shù)學推理的問題。

為了選擇我們的問題，我們使用了 MMLU 數(shù)據(jù)集。Meta AI 最近發(fā)布的大型語言模型 Galactica 在這個數(shù)據(jù)集上取得了一些不錯的結果。他們的發(fā)現(xiàn)陳述在他們論文的第 5.3 節(jié)中。

接下來，我們將挑選幾個問題，看看 Chat-GPT 如何處理它們。如果失敗，我們將嘗試改寫這個問題以期獲得部分結果。

我們注意到 MMLU 數(shù)據(jù)集有多項選擇題，但我們只是將問題呈現(xiàn)給 Chat-GPT。我們只是從 MMLU 的抽象代數(shù)部分選擇問題。之后，我們將刺激 Chat-GPT 以獲得直覺和證明。在最后，我們將向數(shù)學家推薦 Chat-GPT 的一些應用。

問題一

我： 乘法群中的逆是

Chat-GPT: 乘法群中的逆是。群中元素的逆元素是滿足的元素，其中是該群的單位元。在這個群中，是單位元，所以元素的逆元素是滿足的元素。

例如，的逆是，因為。同樣，的逆是，因為。

注： Chat-GPT 完美地回答了這個問題并給出了極好的解釋。公平地說，這是一個較簡單的問題。

問題二

我： 到 有多少個同態(tài)？請以 latex 格式書寫。

Chat-GPT: 有兩個到的同態(tài)。它們的定義如下：

滿足對于所有，成立

滿足對于所有的, 成立

注： 同樣，Chat-GPT 是正確的。但是，這個問題我問了幾次，有一次說了，有一次說了卻給出了錯誤的理由：

 （整數(shù)）到   （整數(shù)模 2）只有兩個同態(tài)。

一個同態(tài)將每個整數(shù)映射到，另一個同態(tài)將每個整數(shù)映射到。

問題三

我： 令  中的 p = (1, 2, 5, 4)(2, 3)。在  中找到 <p> 的指數(shù)。請用 latex 寫下你的答案。

Chat-GPT:

<p> 在  中的指數(shù)是  中按字典順序出現(xiàn)在 <p> 之前的元素數(shù)。

要找到 <p> 的指數(shù)，首先要確定 p 的循環(huán)類型。排列的循環(huán)類型是其不相交循環(huán)的長度列表，按降序排列。

p 的循環(huán)型是 [2,2]，因為 p 由一個 2-循環(huán)和一個 2-循環(huán)組成。

現(xiàn)在我們可以使用  的循環(huán)指數(shù)來確定循環(huán)類型為 [2,2] 的 S_5 中的排列數(shù)。

 的循環(huán)指數(shù)由下式給出：

其中是  中循環(huán)的排列數(shù)，是表示長度為的循環(huán)的變量。

將循環(huán)類型 [2,2] 代入循環(huán)指數(shù)給出：

它簡化為：

該表達式中的系數(shù)為，所以循環(huán)型為 [2,2] 的  中的排列數(shù)為。

由于 <p> 是  中唯一具有循環(huán)型 [2,2] 的排列，因此它是  中的第排列。

因此，<p> 在  中的指數(shù)為。

注： 哇！這是非常錯誤的！第一句話是完全錯誤的。還有，它最后的結論，連整數(shù)都不是，這肯定是不對的。事實上，子群的指數(shù)是有一定意義的，而且大多數(shù)是正整數(shù)。

不過，我們能夠挽救一些東西。假設我們使用代數(shù)技巧計算出 <p> 的階數(shù)為。然后我們可以使用以下提示 Chat-GPT。

我： 現(xiàn)在假設是 5 階子群。在  中的指數(shù)是多少？

Chat-GPT: 群中子群的指數(shù)是在中的左陪集數(shù)。這也等于在中的右陪集數(shù)。

由于子群的階數(shù)能整除群的階數(shù)，因此的階數(shù)必須除以的階數(shù)，即 120。120 的小于 120 的因數(shù)只有 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 和 120。因此，的唯一可能順序是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20 、24、30、40 和 120。

由于的階數(shù)為 5，所以在中的指數(shù)為 24.

注： 在這里，Chat-GPT 正確回答并給出了一個完美的解釋。也許最好提一下所使用的主要事實是拉格朗日定理，盡管這可以很容易地通過問它“上面你使用了什么定理？”來獲得。

但是直覺是什么？

使研究數(shù)學家偉大的是對問題的某種“直覺”。讓我們看看 Chat-GPT 是否可以解釋其中的任何一個。

我： 你能解釋一下柯西-施瓦茨不等式背后的直覺嗎？請用 latex 寫所述的數(shù)學公式。

Chat-GPT: 當然！柯西-施瓦茨不等式是一個有用的不等式，出現(xiàn)在數(shù)學的各個領域，例如向量代數(shù)、內積空間和概率論。它指出對于任意兩個向量和，以下不等式成立：

直覺上，柯西-施瓦茨不等式指出兩個向量和的內積由向量和的長度“控制”。要了解這一點，讓我們考慮和是單位向量（即長度為 1 的向量）的特殊情況。在這種情況下，不等式變?yōu)椋?/p>

這意味著和的內積總是小于或等于 1。這與我們的直覺一致，即如果兩個單位向量“正交”（即垂直），則它們的內積應該“小”，并且 如果它們“平行”（即指向同一方向），則為“大”。

我希望這有所幫助！如果你有任何問題，請告訴我。

注： 這還算不錯，但肯定可以改進。例如，解釋什么時候柯西-施瓦茨不等式何時成立（當一個向量是另一向量的倍數(shù)時）有助于給出最后一段更精確的含義。人們可以看到陶哲軒這篇博客文章的前幾段，以了解來自世界領先數(shù)學家之一的解釋。此外，這是 Stackexchange 上關于該主題的數(shù)學討論。

給出證明。

我： 你能證明這個嗎？

Chat-GPT: 當然！這是柯西-施瓦茨不等式的證明：

首先，我們可以將不等式重寫為：

接下來，我們可以如下展開左側：

此式簡化為：

現(xiàn)在，我們可以將算術-幾何平均不等式應用于右側的每一項：

這簡化為：

最后，我們可以再次將算術幾何平均不等式應用于右側的項：

這簡化為：

我們完成了！這就完成了柯西-施瓦茨不等式的證明。

我希望這個能有所幫助！如果你有任何問題，請告訴我。

注： 不幸的是，這個證明并不完全正確。無論是證明方法還是細節(jié)（即它對 AM-GM 的應用）都存在嚴重缺陷。

結論

老實說，Chat-GPT 對于一個無論如何都不是為數(shù)學量身定做的模型來說是相當令人印象深刻的。我認為，以目前的格式，它已經可以幫助數(shù)學家準備講義甚至論文中更簡單的部分。也許它最大的用處在于自動處理基金和工作申請的某些部分。

本文來自微信公眾號：遇見數(shù)學 （ID：meetmath），作者：George Shakan

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