俄美兩位同齡天才，影響了 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)

本文來自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：丁玖

撰文 | 丁玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）

1903 年已被歷史證明是國(guó)際數(shù)學(xué)界的幸運(yùn)年，甚至可以稍微夸張地說成是改變二十世紀(jì)數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程的一年。那年初的和煦春風(fēng)給東方的俄羅斯吹生了安德雷?柯爾莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903 年 4 月 25 日-1987 年 10 月 20 日)，而在那年的冬天，匈牙利降生了約翰?馮?諾伊曼（John von Neumann，1903 年 12 月 28 日-1957 年 2 月 8 日）。

柯爾莫哥洛夫這位東方數(shù)學(xué)王國(guó)的彼得大帝和馮?諾伊曼這個(gè)西方數(shù)學(xué)世界的所羅門王，在他們各自學(xué)術(shù)生涯的鼎盛時(shí)期，一個(gè)為社會(huì)主義陣營(yíng)之首的蘇聯(lián)開辟數(shù)學(xué)方向、證明深刻定理、培育將帥人才，一個(gè)為統(tǒng)帥資本主義聯(lián)盟的美國(guó)設(shè)計(jì)電腦模式、破解自然奧秘、埋首國(guó)防科技。他們有若干共同的愛好，也有不少相異的特點(diǎn)。他們年輕時(shí)都深愛歷史，卻堅(jiān)定走向數(shù)學(xué)家道路；他們都有與生俱來的貴族血液和氣質(zhì)，一個(gè)從上到下?lián)碛蟹ツ竟と税愕慕洋w格，另一個(gè)卻從頭到尾以銀行家式的肥碩體型著稱；他們?cè)谑罆r(shí)都沒有缺乏營(yíng)養(yǎng)，一個(gè)生來喜歡帶學(xué)生遠(yuǎn)足，在大自然中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，另一個(gè)卻將鍛煉時(shí)間送給熱鬧的家庭派對(duì)，喜愛飆車兜風(fēng)講笑話；他們都是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)史上的巨人，但在給數(shù)學(xué)家畫像的物理學(xué)家戴森（Freeman Dyson，1923-2020）筆下，一個(gè)可能會(huì)被稱為翱翔數(shù)學(xué)天空創(chuàng)造新領(lǐng)域的“飛鳥”，另一個(gè)已經(jīng)被歸入深挖數(shù)學(xué)寶藏解決困難問題的“巨蛙”；二戰(zhàn)中他們都為打敗軸心國(guó)貢獻(xiàn)非凡才智，一個(gè)為首都免遭德軍空中襲擊制定最佳方案，另一個(gè)致力于為核彈研制出謀劃策；他們都是天賦異稟的絕世天才，一個(gè)終生打造“滿園春色”，為祖國(guó)培育無數(shù)俊杰，另一個(gè)卻滿足于“一花獨(dú)放”，鮮花凋謝后卻難見后繼有人；他們終生超負(fù)荷運(yùn)行各自無以倫比的大腦，一個(gè)活到 84 周歲無大遺憾，另一個(gè)卻比前者少活三十年，離世前壯志未酬。

今年是他們誕生一百二十周年的共同年份。盡管他們有不同的政治信仰，分別全身心服務(wù)于彼此冷戰(zhàn)過幾十年的蘇美兩國(guó)，但是他們作為數(shù)學(xué)巨人，值得我們同時(shí)紀(jì)念。百年來，上天沒有太慷慨地讓人間多出幾個(gè)像他們那樣的科學(xué)偉人，然而我們應(yīng)該追尋他們的足跡，領(lǐng)會(huì)他們的心靈，使得一代新人從中獲得鞭策與鼓舞。

柯爾莫哥洛夫

美國(guó)數(shù)學(xué)史家貝爾 (Eric Temple Bell，1883-1960) 出版于 1937 年的 Men of Mathematics (一個(gè)中譯本是《數(shù)學(xué)大師》)，影響過幾代科學(xué)家?？上麑懙锰?，在書中精心描繪的三十余名大數(shù)學(xué)家中，他只寫到法蘭西人龐加萊 (Henri Poincaré，1854-1912) 為止，連只比龐加萊小了八歲的普魯士人希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943) 都沒能進(jìn)他的書。專寫龐加萊那章的標(biāo)題是“The Last Universal Mathematician” (最后一位全能數(shù)學(xué)家)。如果作者多活十年，并在去世前修訂這本巨著，不僅有可能會(huì)加上希爾伯特、柯爾莫哥洛夫和馮?諾伊曼這三人，而且或許還會(huì)稱柯爾莫哥洛夫?yàn)椤白詈笠晃蝗軘?shù)學(xué)家”。

柯爾莫哥洛夫可以被視為二十世紀(jì)俄羅斯的龐加萊，但他出生時(shí)遠(yuǎn)非像出身名門望族的后者那么幸運(yùn)。他的父親是個(gè)農(nóng)學(xué)家，但后來投身推翻沙皇統(tǒng)治的革命，終被圣彼得堡當(dāng)局流放到外省，1919 年在內(nèi)戰(zhàn)中被殺；他的未婚母親在生他時(shí)又不幸去世。好在痛失雙親陪伴的他沒有失去至親的愛，他隨著兩個(gè)姨媽在富翁外祖父的貴族莊園長(zhǎng)大，受到很好的早期教育，進(jìn)入姨媽維拉的鄉(xiāng)村學(xué)校念書，在?？洞貉唷飞习l(fā)表了他最早的文學(xué)和數(shù)學(xué)作品。五歲時(shí)他就成了這個(gè)?？摹皵?shù)學(xué)編輯”，同年他獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)和的規(guī)律，并發(fā)表在?？希? = 1²，1 + 3 = 2²，1 + 3 + 5 = 3², …。

1910 年，柯爾莫哥洛夫的姨媽正式領(lǐng)養(yǎng)了他，一家定居莫斯科，十年后柯爾莫哥洛夫讀完了高中，考入莫斯科大學(xué)，同時(shí)也在門捷列夫莫斯科化學(xué)與技術(shù)學(xué)院讀書。他后來回憶道：“我?guī)е喈?dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)來到莫斯科大學(xué)。我特別了解集合論的開端。我學(xué)習(xí)了 Brockhaus-Efron 百科全書中的許多問題，并為自己填補(bǔ)了書中那些過于簡(jiǎn)潔的內(nèi)容?！倍嗑肀景倏迫珪Ｊ墙艹鋈宋锴嗌倌陼r(shí)代的“自修課本”，因?yàn)樗麄儚牟秽笥趯W(xué)校里那些只適合普通人的必修科目。從大學(xué)生時(shí)代起，柯爾莫哥洛夫因其博學(xué)多才而享有盛譽(yù)。

如同遠(yuǎn)在他國(guó)的同齡天才馮?諾伊曼，柯爾莫哥洛夫的廣博知識(shí)包括歷史學(xué)。他參加了一位俄羅斯史名教授的研討班，并寫出了他一生中的第一篇研究性論文，探討的自然不是數(shù)學(xué)史，而是關(guān)于十五、六世紀(jì)諾夫哥羅德共和國(guó)土地占有的實(shí)踐史。寫好后他頗為得意，以為教授會(huì)大加賞識(shí)。出乎他意料的回答卻是：“你文章中的論據(jù)只有一個(gè)，對(duì)歷史學(xué)而言太少了，起碼得有五個(gè)論據(jù)才行。”（這位歷史教授應(yīng)該成為只“大膽假設(shè)”不“小心求證”以快速發(fā)表論文的那些社會(huì)科學(xué)家的“博士論文導(dǎo)師”。）正是這位令學(xué)生頗為失望的歷史學(xué)家在無意中把柯爾莫哥洛夫推向了他的另一個(gè)至愛 —— 數(shù)學(xué)。他對(duì)數(shù)學(xué)終生矢志不渝，因?yàn)閿?shù)學(xué)中的定理只需一個(gè)證明就夠了！

在不到 20 歲時(shí)，年輕的柯爾莫哥洛夫就證明出有關(guān)集合論以及三角級(jí)數(shù)的幾個(gè)重要結(jié)果。1922 年，他構(gòu)造出一個(gè)幾乎處處發(fā)散的傅里葉級(jí)數(shù)，成了冉冉升起的一顆數(shù)學(xué)新星。從那時(shí)起，他決定一生獻(xiàn)給數(shù)學(xué)，這是數(shù)學(xué)的幸運(yùn)，卻是歷史學(xué)的損失。到了大學(xué)四年級(jí)，他已發(fā)表八篇論文，1929 年拿到博士學(xué)位時(shí)他又寫出了十篇，導(dǎo)師是比他年長(zhǎng) 20 歲的莫斯科函數(shù)論學(xué)派的領(lǐng)袖之一魯金（Nikolai Luzin，1883-1950）?？聽柲缏宸蛞簧臄?shù)學(xué)活動(dòng)大大促進(jìn)了眾多領(lǐng)域的發(fā)展，包括函數(shù)論、概率論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、隨機(jī)過程、力學(xué)、湍流、遍歷理論等，其中他于 1933 年以專著 Foundations of the Theory of Probability（《概率論基礎(chǔ)》）的形式用測(cè)度論語言建立的現(xiàn)代概率論公理體系，為一項(xiàng)名垂千史之作。

柯爾莫哥洛夫 28 歲時(shí)成為莫斯科大學(xué)教授，八年后當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。那個(gè)院士稱號(hào)就像 1948 年的中華民國(guó)中央研究院院士或 1955 年的中國(guó)科學(xué)院學(xué)部委員一樣，完全是 “足赤的金”。在祖國(guó)科學(xué)界，他囊括了與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)的幾乎所有大獎(jiǎng)：國(guó)家獎(jiǎng)、列寧獎(jiǎng)、斯大林獎(jiǎng)、切比雪夫獎(jiǎng)、羅巴切夫斯基獎(jiǎng)。在國(guó)際舞臺(tái)上，他參加了 1954 年到 1970 年總共五次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)中的四次，并于 1954 年在荷蘭阿姆斯特丹召開的第十二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)的一小時(shí)全會(huì)報(bào)告。該報(bào)告首次給出了求解經(jīng)典力學(xué)微擾理論中小除數(shù)問題“KAM 定理”的原始思想，其中的 K 自然是他，M 是德裔美國(guó)數(shù)學(xué)家莫澤 (Jüngen Moser，1928-1999)，A 是阿諾德 (Vladimir Arnold，1937-2010)。后兩人分別于 1962 和 1963 年對(duì)光滑扭曲映射和解析哈密頓系統(tǒng)證明了這個(gè)著名定理。

這里再舉出柯爾莫哥洛夫在動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域的另一項(xiàng)杰出貢獻(xiàn)，并稍加說明。五十年代中期，他在考慮遍歷理論的“共軛不變量”這一基本問題時(shí)創(chuàng)造了“測(cè)度熵”概念，這個(gè)在遍歷理論中具有基本意義的熵是一個(gè)共軛不變量，意思是說彼此共軛的保測(cè)變換共享同一熵值，就像特征值是矩陣相似變換的相似不變量。

早在 1943 年，人們就已經(jīng)知道定義在 0 和 1 兩個(gè)符號(hào)構(gòu)成的雙向序列符號(hào)空間上的“伯努利 (1/2, 1/2)-雙邊移位”和定義在 0、1 和 2 三個(gè)符號(hào)構(gòu)成的雙向序列符號(hào)空間上的“伯努利 (1/3, 1/3, 1/3)-雙邊移位”這兩個(gè)保測(cè)變換都具有可數(shù)無窮個(gè)“勒貝格譜點(diǎn)”，因而它們是譜同構(gòu)的。然而數(shù)學(xué)家們不清楚它們是否也共軛，即是否存在這兩個(gè)符號(hào)空間之間的保測(cè)同構(gòu)，使得一個(gè)移位與它的復(fù)合等于它與另一個(gè)移位的復(fù)合。1958 年，柯爾莫哥洛夫算出這兩個(gè)雙邊移位具有不同的測(cè)度熵，一個(gè)是 ln 2，另一個(gè)是 ln 3，因而它們彼此不共軛。

測(cè)度熵的最后完善化由柯爾莫哥洛夫的學(xué)生西奈依 (Yakov Sinai，1935-) 在 1959 年完成，因而該熵在文獻(xiàn)中常被稱之為“柯爾莫哥洛夫-西奈依熵”，它度量了一般保測(cè)變換無窮迭代過程最終性態(tài)的混亂程度?？聽柲缏宸蚴莻€(gè)登峰造極的原創(chuàng)型數(shù)學(xué)家，他的腦汁澆灌出思想的花朵，但果實(shí)有時(shí)要靠勤勉園丁的催熟。他的另一個(gè)弟子阿諾德曾經(jīng)書面回憶過，老師有時(shí)會(huì)在討論班講臺(tái)前“掛黑板”，因?yàn)樗浟俗C明的某些細(xì)枝末節(jié)。還有人統(tǒng)計(jì)過柯爾莫哥洛夫有十五篇的開創(chuàng)性論文沒有列出任何參考文獻(xiàn)。

柯爾莫哥洛夫的博士師兄兼終生好友、拓?fù)鋵W(xué)家亞歷山德羅夫 (Pavel Alexandrov，1896-1982) 說數(shù)學(xué)天才有“快型”和“慢型”之分，“希爾伯特屬于‘慢’的天才，而柯爾莫哥洛夫無疑是‘快’的天才?！卑⒅Z德在他的老師百歲冥誕時(shí)寫的紀(jì)念文章里也回憶到他的這位領(lǐng)路人建立新學(xué)科速度之快：一兩個(gè)禮拜就能解決一個(gè)大問題。但他快速成型的思想之深遂、日積月累的知識(shí)之廣博、推陳出新的創(chuàng)造之能量，同時(shí)代幾乎無人能與之匹敵。創(chuàng)造型數(shù)學(xué)家才是真正了不起的數(shù)學(xué)家，生前極受人尊敬、身后歷史上留名、成就常被人提起，就像十多年前丘成桐 (1949-) 在面對(duì)北京數(shù)學(xué)家們的演講中所專列的三個(gè)華人：創(chuàng)造出在幾何拓?fù)渲杏谢居猛镜摹瓣?示性類”的陳省身 (1911-2004)、在“多元復(fù)變函數(shù)論”中與西方并駕齊驅(qū)的華羅庚 (1910-1985)、獨(dú)立于西方提出“有限元方法”理論框架的馮康 (1920-1993) 。

柯爾莫哥洛夫和意大利裔美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)米 (Enrico Fermi，1901-1954) 一樣，帶出或影響了一大批杰出的學(xué)生，在國(guó)際數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界可以分別用“前不見古人，后不見來者”來形容，尤其是前者。有人統(tǒng)計(jì)過，柯爾莫哥洛夫直接指導(dǎo)過的學(xué)生有 67 人之多，在數(shù)量上幾乎達(dá)到孔夫子“賢弟子七十二”的紀(jì)錄，其中有 14 人被選為蘇聯(lián)科學(xué)院的院士或通訊院士，名單可見張奠宙 (1933-2018) 所著《20 世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯》書中的第 368 頁。除了前述的阿諾德和西奈依，柯爾莫哥洛夫還有一個(gè)更有名的弟子是從未讀過高中或大學(xué)就直接成為其博士生的蓋爾范德 (Israel Gelfand，1913-2009)。這位傳奇的學(xué)生和吳健雄 (1912-1997) 一同站在了第一屆沃爾夫獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上接受以色列總統(tǒng)頒獎(jiǎng)，甚至比他的老師還早了兩年獲此殊榮。

柯爾莫哥洛夫由于其在國(guó)內(nèi)外崇高的學(xué)術(shù)地位，即便在多疑冷峻的斯大林 (Joseph Stalin，1878-1953) 當(dāng)政時(shí)，日子也比絕大多數(shù)的蘇聯(lián)科學(xué)家好過一些，未遭遇太大的政治麻煩。有趣的是，1930 年，小他八個(gè)月的馮?諾伊曼由東歐赴美擔(dān)任普林斯頓大學(xué)的訪問教授，而柯爾莫哥洛夫則前往西歐的數(shù)學(xué)重鎮(zhèn)：哥廷根、慕尼黑、巴黎，結(jié)識(shí)了希爾伯特、勒貝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等大數(shù)學(xué)家。這九個(gè)月的學(xué)術(shù)訪問令他終生難忘。如果柯爾莫哥洛夫像馮?諾伊曼終生留在美國(guó)那樣待在西歐不歸或應(yīng)邀赴美長(zhǎng)居，在美蘇冷戰(zhàn)的幾十年漫長(zhǎng)歲月里，他和西方一流數(shù)學(xué)家的交流無疑會(huì)更深入廣泛、對(duì)國(guó)際數(shù)學(xué)社會(huì)的影響會(huì)更有力全面。但是，如同華羅庚 1950 年的美國(guó)歸來使得東亞病夫式的中國(guó)數(shù)學(xué)局部地翻了身，柯爾莫哥洛夫的存在讓已令西方佩服得五體投地的俄羅斯數(shù)學(xué)更上了一層樓。

柯爾莫哥洛夫長(zhǎng)期參與培育資優(yōu)青少年，晚年更熱衷于中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革，不僅親手施教，而且率領(lǐng)孩子遠(yuǎn)足野營(yíng)，從培養(yǎng)體魄中訓(xùn)練數(shù)學(xué)。但像比他早幾十年熱心青少年教育實(shí)驗(yàn)的英國(guó)哲人羅素 (Bertrand Russel，1872-1970) 一樣，未能特別成功。改革不理想而心理受打擊的柯爾莫哥洛夫最后患上了帕金森癥，在 84 周歲那年去世，未能像一生中高潮低谷三起三落但永葆“三大激情”終生達(dá)觀的羅素那樣活到將近百歲。

阿諾德對(duì)自己的導(dǎo)師這樣“蓋棺論定”：“柯爾莫哥洛夫、龐加萊、高斯、歐拉、牛頓，只有這五個(gè)生命將我們與科學(xué)的源頭分開?！?/p>

馮?諾伊曼

馮?諾伊曼降生在匈牙利布達(dá)佩斯一個(gè)富裕猶太家庭，似乎是《論語》中所說的“生而知之者上也”。六歲時(shí)，他能表情奇怪地心算八位數(shù)的乘除。成年后的他在用頭腦計(jì)算復(fù)雜問題時(shí)常注視著天花板，像和尚念經(jīng)似地口中念念有詞，答案就從嘴邊滾滾而出。一個(gè)廣為流傳的故事說當(dāng)他被問，在勻速相向而行的兩人之間，有一只蒼蠅在他們之間不間斷地以勻速直線運(yùn)動(dòng)來回飛，那么在兩人碰面時(shí)，蒼蠅共飛了多少距離？馮?諾伊曼一眨眼就告訴了答案，用的是令人驚訝的無窮級(jí)數(shù)求和法，而不是人們通常所用的初等方法。

馮?諾依曼確是神童，他八歲熟悉微積分，12 歲讀懂波萊爾 (émile Borel，1871-1956) 的《函數(shù)論》，15 歲跟隨著名分析學(xué)家賽格 (Gábor Szeg?，1895-1985) 研習(xí)高等微積分。在他們首次見面時(shí)，賽格對(duì)他的數(shù)學(xué)天賦感到非常震驚，以至于流下了眼淚。但年少的馮?諾伊曼對(duì)歷史也特感興趣，在自家的圖書館里通讀了一套 46 卷世界歷史系列 《專著中的通史》。在他就讀的精英中學(xué)，除了幾何繪畫、寫作和音樂得了 B 外，他其余門門是 A，但體育最差：C。

美國(guó)首屆國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)得主馮?卡門 (Theodore von Kármán，1881-1963) 也是匈牙利神童。他在自傳中回憶，當(dāng)年 17 歲馮?諾伊曼的銀行家父親曾特地咨詢了已有名氣的馮?卡門，問兒子大學(xué)讀何專業(yè)好。作為父子不同選擇的折中方案，馮?諾伊曼同時(shí)在德國(guó)的柏林大學(xué)和祖國(guó)的布達(dá)佩斯大學(xué)分修父親選的化工和自己愛的數(shù)學(xué)。馮?諾伊曼的第一篇數(shù)學(xué)論文發(fā)表在 1922 年，那時(shí)他還不到 19 周歲。當(dāng)他翌年轉(zhuǎn)到瑞士的蘇黎世聯(lián)邦工學(xué)院讀化工研究生時(shí)，主要在做數(shù)學(xué)了。有次馮?諾伊曼在課堂上問了也生于布達(dá)佩斯的波利亞 (George P?lya，1887-1985) 教授一個(gè)數(shù)學(xué)問題，后者晚年時(shí)對(duì)此評(píng)述道：“從那時(shí)起我就開始害怕他了。”

馮?諾伊曼大概是二十世紀(jì)全世界最聰明的數(shù)學(xué)家，這讓德裔美國(guó)物理學(xué)家、1967 年的諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者貝特 (Hans Bethe，1906-2015) 感嘆不已：

“有馮?諾伊曼這樣的大腦是不是意味著存在比人類更高一級(jí)的生物物種？”

長(zhǎng)馮?諾伊曼一歲并在匈牙利同一所精英中學(xué)早一年畢業(yè)、1963 年的諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者魏格納 (Eugene Wigner，1902-1995) 終生對(duì)他有一種近乎自卑的情結(jié)藏于心中：

“不管多么聰明的人，和馮?諾伊曼一起長(zhǎng)大就一定會(huì)有挫敗感?！?/p>

雖然馮?諾伊曼被公認(rèn)為電子計(jì)算機(jī)之父和博弈論之父，但他認(rèn)為最令自己自豪的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)都在數(shù)學(xué)上：希爾伯特空間的自共軛算子理論、量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和以他名字命名的馮?諾伊曼平均遍歷定理。這三項(xiàng)數(shù)學(xué)成果都是開創(chuàng)性的，第一項(xiàng)構(gòu)成了上世紀(jì)初開始孕育的新學(xué)科泛函分析的一個(gè)主要部分，第二項(xiàng)用無窮維線性算子的語言夯實(shí)了量子力學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，第三項(xiàng)則對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)中基本的玻爾茲曼遍歷假設(shè)給予了數(shù)學(xué)的檢視，是遍歷理論這門在本世紀(jì)注定要更加發(fā)達(dá)的綜合性學(xué)科中被證明的第一個(gè)重大定理。

馮?諾伊曼的主要數(shù)學(xué)成就當(dāng)然不止他自己認(rèn)定的上述三個(gè)。1940 年是他研究事業(yè)的分水嶺。在這之前，他在純粹數(shù)學(xué)的象牙塔里大顯身手，一出手就在數(shù)理邏輯領(lǐng)域里留下深深的足跡，很快又在集合論中提出了新的公理化體系。在短時(shí)間內(nèi)完成一生三大數(shù)學(xué)成就后的 1933 年，還沒到 30 周歲生日的馮?諾伊曼就用緊致群的工具破解了希爾伯特第五問題，然后他從測(cè)度論、格論、連續(xù)群、算子環(huán)等地盤一路殺去“橫掃千軍如卷席”，留下累累戰(zhàn)果。

這位身材敦實(shí)、碩大的頭部常面帶微笑看上去更像富國(guó)銀行總裁的大數(shù)學(xué)家，一生中也許不及愛因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 具有那種驚世駭俗的原創(chuàng)力，但卻像中國(guó)十年前快速發(fā)展的高速列車一樣，馬上能把耳聞目睹的原始想法神速地拓展開去，令人瞠目結(jié)舌。不到 30 周歲，他就成為普林斯頓高等研究院首批聘用的包括愛因斯坦在內(nèi)的六名永久教授之一。

美國(guó)加入二戰(zhàn)后，馮?諾伊曼與時(shí)俱進(jìn)地變換了角色，像孫悟空似地?fù)u身一變，從純粹數(shù)學(xué)家變成了應(yīng)用數(shù)學(xué)家，為氣體運(yùn)動(dòng)學(xué)的沖擊波、流體力學(xué)的湍流等實(shí)用學(xué)科建立了理論，也為新興的計(jì)算數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)了基本的概念和方法，并在熱核聚變研究中發(fā)揮了大作用。他在忙碌之外與普林斯頓大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)教授摩根斯特恩 (Oskar Morgenstern，1902-1977) 合著的《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》(Theory of Games and Economic Behavior)，成了博弈論的奠基之作。他在得知自己罹患不治之癥后的最后歲月里，努力探索電腦與人腦的類似機(jī)制，其未完成的應(yīng)邀為耶魯大學(xué)于 1888 年建立的“斯里曼紀(jì)念講座”所寫的講稿，在他離世后以 “計(jì)算機(jī)和人腦”(The Computer and the Brain) 為書名由該大學(xué)的出版社出版。

四十年代中后期，隨著馮?諾伊曼幫助研制成功的第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，方便而又快速的數(shù)值計(jì)算極大地幫助了創(chuàng)造型數(shù)學(xué)家的大腦思維，成了他們提出問題、解決問題的好幫手。作為最早接觸現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)家，在與像費(fèi)米這樣的大物理學(xué)家合作解決物理問題的過程中，馮?諾伊曼等數(shù)學(xué)家成了“非線性分析”這一集數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)等學(xué)科于一身的科學(xué)領(lǐng)域的開創(chuàng)者。

馮?諾伊曼雖然是以一名偉大的數(shù)學(xué)家著稱于世，然而，政治家與軍事家也和科學(xué)家那樣對(duì)他一貫“頂禮膜拜”。在他臨終前住的美國(guó)首都華盛頓里德醫(yī)院病房里，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎一竅不通的“美國(guó)國(guó)防部正副部長(zhǎng)、陸海空三軍司令以及其他軍政要員們圍聚在他的病榻前，聆聽他最后的建議和非凡的洞見”。歷史上似乎沒有任何其他數(shù)學(xué)家在臨死前受到眾多軍事將領(lǐng)如此潸然淚下的最終告別。

然而，一些同時(shí)代或晚一輩的科學(xué)家覺得馮?諾伊曼的那顆大頭顱在開辟方向的原創(chuàng)性上，與它在迅速解決困難問題的超凡功能相比，還是有點(diǎn)“稍遜風(fēng)騷”的。比如，他生前短暫幾年的普林斯頓高等研究院同事、從純粹數(shù)學(xué)家起步的著名數(shù)學(xué)物理學(xué)家戴森，在其 2009 年發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊》(Notices of the American Mathematical Society) 第二期上的美文《鳥與蛙》(Birds and Frogs) 中，將馮?諾伊曼歸類于“解決問題高手”的“蛙類數(shù)學(xué)家”集合，而將楊振寧 (1922-) 放進(jìn)了“翱翔遼闊天空”的“鳥類數(shù)學(xué)家”行列。

按照戴森在《鳥與蛙》中的敘述，1954 年的荷蘭阿姆斯特丹國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的與會(huì)者們目睹了一幕像混沌所揭示的未可預(yù)測(cè)的尷尬情景，這是作者對(duì)馮?諾伊曼不很欣賞的一次描繪。當(dāng)希爾伯特關(guān)于 23 個(gè)數(shù)學(xué)問題的世紀(jì)報(bào)告過去了五十年后，人們希望一個(gè)新的高瞻遠(yuǎn)矚的希爾伯特能提出新的大問題來引導(dǎo)下一個(gè)五十年的數(shù)學(xué)發(fā)展。眾望所歸的這個(gè)人似乎非人氣最旺的馮?諾伊曼莫屬。于是大會(huì)的請(qǐng)柬寄去了，報(bào)告的題目 “數(shù)學(xué)未決問題” 也發(fā)給了參會(huì)代表。1954 年 9 月 2 日的下午 3 時(shí)整，風(fēng)塵仆仆匆匆趕來的馮?諾伊曼從嘴里吐出的是他三十年代早先工作的拿手好戲 “算子環(huán)”，而不是什么未決問題，這不啻給了眾多翹首以盼的數(shù)學(xué)家們一記悶棍。

因此，戴森評(píng)述道：馮?諾伊曼“實(shí)則是只青蛙，但每人都期望他像一只飛鳥 (He was really a frog but everyone expected him to fly like a bird)。”

然而，肯定會(huì)有一些同噸位的科學(xué)家不敢茍同如上的斷言。1954 年，馮?諾伊曼正在熱衷于做他不愧于“現(xiàn)代計(jì)算機(jī)之父”稱號(hào)的宏偉事業(yè)，他或許太忙了而不得不怠慢國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)對(duì)他的如此重托。因?yàn)檫@個(gè)插曲而得出“他不是鳥類數(shù)學(xué)家”的結(jié)論恐怕是有點(diǎn)理由不十分充分的。希爾伯特的創(chuàng)造力或許更強(qiáng)于馮?諾伊曼，但根據(jù)數(shù)學(xué)家傳記名作《希爾伯特：數(shù)學(xué)界的亞歷山大》(Hilbert) 中的記載，他在精心準(zhǔn)備 1900 年數(shù)學(xué)家大會(huì)的“數(shù)學(xué)問題”演講稿時(shí)，得到了他終生朋友閔可夫斯基 (Hermann Minkowski，1864-1909) 的鼎力幫助，所以他能提出影響深遠(yuǎn)的那堆 23 個(gè)問題，也是兩副數(shù)學(xué)巨腦“思維碰撞”的結(jié)晶。

法國(guó)布爾巴基數(shù)學(xué)學(xué)派的創(chuàng)始人之一兼第一寫作高手迪厄多內(nèi) (Jean Dieudonné，1906-1992)，把馮?諾伊曼稱為“最后一位偉大的數(shù)學(xué)家”。曾在四十年代當(dāng)過馮?諾伊曼的助手、寫過幾本膾炙人口數(shù)學(xué)名著的匈牙利裔美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯 (Paul Halmos，1916-2006)，對(duì)他的評(píng)價(jià)只用了一句話概括：“偉大的馮?諾伊曼使全人類受益”。而另一位匈牙利裔美國(guó)數(shù)學(xué)家、拿過美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)和阿貝爾獎(jiǎng)的拉克斯 (Peter Lax，1926-)，則把他描繪成二十世紀(jì)一個(gè)具有“最令人生畏非凡技術(shù)能力”以及“火花四射高智力”的大學(xué)者，說他有“最強(qiáng)大腦” (the most powerful brain)。他在一次紀(jì)念這位祖國(guó)先賢的采訪中甚至如此認(rèn)為：“如果馮?諾伊曼活得長(zhǎng)一點(diǎn)，他肯定可以獲得數(shù)學(xué)的阿貝爾獎(jiǎng)、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)、計(jì)算機(jī)的大獎(jiǎng)、量子力學(xué)的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，等等?！?/p>

馮?諾伊曼比我們中的絕大多數(shù)人都活得短，可是世界因?yàn)樗厝徊煌?。只要讀一讀麥克雷 (Norman Macrae，1923-2010) 于 1992 年出版的佳作《天才的拓荒者 —— 馮?諾伊曼傳》(John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More)，只要看一眼當(dāng)事人之一的戈德斯坦 (Herman Goldstine，1913-2004) 在他 1972 年所出版的書《計(jì)算機(jī)：從帕斯卡到馮?諾伊曼》(The Computer from Pascal to von Neumann) 中仔細(xì)回顧的美國(guó)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)五十年代早期發(fā)展史，就可以想象，如果僅僅活到剛過了 53 周歲生日 42 天的馮?諾伊曼能活到六十年代初美國(guó)第一屆國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)?lì)C發(fā)，說不定評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)真的難以決定是把這個(gè)美國(guó)科學(xué)家的最高榮譽(yù)授予他還是授予同樣對(duì)美國(guó)貢獻(xiàn)巨大的前輩匈牙利人馮?卡門。這個(gè)懸念的依據(jù)之一是：在馮?諾伊曼去世的前一年，美國(guó)總統(tǒng)艾森豪威爾 (Dwight Eisenhower，1890-1969) 授予他“總統(tǒng)自由勛章”。

簡(jiǎn)單回顧了柯爾莫哥洛夫和馮?諾伊曼的科學(xué)生涯后，我們既贊嘆二十世紀(jì)數(shù)學(xué)蒼穹的東西兩片天空曾經(jīng)閃耀過這兩顆光芒四射的星球，又遺憾意識(shí)形態(tài)之爭(zhēng)所激起的洶涌湍流令他們無法在數(shù)學(xué)大海中“同志加兄弟，并肩去暢游”的事實(shí)。但是，按照“科學(xué)無國(guó)界”的普適信念，同年出生的他們對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)事業(yè)，為全部人類榮光做出的豐功偉績(jī)，將“與天壤而同久，共三光而永光”。

完稿于 2023 年 2 月 4 日星期六

美國(guó)哈蒂斯堡夏日山莊

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