根據(jù)人們所熟知的六度分離理論，你能夠通過很少的熟人關(guān)系聯(lián)系到世界上的任意一個人。通常而言，人們普遍只生活在身邊緊密聯(lián)系的小朋友圈中。本文探討了 Stephen Strogatz 和 Duncan J. Watts 提出的數(shù)學(xué)模型，該模型能幫助解釋這個小世界現(xiàn)象。
六度分離理論（six degrees of separation），或凱文?貝肯（Kevin Bacon）的六度理論，是一個已進入大眾文化的數(shù)學(xué)概念。這個概念是指地球上任何兩個人有很大概率通過六個熟人建立聯(lián)系。它可以適用于你和英國國王、你和演員凱文?貝肯以及你和數(shù)學(xué)家保羅?埃爾德什（Paul Erd?s）。
這一想法源于社會學(xué)家斯坦利?米爾格拉姆（Stanley Milgram）在 20 世紀 60 年代進行的一項實驗。提起米爾格拉姆，更被眾人所知的或許是他開展的另一項更為危險的實驗。在這場實驗中，“權(quán)威”要求參與實驗的志愿者對扮演的測試對象施加“致命的電擊”。米爾格拉姆希望通過這個實驗理解數(shù)千名“普通”德國公民為何會在大屠殺期間犯下駭人罪行，而實驗結(jié)果相當令人驚訝：相當一部分被試這樣做了。
相比之下，米爾格拉姆的小世界實驗遠沒有那么令人不快。這個實驗想研究我們許多人都經(jīng)歷過的事情：你在遠離故鄉(xiāng)的地方遇到一個人，令你驚訝的是，你發(fā)現(xiàn)你們竟然有共同的朋友或熟人。這種尋常經(jīng)歷引出了小世界問題：能用一條熟人關(guān)系鏈把任何兩個人聯(lián)系起來嗎？這樣的關(guān)系鏈有多長？
為了研究這個問題，米爾格拉姆隨機選擇了故鄉(xiāng)遠在內(nèi)布拉斯加州（美國中西部）的居民，并要求他們通過朋友或熟人將一封信傳遞給波士頓（美國東北部）的收件人（米爾格拉姆當時在哈佛大學(xué)，就在波士頓的路上）。如果他們不認識收件人，就將信寄給熟人圈中他們認為更接近目標人物的那一位。雖然只有一小部分信件能夠到達目的地，但在到達的信件中，平均經(jīng)過的熟人數(shù)量為 6—— 六度分離理論由此誕生。這個結(jié)果非常令人意外，以至于它啟發(fā)了一部百老匯戲劇（創(chuàng)造了“六度分離理論”一詞）、一部電影、一部電視節(jié)目，甚至一個慈善社交網(wǎng)絡(luò)。
小世界性
今天，我們比以往任何時候都更加意識到，生活是在網(wǎng)絡(luò)上進行并通過網(wǎng)絡(luò)傳播的：不僅有社交網(wǎng)絡(luò)，還有基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)，如電網(wǎng)、水網(wǎng)和交通網(wǎng)絡(luò)、計算機的物理網(wǎng)絡(luò)和構(gòu)成互聯(lián)網(wǎng)的虛擬網(wǎng)絡(luò)，乃至于大腦神經(jīng)元和細胞內(nèi)代謝過程的生物網(wǎng)絡(luò)。所有這些網(wǎng)絡(luò)都是節(jié)點的集合 —— 人、發(fā)電站、計算機或神經(jīng)元 —— 通過鏈接連接起來 —— 友誼、電線、WiFi、互聯(lián)網(wǎng)電纜以及神經(jīng)連接。并且，以上所有網(wǎng)絡(luò)似乎都表現(xiàn)出相似的結(jié)構(gòu)。一方面，節(jié)點之間的平均距離（也就是一個節(jié)點到另一個節(jié)點需要經(jīng)過的節(jié)點數(shù)）往往很小；另一方面，網(wǎng)絡(luò)中也都有很多局部團簇：如果兩個節(jié)點相互連接，它們各自連接到的節(jié)點往往也會彼此連接起來。這兩個特征定義了數(shù)學(xué)家所說的小世界網(wǎng)絡(luò)。
為什么類似的小世界網(wǎng)絡(luò)如此普遍存在于世界上？在社交網(wǎng)絡(luò)中，自然會形成很多當?shù)厝后w —— 朋友的朋友常常會成為朋友。同時，熟人也可以在機場或度假時偶然結(jié)識，這會將距離較遠的兩個群體松散的聯(lián)系起來。這種直覺可以在 20 世紀 90 年代末數(shù)學(xué)家史蒂文?斯特羅加茨（Steven Strogatz）和鄧肯?J?瓦茨（Duncan J. Watts. Watts）開發(fā)的一個模型中描述出來。瓦茨的靈感來自他自己的經(jīng)歷，他來自澳大利亞，后前往美國康奈爾大學(xué)求學(xué)，在斯特羅加茨的指導(dǎo)下攻讀博士學(xué)位。他跨越半個地球的行為將兩個原本相距遙遠的群體聯(lián)系在一起，即他在澳大利亞的朋友和康奈爾的朋友。
在嘗試建立小世界網(wǎng)絡(luò)模型的過程中，瓦茨和斯特羅加茨做了數(shù)學(xué)家最常做的事情。他們從能找到的最簡單的模型開始：一個由朋友關(guān)系構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，其中的每個人只與指定數(shù)量的最近幾個鄰居是朋友。這樣的網(wǎng)絡(luò)是高度聚集的，但對于一個足夠大的網(wǎng)絡(luò)來說，隨機一個節(jié)點對之間的平均距離卻非常長。
隨后，瓦特和斯特羅加茨開始修改這個鄰居網(wǎng)絡(luò)的連接方式。他們隨機選擇一部分鏈接進行重新定向，方式是保持鏈接的一端固定，而另一端則連接到網(wǎng)絡(luò)中隨機選擇的節(jié)點。由于網(wǎng)絡(luò)中的大部分節(jié)點都不在任何一個最終連接到的節(jié)點的附近，因此重新建立的鏈接很可能會連接起兩個原本距離較遠的團體，從而大大縮短它們之間的距離。事實證明，只需一點點隨機性的重連就足以縮短節(jié)點之間的平均距離，并且不會破壞已有的局部團簇：在原本平均距離很遠的熟人網(wǎng)絡(luò)之間增加少量幾條“捷徑”，就足以使他們的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)成為小世界。
Watts 和 Strogatz 重新連接出了一個非常有序的網(wǎng)絡(luò)，其中的節(jié)點只與最近的若干鄰居是朋友。其他鏈接則被重新定向到圖中的隨機節(jié)點，只需進行幾次這樣的重新連接即可創(chuàng)建一個小世界。
在這種小世界網(wǎng)絡(luò)模型中，從一個節(jié)點到另一個節(jié)點的平均距離取決于網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)目和給定節(jié)點所連接的鄰居節(jié)點數(shù)。如果在重新連接時將隨機性發(fā)揮到極致，我們會得到一個完全隨機的網(wǎng)絡(luò)：每個節(jié)點隨機連接到個其他節(jié)點，兩個節(jié)點之間的平均距離與成正比，其中是節(jié)點總數(shù)。但 Strogatz 和 Watts 發(fā)現(xiàn)，并不需要在在初始“大世界”網(wǎng)絡(luò)中隨機重連太多次，就可以讓節(jié)點對之間的平均距離迅速下降到接近這個極限值。
具體情景中的分離度
結(jié)合具體場景，當前世界人口約為 80 億。如果去掉 15% 社交模式不典型的人（因為他們是嬰兒、太過年長或在其他方面不符合普羅大眾），則剩下 6,800,000,000 人。假設(shè)每個人平均有 35 個熟人（這是一個沒有證據(jù)支撐的猜測），我們可以估算出世界上任意兩個人在熟人關(guān)系定義下的平均距離為：
在用超級簡單的數(shù)學(xué)成功解釋小世界現(xiàn)象的幾年后，瓦茨將他的數(shù)學(xué)知識帶到了哥倫比亞大學(xué)社會學(xué)系，并在那成為了一名教授。2001 年，瓦茨和他的同事開展了現(xiàn)代版本的米爾格拉姆實驗，這次使用的是互聯(lián)網(wǎng)而不是慢吞吞的郵政系統(tǒng)。他們招募了來自 166 個不同國家的 60,000 多人，并安排了 18 位目標收件人，其中包括在美國的一名大學(xué)教授、在印度的一名技術(shù)顧問和在澳大利亞的一名警察。
與以前一樣，參與者被要求將電子郵件（代替紙質(zhì)信件）傳遞給他們認為更接近目標收件人的朋友或熟人?？紤]到未完成實驗的比例，該實驗再次發(fā)現(xiàn)，到達收件人所需的電子郵件數(shù)目平均為 6。有趣的是，或許是因為線上社交平臺讓人們更容易彼此之間產(chǎn)生聯(lián)系，對線上社交網(wǎng)絡(luò)的研究得出了略有不同的數(shù)字，例如 X 約為 3.4，F(xiàn)acebook 約為 4.5—— 看來互聯(lián)網(wǎng)確實讓世界變得更小了。
作者：Marianne Freiberger & Rachel Thomas
翻譯：virens
審校：7 號機
原文鏈接：Six degrees of separation
本文來自微信公眾號：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Marianne, Rachel
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