問任何一個物理愛好者，什么是量子力學(xué)？他們很可能會提到“薛定諤的貓”。接下來呢？則可能是薛定諤方程。但是這個方程究竟是什么，為什么它如此重要，以至于任何一個量子物理學(xué)家都會把它記在腦海中？1 月 7 日，在第十八期《張朝陽的物理課》上，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽在直播間再現(xiàn)薛定諤方程奇妙的發(fā)現(xiàn)過程，初步揭秘量子力學(xué)的核心理論。
復(fù)習(xí)經(jīng)典物理波動方程 回顧德布羅意物質(zhì)波公式
在直播間里，張朝陽帶領(lǐng)大家簡單復(fù)習(xí)前兩節(jié)課的要點，并重點回顧經(jīng)典力學(xué)中描述粒子和波的方式。在經(jīng)典物理中，力的作用導(dǎo)致粒子運動狀態(tài)的改變，可以用牛頓第二定律來描述這個改變過程。粒子的運動狀態(tài)由位置和速度來表征，力的作用會改變粒子的速度，從而改變其能量。而在量子力學(xué)中，粒子由波函數(shù)來描述。在此，張朝陽先向網(wǎng)友介紹了經(jīng)典力學(xué)中對波的描述方式。以一維波為例，在經(jīng)典力學(xué)中，波由相應(yīng)的波動方程來描述：
上述方程的解具有如下形式：
它示向左傳播和向右傳播的波的疊加。以平面波為例，描述平面波的 2 個主要參數(shù)為圓頻率 ω=2πf 和波數(shù) k=2π/λ。其中 λ 為波長，f 為頻率。
▲ 張朝陽介紹平面波
張朝陽帶著網(wǎng)友回顧德布羅意波的一些關(guān)系式：
它們在接下來薛定諤方程的引入中將會用到。
如何猜出薛定諤方程？ 求導(dǎo)和對照是關(guān)鍵
“我們努力地猜，當(dāng)年薛定諤是怎么想到這個方程的？他看到德布羅意的論文之后，意識到電子應(yīng)該用波來描述，于是把電磁波的想法轉(zhuǎn)移過來，猜出了這個方程，最后居然是對的?！睆埑栂裾f故事一樣引出今天的主題。
德布羅意提出物質(zhì)波的時候只是給出了波長和動量的關(guān)系，但是并沒有推導(dǎo)物質(zhì)波如何演化。那么，薛定諤是如何猜出這個方程的呢？直播過程中，張朝陽做了詳細(xì)生動的介紹。
他在白板上寫下光電場分量的平面波形式：
他解釋：“結(jié)合德布羅意公式，可以將其中的指數(shù)部分改寫為”：
這就是薛定諤猜測的物質(zhì)波的平面波形式。出于簡潔的需求，張朝陽先考慮了一維自由粒子的情況。其能量和動量滿足如下關(guān)系：
它在量子力學(xué)下是否依然滿足呢？薛定諤對此作出了勇敢的假設(shè)，認(rèn)為這個關(guān)系在非相對論量子力學(xué)框架內(nèi)依然成立。那怎樣在波函數(shù)上體現(xiàn)出這個關(guān)系呢？這就需要先將物質(zhì)平面波中的動量和能量“取”出來。
至此，張朝陽開始介紹求導(dǎo)得出動量和能量的方法。在平面波的式子中，動量和能量都出現(xiàn)在指數(shù)上，但是只要我們對位置 x 和時間 t 求偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的動量和能量不就下來了嗎？于是，張朝陽又展示了如下推導(dǎo)：
組合在一起就得到了有關(guān)這個平面波函數(shù)的方程。張朝陽強調(diào)，這個方程是線性偏微分方程，因此，它的各個解的線性組合，依然是原方程的解，這從形式上也符合量子力學(xué)的疊加原理。既然這個方程對平面波成立，而一般的波都可以看作是平面波的組合，那么這個方程對一般的自由物質(zhì)波也成立。這就得到了一維自由粒子的波動方程：
此時，張朝陽順勢介紹，當(dāng)存在外部勢場時，能量將不僅包含粒子動能，還應(yīng)當(dāng)包含勢能：
其中 U (x,t) 是勢能函數(shù)。結(jié)合前面的推導(dǎo)，就得到了著名的一維薛定諤方程：
（張朝陽在直播中介紹薛定諤方程的形式）
張朝陽介紹，薛定諤方程不是推導(dǎo)出來的，而是猜測出來的。它是非相對論量子力學(xué)的基本方程，具有公設(shè)性質(zhì)。只有根據(jù)薛定諤方程計算出結(jié)果，與實驗結(jié)果一致，我們才能說這個理論是對的。他還解釋，薛定諤方程的左邊是對時間的一次導(dǎo)數(shù)，而右邊是對空間的二次導(dǎo)數(shù)，這一點很關(guān)鍵。且考慮到因子 i 的存在，波函數(shù)不像電磁場那樣是實函數(shù)，而是復(fù)函數(shù)。
統(tǒng)計詮釋和波包速度：波函數(shù)的物理意義
不過，即使薛定諤猜出了波動方程，也不知道這個波的物理意義是什么。張朝陽由此引入量子力學(xué)的哥本哈根詮釋，也就是所謂的統(tǒng)計詮釋。
張朝陽介紹，“波函數(shù)的模方，表示的是粒子出現(xiàn)在相應(yīng)位置的概率密度，根據(jù)這個概率密度，我們只需要對特定區(qū)域積分，就可以得到在該區(qū)域上發(fā)現(xiàn)粒子的概率。當(dāng)我們得到粒子的波函數(shù)時，我們并不知道粒子具體在哪，我們得到的信息僅僅是測量后粒子在各位置出現(xiàn)的概率?！彼€進一步介紹波函數(shù)歸一化的概念。具體地來說，因為整個空間上發(fā)現(xiàn)粒子的概率是 1，于是波函數(shù)的模方在整個空間上的積分就等于 1。
此外，張朝陽還提到矩陣力學(xué)和波動力學(xué)的關(guān)系，他說，“它們就像一座高山上的兩條路徑”。換言之，矩陣力學(xué)和波動力學(xué)都是描述量子力學(xué)的正確方法，是相互等價的。
張朝陽再次演示，在量子力學(xué)中，粒子的速度不再等于 ω/k，而應(yīng)該等于相應(yīng)的波的群速度 dω/dk。根據(jù)張朝陽的計算，ω/k 實際上等于 v / 2，為粒子速度的一半。如果使用群速度 dω/dk 來計算，則得到了正確的速度 v。他解釋道，這是因為粒子在實際觀測中以波包的形式存在，群速度是描述整個波包的移動速度的，因此正好對應(yīng)于粒子的速度；而 ω/k 是等相位點的移動速度，不代表粒子的運動速度。
▲ 張朝陽介紹波包的群速度
“我們今天理解了薛定諤是怎么猜到薛定諤方程的，也知道描述具有波粒二象性的微觀粒子的波函數(shù)。后面，我們只要解這個方程，就能把天下所有事情給它算出來?！敝辈ノ猜?，他回顧這一課的主要內(nèi)容時說。同時他鼓勵網(wǎng)友，量子力學(xué)很難懂，“會用很多堂課來講。”據(jù)了解，下一講他將開始解薛定諤方程，來解釋氫的光譜，求一些波函數(shù)的定解，以及薛定諤方程的各種應(yīng)用。
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