2 月 20 日 12 時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第三十期開(kāi)播。搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間。他先帶著網(wǎng)友復(fù)習(xí)麥克斯韋速度分布律，補(bǔ)充了速度分布化為速率分布的細(xì)節(jié)，引出關(guān)于直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的討論，并導(dǎo)出球坐標(biāo)系的體積元。之后以球殼與質(zhì)點(diǎn)間的引力計(jì)算為例，結(jié)合巧妙的積分參數(shù)變換，得到具體公式，最終發(fā)現(xiàn)球殼所受引力可以等效到其質(zhì)心上，即質(zhì)量集中到球心。將球殼積分變?yōu)榍蝮w也具有同樣的結(jié)論。
“今天是復(fù)習(xí)和反芻的一天?！睆埑?yáng)說(shuō)，“上節(jié)課談了玻爾茲曼在速度場(chǎng)和重力場(chǎng)的分布，今天本來(lái)想講點(diǎn)玻爾茲曼分布更普遍的證明，但比它更重要的，是組合與熵的概念。這樣就得學(xué)點(diǎn)熱力學(xué)、學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)，補(bǔ)充點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)?！?/p>
區(qū)別與聯(lián)系：麥克斯韋速度分布與速率分布
張朝陽(yáng)先帶著網(wǎng)友復(fù)習(xí)如何推導(dǎo)麥克斯韋速度分布。“它重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)理想氣體的各向同性，表明速度分布只與速率有關(guān)?！彼忉屨f(shuō)，依據(jù)三個(gè)垂直方向上速度分布的獨(dú)立性，可以將總的速度分布函數(shù)分解為各個(gè)方向上速度分布函數(shù)的乘積；之后取對(duì)數(shù)，將乘積化為求和的形式，再對(duì)某一速度分量求偏導(dǎo)；結(jié)合一些簡(jiǎn)單的變換，就可以用分離變量法，解出各方向上的速度分布，進(jìn)而回過(guò)頭來(lái)，得到完整的三維速度分布。
利用球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系中體積微元之間的關(guān)系，可將速度分布化為速率分布。張朝陽(yáng)指出，“速率分布顯示，粒子速率趨于 0 時(shí)，概率密度趨于 0。然而，速度分布卻顯示，粒子在某方向上的速度為 0 時(shí)，概率密度取到最大值?！?/p>
怎么理解這個(gè)看似矛盾的結(jié)果呢？張朝陽(yáng)解釋說(shuō)，速度分布描述的是，速度處在速度區(qū)間 Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz 的粒子數(shù)，它對(duì) x、y、z 三個(gè)分量都有要求，只要其中一個(gè)速度分量超出此區(qū)間，就不計(jì)算在分布里面。但是，速率分布描述的是速率處在速率區(qū)間 V~V+dV 的粒子數(shù)。由速率與速度的定義，可以知道他們并不是一一對(duì)應(yīng)的。一個(gè)速率可以對(duì)應(yīng)多個(gè)速度。一個(gè)速度區(qū)間 A 的粒子，對(duì)相應(yīng)的速率區(qū)間 dV 有貢獻(xiàn)；但速率區(qū)間 dV，包含的不只有速度區(qū)間 A 的粒子，還包含了其它速度區(qū)間 B、C、D 等的粒子。由速率與速度之間的關(guān)系，可以看出，當(dāng)速率越小，其在球坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的球面越小，直觀來(lái)講就是對(duì)應(yīng)的可取速度狀態(tài)數(shù)越少。所以，即使速度分布在各自速度分量趨于 0 時(shí)能取到最大值，對(duì)速率分布，當(dāng)速率趨于 0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)數(shù)急劇下降，概率密度趨于 0。
如何定量描述速率區(qū)間與速度區(qū)間狀態(tài)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？張朝陽(yáng)告訴網(wǎng)友，“這就涉及到球坐標(biāo)系體積微元的推導(dǎo)?！?/p>
幾何與變換：球坐標(biāo)系的體積微元
張朝陽(yáng)對(duì)著示意圖邊寫公式邊推導(dǎo)。他說(shuō)，在球坐標(biāo) (r,θ,φ) 所示的某點(diǎn)上，給 θ 做一個(gè)微小的變化 dθ，同時(shí)也給 φ 做一個(gè)微小的變化 dφ，就會(huì)在半徑為 r 的球面上，劃出一個(gè)邊長(zhǎng)分別為 rdθ 與 rsinθdφ 的小面積元，其面積大小為 r^2sinθdθdφ, 若對(duì) r 再做個(gè)微小的變化 dr，則會(huì)形成一個(gè)以前述面積元為底、高度為 dr 的體積微元，其體積大小是 r^2sinθdθdφdr，這就是球坐標(biāo)區(qū)間 θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr 所對(duì)應(yīng)的體積。
（推導(dǎo)球坐標(biāo)系的體積元）
在笛卡爾坐標(biāo)系里，體積微元是 dxdydz；將積分變量從直角坐標(biāo)系變換到球坐標(biāo)系后，就可以將直角坐標(biāo)的體積微元換成 r^2sinθdθdφdr 再繼續(xù)積分。當(dāng)然，類似地，反過(guò)來(lái)從球坐標(biāo)到直角坐標(biāo)也是可以進(jìn)行變換的。
同理，將 x，y，z 換成速度 Vx，Vy，Vz，速度區(qū)間所示的體積微元 dVxdVydVz 對(duì)應(yīng)到球坐標(biāo)系里的體積微元就是 V^2sinθdθdφdV，其中 V 是速率。所以當(dāng)速率趨于零時(shí)，體積元以 V^2 方式減小到零，這就解釋了為什么速率趨于零時(shí)對(duì)應(yīng)的速率分布值也趨于零。
分割、換元、組合、等效：計(jì)算均勻球體的引力
作為球坐標(biāo)系的一個(gè)典型應(yīng)用，現(xiàn)在計(jì)算質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)與半徑為 r 的球殼之間的引力，質(zhì)點(diǎn)與球心的距離為 R，具體參數(shù)如下圖所示：
（張朝陽(yáng)巧妙選取積分變量計(jì)算球殼與質(zhì)點(diǎn)的引力）
張朝陽(yáng)繼續(xù)說(shuō)明，“設(shè)球殼密度為 ρ，半徑為 r 的球殼上的小體積元質(zhì)量為 ρr^2sinθdθdφdr，其與質(zhì)點(diǎn)的距離設(shè)為 l，則球殼與質(zhì)點(diǎn) m 之間的引力為：”
如果將 x 與 l 表示為 cosθ 的函數(shù)，積分會(huì)變得比較難，故嘗試選取其它參量作為積分變量。注意到 cosθ 可由其所在的直角三角形的邊長(zhǎng)表示為：
那么質(zhì)點(diǎn) m 與球殼之間的引力為：
現(xiàn)在只剩下 x 與 l 兩個(gè)參量，只要將其中一個(gè)表示成另一個(gè)，就可以做積分。張朝陽(yáng)選擇將 x 用 l 表示出來(lái)，最終全部化成對(duì) l 的積分。為了完成此目的，注意到包含 θ 所在的直角三角形有勾股定理：
利用此公式可以將 x 表示為：
最后代入積分公式里并完成對(duì) l 的積分后：
注意到球殼的質(zhì)量為 4πr^2ρdr，R 是質(zhì)點(diǎn)到球殼的距離，從上述引力的公式可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)點(diǎn) m 與球殼的引力可以等效地看成是球殼所有質(zhì)量集中在球心的引力。那么將球殼按照 r 積分起來(lái)，就得到質(zhì)點(diǎn) m 與球體之間的引力：
他指出，“可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)點(diǎn)與球體的引力也可以等效地把球體質(zhì)量看成集中在球心，并且即使球體密度與徑向距離有關(guān)，也不影響此結(jié)論。”
“球體在宇宙學(xué)里是普遍存在的形狀，可以利用這個(gè)結(jié)論方便簡(jiǎn)易地得到其萬(wàn)有引力，所以這個(gè)結(jié)論具有非常重要的意義?！敝辈ソY(jié)尾，張朝陽(yáng)告訴網(wǎng)友。
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