如何知道月球距離地球有多遠(yuǎn)？太陽的質(zhì)量和半徑有多大？3 月 25 日 12 時，《張朝陽的物理課》第三十九期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，從牛頓萬有引力公式出發(fā)，通過生動的講解帶網(wǎng)友了解科學(xué)家們是如何估算月地距離和太陽質(zhì)量的。同時，張朝陽還借助黑體輻射相關(guān)公式，估算了太陽的半徑。
復(fù)習(xí)空間站受擾動軌跡方程 計算地球同步衛(wèi)星軌道半徑
在上一期的直播課程中，張朝陽介紹了空間站受到擾動后軌道的變化規(guī)律。為便于理解，在本次課程開始，他先帶網(wǎng)友復(fù)習(xí)了這部分內(nèi)容。假設(shè)空間站開始時做半徑為 r0 的圓周運(yùn)動，速度大小為 v。在某一時刻空間站受到擾動，其速度大小改變了 Δv ，那么空間站新的軌跡方程為：
由此公式可知，這個擾動的效應(yīng)是線性的，軌道的變化很微小，因此在空間站工作的宇航員不用擔(dān)心會因為微小的擾動而掉落下來。
回到本次課程的主題，張朝陽強(qiáng)調(diào)，可以使用中學(xué)物理和非常簡單的數(shù)學(xué)來計算一些常見的天文學(xué)的量。他回顧了同步衛(wèi)星的距離計算。所謂同步衛(wèi)星，就是其繞地球的旋轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)保持同步的衛(wèi)星，從而與地球表面保持相對靜止。由于同步衛(wèi)星的周期是 24 小時。根據(jù)圓周運(yùn)動的加速度和萬有引力公式，衛(wèi)星繞地做圓周運(yùn)動的方程為：
其中 r 是圓周半徑，v 是衛(wèi)星速度，G 和 Me 分別是引力常數(shù)和地球質(zhì)量。在圓周運(yùn)動中 v=ωr，這里 ω 是角速度。代入上式可得：
張朝陽在此再次介紹了“黃金替換”：因為在地球表面有重力加速度 g=GMe / R^2，故可用 gR^2 替換式中引力常數(shù)和地球質(zhì)量的乘積。另外，要計算的是同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以要將上式化為
由于轉(zhuǎn)一圈的弧度是 2π，一天是 60×60×24=86400 秒，因此同步衛(wèi)星的角速度為 2π/86400 弧度每秒。代入各項數(shù)值即可得到同步衛(wèi)星與地球中心的距離，約 42600 公里。張朝陽打趣道，這個距離相當(dāng)于什么呢？打個比方，空間站就像是出了地球的家門口，而同步衛(wèi)星就像是出了遠(yuǎn)門。
計算月球到地球的距離 推導(dǎo)太陽質(zhì)量約為 2×10^30 千克
在同步衛(wèi)星的計算基礎(chǔ)之上，張朝陽順?biāo)浦鄣赜嬎懔嗽虑虻降厍虻木嚯x。月球的周期大約是一個月 30 天（精確數(shù)值為 27.32 天），其角速度是同步衛(wèi)星的三十分之一。根據(jù)前面的公式可以知道，月地距離的立方是同步衛(wèi)星半徑立方的 900 倍。因此月地距離大約是同步衛(wèi)星軌道半徑的 9.65 倍。這樣即可估算月地距離約為 40 萬公里。
他強(qiáng)調(diào)，假設(shè)衛(wèi)星都在做圓周運(yùn)動，那么轉(zhuǎn)得越慢的衛(wèi)星越在外層軌道，距離地球越遠(yuǎn)；轉(zhuǎn)得越快的衛(wèi)星越在內(nèi)層軌道，距離地球越近。
隨后，張朝陽又計算了太陽的質(zhì)量。此情況下，地球是太陽的衛(wèi)星，因此前面的公式要把地球質(zhì)量換成太陽質(zhì)量，即
同時，地球繞太陽的周期約為一年 365 天，據(jù)此可以得到地球公轉(zhuǎn)角速度。張朝陽解釋，在這里我們使用天文學(xué)測量得到的太陽到地球的距離數(shù)值。這個距離數(shù)值可以根據(jù)一些天文觀測計算得到。代入相應(yīng)數(shù)值之后得到太陽質(zhì)量約為 2×10^30 千克?！爸灰芎唵蔚挠嬎憔涂梢岳斫夂芏嗍虑椤！彼僖淮螐?qiáng)調(diào)計算的重要性。
結(jié)合黑體輻射進(jìn)行推導(dǎo) 估算太陽半徑約 70 萬公里
計算了太陽質(zhì)量之后，張朝陽帶網(wǎng)友計算太陽半徑。對于太陽半徑有很多計算方法，比如根據(jù)太陽的視張角，借助日地距離利用一些簡單的三角關(guān)系就可以計算出太陽的半徑。
▲ 張朝陽利用視張角計算太陽半徑的示意圖
隨后，他又介紹了一種更“奢侈”的方法。太陽輻射可以近似看作黑體輻射。太陽光能量譜的峰值波長大約在 500nm 處，根據(jù)黑體輻射的維恩位移定律可計算太陽的表面溫度。維恩位移定律指出，黑體的溫度與其輻射的峰值波長成反比，比例常數(shù)約為 2.898×10^{-3} 米開爾文，于是立即得到太陽表面溫度：
張朝陽介紹，太陽半徑大約是地球半徑的 109 倍，比月地距離還要大。
▲ 張朝陽利用黑體輻射知識計算太陽半徑
截至目前，《張朝陽的物理課》已直播三十余期。從去年 11 月開啟第一節(jié)物理直播課，他先是從經(jīng)典物理學(xué)開始，科普了牛頓運(yùn)動定律與能量動量守恒原理等；接著從經(jīng)典物理的“兩朵烏云”說起，向近現(xiàn)代物理過渡，探討了黑體輻射、光電效應(yīng)等問題。而后在量子力學(xué)上從薛定諤方程出發(fā)，陸續(xù)推導(dǎo)介紹了無限深勢阱、氫原子波函數(shù)，及諧振子量子化等更加具體實(shí)用的案例。
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