再過幾天就要到小雪了
不知不覺北京也慢慢冷了起來
就在不久前的夏天
還在盼望秋冬的涼爽
沒想到冬天一到
又開始懷念春夏的溫暖
在這寒冷的冬天
最想做的事情就是去海邊度假
畢竟距離明年暑假只剩下 212 天了！
沙灘 陽光 海風(fēng) 快樂的我
要不從現(xiàn)在開始做做預(yù)習(xí)吧！
身為一個合格的卷王（菜鳥）
到時候去了海邊不得給同行的小伙伴分享知識?。?/p>
如此陽光上進(jìn)的旅程
誰聽了都要羨慕！
提到海洋知識
怎么能少得了海洋動物呢
它們在海洋中留下了一道道優(yōu)美的曲線軌跡
而且…
它們的運動里竟然藏著量子動力學(xué)的秘密？
Part I 海洋精靈們的運動特征 —— 萊維飛行
我們都知道很多生物的特征可以用數(shù)學(xué)的方式來描述。
成熟向日葵盤內(nèi)的種子形成兩組方向相反螺旋線，一組順時針，另一組逆時針。而這兩組螺旋線的條數(shù)剛好是斐波那契數(shù)列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……）中相鄰的兩個數(shù)字。
除此之外，寶塔菜奇異的形狀是分形幾何圖案的案例之一。
那么海洋生物的什么特征可以用數(shù)學(xué)的方式來表達(dá)呢？讓我們以鯊魚為例，一起來探索一下吧！
在生活中，我們的行動軌跡常常由我們的想法所決定，例如早上出門前往學(xué)校、工作地點，吃飯時間前往食堂、飯店等等。你有沒有思考過，鯊魚的運動行為是什么樣的呢？
作為海洋中兇猛的掠食者，鯊魚需要高效地“干飯”。
那么鯊魚怎樣運動才能又準(zhǔn)又快的“干飯”呢？讓我們先來考慮一種最簡單的情況 —— 隨機(jī)運動。也許鯊魚就是完全隨機(jī)的游來游去呢？
這時候，我們就不得不提到經(jīng)典的布朗運動。
1827 年，英國植物學(xué)家 Robert Brown 用顯微鏡觀察懸浮于水中的花粉粒時，發(fā)現(xiàn)這些花粉粒會做連續(xù)快速而不規(guī)則的隨機(jī)移動，這種移動稱為“布朗運動” (Brownian motion)。
布朗運動是指懸浮在液體或氣體中的微粒所做的永不停息的無規(guī)則運動。
布朗運動的樣本路徑非常特殊，它是關(guān)于時間 t 的連續(xù)函數(shù)，雖然處處連續(xù)但是處處不可微 [2]。
大量布朗粒子在 t 時刻空間位置的概率分布呈現(xiàn)正態(tài)分布。
鯊魚的運動規(guī)律符合布朗運動的特征嗎？
理論分析表明，與簡單布朗運動相比，萊維飛行（Le′vy Flights）會增加鯊魚等海洋生物捕食效率。
萊維飛行以數(shù)學(xué)家 P. Le′vy 命名，是一種隨機(jī)行走的方式，本質(zhì)是一種隨機(jī)的概率分布，其步長符合萊維分布的特征，可以通過以下分布函數(shù)來描述：
其中，1 ＜μ≤ 3，lj 是飛行步長。
與所有隨機(jī)過程一樣，萊維隨機(jī)運動起源于擴(kuò)散過程。因此，Lévy 隨機(jī)運動原理可用于隨機(jī)方法和模擬隨機(jī)以及偽隨機(jī)的自然現(xiàn)象。尤其是，它們表現(xiàn)出一種異常的擴(kuò)散現(xiàn)象：在系統(tǒng)中存還在一種“微觀結(jié)構(gòu)”。因此，Lévy 隨機(jī)運動與混沌理論是相關(guān)的。
萊維飛行具有冪律漸進(jìn)性（即服從重尾分布）、符合廣義中心極限定理、具有隨機(jī)分形特性等特征。
萊維飛行是一種隨機(jī)行走，步長具有萊維分布，該概率分布是重尾的。也就是說，當(dāng)定義為在尺寸大于 1 的空間中行走時，所執(zhí)行的步驟是各向同性的隨機(jī)方向意味著在隨機(jī)行走的過程中有相對較高的概率出現(xiàn)大跨步。這也是萊維飛行和布朗運動的明顯差異。
“萊維飛行”一詞是由 Beno?t Mandelbrot 提出的，他將其用于步距分布的一種特定定義。對于步長分布為 Cauchy 分布的情況，他使用術(shù)語 Cauchy 飛行；當(dāng)為正態(tài)分布時，則使用 Rayleigh 飛行術(shù)語（這不是重尾概率分布的示例） ）。
后來的研究人員擴(kuò)展了“Le′vy 飛行”一詞的使用，以包括隨機(jī)游走發(fā)生在離散網(wǎng)格而不是連續(xù)空間上的情況。
通過對多種海洋生物（包括絲鯊、黃鰭金槍魚、藍(lán)槍魚、劍魚、海龜、企鵝等）運動軌跡的追蹤，研究者們發(fā)現(xiàn)當(dāng)海洋生物處于周圍食物匱乏的情況時，它們的運動策略會呈現(xiàn)萊維飛行的特征，捕食者們在這種運動策略下就可以更加高效的“干飯”。
不僅適用于海洋生物的運動軌跡，萊維飛行還被運用到蒼蠅的飛行行為、微生物行為甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)中。
Part II 解開量子現(xiàn)象的鑰匙 —— 量子模擬
讀到這里，你或許會覺得萊維飛行很神奇，但它的魅力不僅于此，萊維飛行的統(tǒng)計數(shù)據(jù)甚至可以適用于量子系統(tǒng)中的流體動力學(xué)過程。
在了解萊維飛行的具體作用之前，先讓我們一起來看看量子系統(tǒng)的問題一般是用什么方法進(jìn)行研究的。
近年來，量子計算、量子信息和量子模擬等領(lǐng)域越來越得到了公眾的關(guān)注。
類似于其他模擬方法，量子模擬是通過人為控制變量的量子系統(tǒng)來對比自然界中各種各樣的量子現(xiàn)象和經(jīng)典現(xiàn)象。1982 年，F(xiàn)eynman 出于該目的提出了量子模擬器的概念。
對于傳統(tǒng)的超級計算機(jī)來說，由于規(guī)模和速度的限制，模擬一個復(fù)雜的量子系統(tǒng)的動力學(xué)是一項難度很高的任務(wù)。
但對量子模擬器來說，模擬復(fù)雜的量子系統(tǒng)的動力學(xué)就如魚得水了，它可以實現(xiàn)對任意的量子態(tài)的演化。
量子計算機(jī)和量子模擬器十分類似，卻強(qiáng)調(diào)了不同的使用側(cè)重點，我們更關(guān)注量子計算機(jī)的計算功能和量子模擬器的對比模擬功能。
我們知道，在自然界中，量子系統(tǒng)的演化很難人為精準(zhǔn)的控制和改變，所以我們很難去控制變量，因此研究不同參數(shù)下的量子動力學(xué)性質(zhì)是很困難的。
在這種情況下，量子模擬是研究量子動力學(xué)行為的有效方法，在量子模擬的過程中，我們可以人為地精準(zhǔn)控制量子系統(tǒng)的各個參數(shù)，高通量的調(diào)節(jié)參數(shù)進(jìn)行多次掃描和重復(fù)。在這樣的條件下，我們可以從多個角度來探索量子系統(tǒng)的性質(zhì)，進(jìn)行系統(tǒng)的研究。
一般地，量子模擬經(jīng)常被用到時間晶體量子模擬、量子多提局域化模擬熱力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)、拓?fù)洹稣摰攘孔幽M和量子化學(xué)模擬等各個領(lǐng)域的科學(xué)研究之中。
Part III 量子磁體的動力學(xué)模擬 —— 萊維飛行
量子模擬器雖然很強(qiáng)大，但是，如果沒有執(zhí)行相同計算的能力，我們該如何驗證量子模擬器的結(jié)果呢？
對量子系統(tǒng)的觀察表明，我們可以用描述流體行為的伯努利方程來表示量子系統(tǒng)的長期行為。
研究者們通過量子模擬器對 51 個可單獨控制離子的系統(tǒng)進(jìn)行了長程量子磁體的動力學(xué)的模擬研究。
其中，量子系統(tǒng)中單個離子的量子態(tài)是由一個緊密聚焦的、可操縱的激光束控制的，激光束能夠定位任何離子，同時激光束可以與離子進(jìn)行相互作用。
在這里，萊維飛行再次發(fā)揮了重要的作用，在這個量子系統(tǒng)中，量子磁體的動力學(xué)過程模擬是由萊維飛行的分布規(guī)律所控制的。
通過改變?nèi)R維飛行的冪指數(shù)，發(fā)現(xiàn)在一個由量子力學(xué)效應(yīng)主導(dǎo)的初始階段之后，這個系統(tǒng)實際上可以用流體動力學(xué)（從正常擴(kuò)散到異常超擴(kuò)散）中熟悉的方程來描述。
正如我們前面所描述的，萊維飛行的一個重要特征是概率分布是重尾的，意味著在隨機(jī)行走的過程中有相對較高的概率出現(xiàn)大跨步。在這里，則說明長距離相互作用對輸運有很強(qiáng)的影響。
這樣的處理方式也為驗證量子模擬器的結(jié)果提供了有效的思路：在某個時間點之后，量子系統(tǒng)將遵循經(jīng)典流體動力學(xué)的定律。通過與經(jīng)典流體動力學(xué)定律進(jìn)行對比，如果出現(xiàn)了強(qiáng)烈的偏差，則表明量子模擬器無法正常進(jìn)行工作。
當(dāng)我們以后去海邊玩的時候
在讓大海帶走你的憂愁的同時
不妨也想一想今天學(xué)到的萊維飛行
在欣賞大魚吃小魚的過程中，
不知不覺也拿捏了量子動力學(xué)的秘密呢！
會不會得到更加滿足的快樂呢？
參考文獻(xiàn)
[0] 封面圖原圖來自 pixabay
[1] 布朗運動-知乎
[2] 姜培華，周巧沿，蘭天涯，劉可欣.布朗運動幾種變化形式的概率性質(zhì)及其應(yīng)用 [J].南通大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版),2022,21 (01):88-94.
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[9] Feynman R P 1982 Int. J. Theor. Phys. 21 467
[10] 王淑紅，蔣迅.萊維飛行的提出者 —— 保羅?皮埃爾?萊維 [J].科學(xué)，2019,71 (05):50-54.
[11] Levy distribution（列維分布）和 Levy fligt（列維飛行），CSDN
本文來自微信公眾號：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Norma、Garrett
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