歐洲的代數(shù)學(xué)，是在卡爾達(dá)諾和塔爾塔里亞之間那場著名的論戰(zhàn)之后，才有了真正的起步。要弄清這場震動數(shù)學(xué)界的論戰(zhàn)的來龍去脈，我們還得分別講起。
話說 16 世紀(jì)的最初幾年，在意大利最古老的波倫亞大學(xué)，有一位叫費(fèi)洛 (Ferlo，1465—1526) 的數(shù)學(xué)教授，他潛心于研究當(dāng)時的世界難題 ——— 一元三次方程的公式解。
大家知道，盡管在古代的巴比倫和古代的中國，都已掌握了某些一元二次方程的解法，但一元二次方程的公式解，卻是由中亞數(shù)學(xué)家阿爾?花拉子米 (Al-Khowarizmi，約 783— 約 850) 在 825 年給出的。花拉子米是把方程 x2+ax+b=0 改寫為
的形式，從而得出方程的兩個根
花拉子米之后，許多數(shù)學(xué)家曾為探求三次方程解法的奧秘進(jìn)行過不懈的努力。但在 700 年的時間長河中，除了取得個別方程的特解之外，沒有人能獲得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。在嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)面前，有些人卻步了，他們懷疑這樣的公式解根本不存在。然而費(fèi)洛卻不以為然，依舊執(zhí)著地追求著。蒼天不負(fù)有心人，他終于在不惑之年，取得了重大突破。
1505 年，費(fèi)洛宣布，他本人找到了形如 x3+px=q 的三次方程的一個特別情形的解法。在那個時代，為了能在當(dāng)時頗為流行的數(shù)學(xué)競賽上一放光輝，數(shù)學(xué)家們都力圖保持著自己發(fā)現(xiàn)的秘密，所以費(fèi)洛當(dāng)時沒有公開發(fā)表自己的成果是不足為怪的。但是費(fèi)洛終于沒能找到一個得以顯露自己才華的機(jī)會而抱恨逝去，以至于人們至今還無法完全解開費(fèi)洛解法之謎。然而，人們似乎確切地知道，費(fèi)洛曾把自己的方法傳授給一個得意門生，威尼斯的佛羅雷都斯。
現(xiàn)在話題轉(zhuǎn)到另外一邊。意大利北部的布里西亞，有一個頗有小名氣的青年人叫尼克羅?塔爾塔里亞。他原名方塔那，幼年喪父，家境貧寒，還受過九死一生的磨難。傷痛、恐懼和驚嚇，留給他一個口齒不靈的毛病。后來他干脆改名為“塔爾塔里亞”，即意大利語“結(jié)巴”。
小塔爾塔里亞天資聰慧，勤奮好學(xué)。他研究物理，鉆研數(shù)學(xué)，很快顯露出超人的才華。尤其是他發(fā)表的一些論文，思路奇特，見地高遠(yuǎn)，表現(xiàn)了其相當(dāng)深的數(shù)學(xué)造詣，從而一時間聞名遐邇。
塔爾塔里亞的自學(xué)成才，受到了當(dāng)時科班出身的一些人的輕視和妒忌。
1530 年，布里西亞的一位數(shù)學(xué)教師科拉，向塔爾塔里亞提出了兩個挑戰(zhàn)性問題，想以此難倒對方。這兩個問題是：
(1) 求 1 個數(shù)，其立方加上平方的 3 倍等于 5。
(2) 求 3 個數(shù)，其中第 2 個數(shù)比第 1 個數(shù)大 2，第 3 個數(shù)又比第 2 個數(shù)大 2，它們的積為 1000。
這實(shí)際是兩道求三次方程實(shí)根的題，如果設(shè)題中的第 1 個數(shù)為 x，則第 1 道題的方程是 x3+3x2-5=0，第 2 道題的方程是 x3+6x2+8x-1000=0。塔爾塔里亞求出了這兩個方程的實(shí)根，從而贏得了這場挑戰(zhàn)，并為此名聲大震。
消息傳到波利亞大學(xué)。費(fèi)洛的學(xué)生佛羅雷都斯聽到，在布里西亞居然也有人會解三次方程，心中感到有點(diǎn)不是滋味。他原以為自己得名師單傳，此生此世該是獨(dú)一無二的，不料半路殺出一個“程咬金”，而且還是一個不登大雅之堂的小人物，怎能使人信服? 于是他們幾經(jīng)協(xié)商，終于決定于 1535 年 2 月 22 日，在意大利第二大城米蘭，公開舉行數(shù)學(xué)競賽。雙方各出 30 道題，在 2 小時之內(nèi)決定勝負(fù)。
賽期漸近，塔爾塔里亞因自己是自學(xué)出山而感到有些緊張。他想，“佛羅雷都斯是費(fèi)洛的弟子，說不準(zhǔn)他會拿解三次方程來為難自己，那么自己要怎樣去對付呢?”他又想，“自己已經(jīng)掌握的一類解法跟費(fèi)洛的解法相差多遠(yuǎn)呢?”他苦苦思索著，腦海中的思路不斷進(jìn)行著各種新的組合，這些新的組合終于撞擊出靈感的火花。
在臨賽前 8 天，塔爾塔里亞終于找到了進(jìn)一步解三次方程的辦法。為此他欣喜若狂，并充分利用剩下的 8 天時間，一面熟悉自己的新方法，一面精心構(gòu)造了 30 道只有運(yùn)用新方法才能解出的問題。
1535 年 2 月 22 日，米蘭的哥特式大理石教堂內(nèi)，人頭攢動，熱鬧非凡，大家翹首等待著競賽的到來。比賽開始了，雙方所出的 30 道題都是令人眩目的三次方程問題。但見塔爾塔里亞從容不迫，運(yùn)筆如飛，在不到 2 小時的時間內(nèi)，解完了佛羅雷都斯的全部問題。與此同時，佛羅雷都斯提筆拈紙，望題興嘆，以 0∶30 敗下陣來！
消息傳出，數(shù)學(xué)界為之震動。在米蘭市有一個人坐不住了，他就是當(dāng)時馳名歐洲的醫(yī)生卡爾達(dá)諾。卡爾達(dá)諾不僅醫(yī)術(shù)頗高，而且精于數(shù)學(xué)，曾發(fā)表過不少數(shù)學(xué)論文，并精心研究過三次方程問題，但無所獲。所以當(dāng)他聽到塔爾塔里亞已經(jīng)掌握三次方程的解法時，滿心希望能分享這一成果。
然而當(dāng)時的塔爾塔里亞已經(jīng)譽(yù)滿歐洲，所以并不打算把自己的成果立即發(fā)表，而是醉心于完成《幾何原本》的巨型譯作。對眾多的求教者，他一概拒之門外。當(dāng)過醫(yī)生的卡爾達(dá)諾，熟諳心理學(xué)的要領(lǐng)，以勤奮、刻苦、真誠打動塔爾塔里亞，使他似乎見到了自己幼年的影子，從而成了唯一的例外。1539 年，在卡爾達(dá)諾的再三懇求下，塔爾塔里亞終于同意把自己的秘訣傳授給他，但有一個條件，就是要嚴(yán)守秘密。
然而，卡爾達(dá)諾并沒有遵守這一諾言。1545 年，他用自己的名字發(fā)表了《大法》(ArsMagna，意即偉大的技藝) 一書，書中介紹了不完全三次方程的解法，并寫道：
“大約 30 年前，波倫亞的費(fèi)洛就發(fā)現(xiàn)了這一法則，并傳授給威尼斯的佛羅雷都斯，后者曾與塔爾塔里亞進(jìn)行過數(shù)學(xué)競賽。塔爾塔里亞也發(fā)現(xiàn)了這一方法。在我的懇求下塔爾塔里亞把方法告訴了我，但沒有給出證明。借助于此，我找到了若干證法，因其十分困難，現(xiàn)將其敘述如下?！?/p>
以上，就是后來人們把三次方程的求根公式，稱作卡爾達(dá)諾公式的緣由。
卡爾達(dá)諾指出，對不完全三次方程
給出了它的解。
順便要說的是，從完全三次方程 ax3+bx2+cx+d=0，到不完全三次方程，只需施行一個變換 y=x+b / 3a。這實(shí)際上只有一步之遙。
《大法》發(fā)表第二年，塔爾塔里亞發(fā)表了《種種疑問及發(fā)明》一文，譴責(zé)卡爾達(dá)諾背信棄義，并要求在米蘭與卡爾達(dá)諾公開競賽，一決雌雄。
然而，到參賽那天，出陣的并非卡爾達(dá)諾本人，而是他的天才學(xué)生，一位從小當(dāng)過仆人，因才華出眾而被卡爾達(dá)諾看中的青年人費(fèi)拉里 (Ferrari，1522—1565)。此時的費(fèi)拉里風(fēng)華正茂，思維敏捷，能言善辯。他不僅掌握了解三次方程的要領(lǐng)，而且已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了四次方程的極為巧妙的解法。結(jié)結(jié)巴巴的塔爾塔里亞，哪是費(fèi)拉里的對手，自然是不堪一擊，狼狽敗返！
此后，塔爾塔里亞雖然潛心于代數(shù)學(xué)的鴻篇巨制，但終因此番挫折，心神俱傷，于 1557 年溘然與世長辭，享年 58 歲。
本文來自微信公眾號：原點(diǎn)閱讀 （ID：tupydread），作者：張遠(yuǎn)南 張昶，編輯：張潤昕
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