一個(gè)像黎曼這樣的幾何學(xué)家?guī)缀跻呀?jīng)預(yù)見到了現(xiàn)實(shí)世界的最本質(zhì)特征?！?愛丁頓
格奧爾格?弗里德里希?伯恩哈德?黎曼（Georg Friedrich Bernhard Rie-mann）于 1826 年 9 月 17 日出生在德國漢諾威一個(gè)名叫布列斯倫茨的小村莊。黎曼在大約 6 歲時(shí)開始學(xué)算術(shù)，他天生的數(shù)學(xué)才能立即就表現(xiàn)出來了。在 10 歲時(shí)，他向一個(gè)叫舒爾茨的專職教師學(xué)習(xí)高等算術(shù)和幾何，舒爾茨很快就發(fā)現(xiàn)自己得跟著這個(gè)學(xué)生走，這孩子常有比他更好的解題方法。
黎曼中學(xué)時(shí)的校長施馬爾富斯注意到黎曼的數(shù)學(xué)才能，允許他隨意進(jìn)出圖書館，并允許他不上數(shù)學(xué)課。在施馬爾富斯的推薦下，黎曼借走了勒讓德的《數(shù)論》。這無疑是黎曼對(duì)素?cái)?shù)之謎感興趣的開始。勒讓德有一個(gè)用來估計(jì)小于任意給定數(shù)的素?cái)?shù)的近似數(shù)目的經(jīng)驗(yàn)公式。在黎曼最深刻、最有啟發(fā)性的論文中，有一篇就是屬于這個(gè)領(lǐng)域。事實(shí)上，從他試圖改進(jìn)勒讓德的公式而產(chǎn)生的“黎曼猜想”，成了今天最困難的數(shù)學(xué)難題之一。
黎曼猜想出現(xiàn)在著名的論文《關(guān)于小于某個(gè)給定量的素?cái)?shù)的數(shù)目》中。論文所討論的問題是要提供一個(gè)公式，表明小于已知數(shù) n 的素?cái)?shù)有多少個(gè)。在解決這個(gè)問題的嘗試中，黎曼不得不研究無窮級(jí)數(shù)
其中 s 是復(fù)數(shù)，并使得級(jí)數(shù)收斂。有了這個(gè)限制條件，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)就是 s 的一個(gè)確定的函數(shù)了，記為
隨著 s 改變，zeta（s）連續(xù)地取不同的值。s 取哪些值，zeta（s）是零呢？黎曼的猜測是，對(duì)于實(shí)部為 1/2 的所有 s，即
這就是著名的黎曼猜想。無論誰證明它成立或證明它不成立，都將給自己帶來巨大的榮譽(yù)，并將附帶解決素?cái)?shù)理論中、高等算術(shù)的其他部分以及分析學(xué)的某些領(lǐng)域中的許多極為困難的問題。1914 年，英國數(shù)學(xué)家 G?H?哈代證明了 s 的無窮多個(gè)值滿足這個(gè)猜想，但無窮未必是全部。黎曼猜想不是那種能用初等方法解決的問題，比費(fèi)馬大定理更難。
黎曼在中學(xué)以驚人的速度靠自學(xué)，不僅領(lǐng)會(huì)了勒讓德這個(gè)偉大數(shù)學(xué)家的著作；他還通過學(xué)習(xí)歐拉的著作，熟悉了微積分學(xué)及其分支。相當(dāng)令人驚奇的是，黎曼從分析學(xué)的這樣一個(gè)古老的起點(diǎn)（由于高斯、阿貝爾和柯西的工作，歐拉的方法到 19 世紀(jì) 40 年代中葉已經(jīng)過時(shí)）開始，后來竟能成為一名成功的分析學(xué)家。
1846 年黎曼 19 歲時(shí)，成為哥廷根大學(xué)一名學(xué)習(xí)哲學(xué)的學(xué)生。但是他放不下斯特恩（Stern）關(guān)于方程論和定積分，高斯關(guān)于最小二乘法，以及戈?duì)柕滤姑滋仃P(guān)于地磁學(xué)的數(shù)學(xué)講座。黎曼向他的父親承認(rèn)了這一切，請(qǐng)求允許他改學(xué)數(shù)學(xué)。父親由衷地同意了。
在哥廷根大學(xué)讀了一年以后，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)，就學(xué)于雅可比、狄利克雷、施泰納和艾森斯坦。他向這些大師學(xué)到了很多東西 —— 從雅可比那里學(xué)到了高等力學(xué)和高等代數(shù)，從狄利克雷那里學(xué)到了數(shù)論和分析，從施泰納那里學(xué)到了現(xiàn)代幾何，而從比他年長三歲的愛森斯坦那里，他不僅學(xué)到了橢圓函數(shù)，也學(xué)到了自信，因?yàn)樗瓦@位年輕的大師對(duì)理論應(yīng)該如何發(fā)展，有著根本的不同觀點(diǎn)。愛森斯坦堅(jiān)持美妙的公式，多少有點(diǎn)現(xiàn)代化的歐拉風(fēng)格；黎曼想要引進(jìn)復(fù)變量，從少數(shù)簡單的一般原理，以最少的計(jì)算，導(dǎo)出整個(gè)理論。由黎曼開創(chuàng)的單復(fù)變量函數(shù)理論，在現(xiàn)代科學(xué)史上相當(dāng)重要。
1849 年黎曼回到哥廷根大學(xué)完成了他的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)，取得了博士學(xué)位。人們通常把他當(dāng)作純數(shù)學(xué)家，其實(shí)他的興趣是非常廣泛的，事實(shí)上，他用于物理科學(xué)的時(shí)間與他用于數(shù)學(xué)的時(shí)間同樣多。要是他能多活二三十年，他很可能會(huì)成為 19 世紀(jì)的牛頓或愛因斯坦。他的物理學(xué)思想在他那個(gè)時(shí)代是極其大膽的。直到愛因斯坦完成了他的廣義相對(duì)論，物理學(xué)家們才意識(shí)到黎曼預(yù)見到的物理是合理的（黎曼是用幾何方法研究的）。
黎曼在哥廷根大學(xué)的最后三個(gè)學(xué)期，聽了哲學(xué)講座和威廉?韋伯的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)課程。黎曼去世后留下的哲學(xué)和心理學(xué)的未完稿，表明他作為一個(gè)哲學(xué)思想家，同他在數(shù)學(xué)中一樣富于獨(dú)創(chuàng)性。同時(shí)，作為一個(gè)物理數(shù)學(xué)家，黎曼在對(duì)于數(shù)學(xué)中很可能具有科學(xué)上應(yīng)用價(jià)值的東西的直覺上，與牛頓、高斯、愛因斯坦是同一等級(jí)的。
黎曼在 1850 年（24 歲時(shí)）得出結(jié)論，
有可能建立一個(gè)完整的、自圓其說的數(shù)學(xué)理論，這個(gè)理論從一些單個(gè)點(diǎn)的基本定律，推論出在充滿物質(zhì)的現(xiàn)實(shí)空間（連續(xù)充滿的空間）中所見到的過程，不分引力、電、磁或靜熱力學(xué)。
這也許可以解釋為黎曼拋棄了物理科學(xué)中一切有利于場論的“超距作用”理論。在場論中，比如說，圍繞著一個(gè)“帶電粒子”的“空間”的各種物理性質(zhì)，是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。黎曼對(duì)他在物理學(xué)中的工作著了迷，把他的純粹數(shù)學(xué)暫時(shí)放在一邊，1850 年他參加了由韋伯、烏爾里希、斯特恩和利斯廷剛剛開設(shè)的數(shù)理物理學(xué)研究班。
1857 年，黎曼把拓?fù)浞椒ㄒ雴螐?fù)變函數(shù)論中。高斯曾經(jīng)預(yù)言過，拓?fù)鋵W(xué)會(huì)成為數(shù)學(xué)的一個(gè)最重要的領(lǐng)域，黎曼通過他在函數(shù)論中的發(fā)明，部分實(shí)現(xiàn)了這個(gè)預(yù)言。
黎曼利用他的曲面及其拓?fù)湫再|(zhì)取得了驚人的進(jìn)展，特別是在阿貝爾函數(shù)方面。這方面的一個(gè)問題是，怎樣做出截線以使得 n 葉曲面等同于一個(gè)平面。這種高度的空間“直覺”是極其難能可貴的。
1851 年 11 月初，黎曼把他的博士論文《單復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》呈交給高斯審查。黎曼在高斯看完他的論文后前去登門拜訪，高斯告訴他，他本人已經(jīng)計(jì)劃多年，要想寫一篇同樣題目的專題論文。高斯說，
黎曼先生交來的論文提供了令人信服的證據(jù)，說明作者對(duì)該文所論述的這一問題的那些部分，作了全面深入的研究，說明作者具有創(chuàng)造性的、活躍的、真正的數(shù)學(xué)頭腦，具有燦爛豐富的創(chuàng)造力。表達(dá)方式清晰簡明，在一些地方甚至是優(yōu)美的。大多數(shù)讀者會(huì)希望安排更為明確。整篇論文是有內(nèi)容有價(jià)值的著作，它不僅滿足了博士論文所要求達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些標(biāo)準(zhǔn)。
從 1853 年（黎曼 27 歲）起，他集中精力思考數(shù)理物理學(xué)。由于他對(duì)物理科學(xué)日益增長的熱情，他的就職論文拖延了很久，直到這一年的年底才完成。在他擔(dān)任講師職務(wù)之前，他還得作一次就職演講。高斯指定“幾何基礎(chǔ)”作為黎曼的演講主題，這是高斯研究了 60 年的問題，他希望看看這個(gè)如此年輕的人怎樣處理這一難題。黎曼苦心準(zhǔn)備了這次演講，受到了很大的歡迎。黎曼的《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》不但是整個(gè)數(shù)學(xué)上一篇偉大的杰作，也是一篇供舉薦的名著。
黎曼關(guān)于阿貝爾函數(shù)的獨(dú)具特色的部分著作，關(guān)于超幾何級(jí)數(shù)以及對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)提出的微分方程的經(jīng)典著作，在數(shù)理物理學(xué)中極為重要。在這兩方面的著作中，黎曼在他自己的新方向上獨(dú)樹一幟。他的方法的一般性，直觀性，是他自己所特有的。
黎曼對(duì)阿貝爾函數(shù)理論的發(fā)展，不同于魏爾斯特拉斯對(duì)它的發(fā)展，猶如月光不同于日光。魏爾斯特拉斯的研究是有條不紊的，在所有的細(xì)節(jié)上都是精確的。至于黎曼，看到了整體，但忽略了細(xì)節(jié)。魏爾斯特拉斯的方法是算術(shù)的，黎曼的方法是幾何的和直觀的。說一個(gè)比另一個(gè)“更好”是沒有意義的；兩種方法都不能從普通觀點(diǎn)去理解。
工作過度和缺乏合理的休息，使黎曼剛剛 31 歲時(shí)就神經(jīng)衰弱，黎曼被迫在哈爾茨的山村度過了幾個(gè)星期（他在那里遇見了戴德金）。一天傍晚，黎曼閱讀布魯斯特的牛頓傳記，發(fā)現(xiàn)了牛頓致本特利的信，在這封信中，牛頓本人斷言了無介質(zhì)的超距作用是不可能的。這使黎曼很高興，并激起他作一次即興演講。今天，黎曼稱贊的“介質(zhì)”并不是發(fā)光的以太，而是他自己的“彎曲空間”，或它在相對(duì)論時(shí)空中的反映。
1858 年，黎曼寫了關(guān)于電動(dòng)力學(xué)的文章。關(guān)于這篇文章他寫信告訴他的姐姐，
我已經(jīng)把我關(guān)于電與光之間的密切聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，呈送給哥廷根皇家學(xué)會(huì)了，我聽說高斯曾經(jīng)就這一密切聯(lián)系設(shè)想了另一個(gè)理論，和我的理論不同，并告訴了他的密友們，不過，我充分相信我的理論是正確的，過幾年就會(huì)得到承認(rèn)，誠如所知高斯不久收回了他的論文，沒有發(fā)表它；也許他本人對(duì)它不滿意。
看來黎曼在這個(gè)問題上是過于樂觀了；克拉克?麥克斯韋的電磁場理論是今天主導(dǎo)這個(gè)領(lǐng)域的理論。光和電磁場理論的目前狀況過于復(fù)雜，無法在這里介紹；注意到黎曼的理論沒有流傳下來就足夠了。
狄利克雷于 1859 年 5 月 5 日去世，這樣，黎曼在 33 歲時(shí)成了高斯的第二個(gè)繼任者。在一次去柏林訪問期間，他受到博查特、庫默爾、克羅內(nèi)克和魏爾斯特拉斯的宴請(qǐng)。各種學(xué)會(huì)，包括倫敦皇家學(xué)會(huì)和法蘭西科學(xué)院，授予他會(huì)員的榮譽(yù)，總之，他得到了一個(gè)科學(xué)家通常所能得到的最高榮譽(yù)。1860 年訪問巴黎時(shí)，他結(jié)識(shí)了法國第一流的數(shù)學(xué)家，特別是埃爾米特，他對(duì)黎曼的稱贊簡直沒有止境。這一年，1860 年，是數(shù)學(xué)物理學(xué)史上值得記憶的一年，因?yàn)樵谶@一年，黎曼開始集中寫作他的論文《關(guān)于熱傳導(dǎo)的一個(gè)問題》，他在這篇文章中發(fā)展了二次微分形式的全部方法，今天二次微分形式是相對(duì)論的基礎(chǔ)。
黎曼的物質(zhì)生活隨著他被任命為正教授而大大改善，他在 36 歲時(shí)有能力結(jié)婚了。他的妻子伊麗澤?科赫是他的姐妹的朋友?；楹髢H僅一個(gè)月，黎曼在 1862 年患了胸膜炎，尚未完全康復(fù)又患了肺病。在哥廷根，他常常表示想要與戴德金談?wù)勊形赐瓿傻墓ぷ?，但是一直沒有感到身體強(qiáng)壯到能經(jīng)得住一次拜訪。他最后的日子是在馬焦雷湖畔塞拉斯卡的一棟別墅中度過的。黎曼于 1866 年 7 月 20 日去世了，時(shí)年 39 歲。
作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，黎曼的偉大在于他為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)揭示的方法和新觀點(diǎn)是極其普遍的，適用于無限的范圍。
幾何基礎(chǔ)
他把一個(gè)龐大問題的整體看作一個(gè)連貫的統(tǒng)一體。這里只能介紹他的一個(gè)偉大的作品，即 1854 年關(guān)于幾何基礎(chǔ)的論文。黎曼指出，因?yàn)橛胁煌木€和曲面，所以有不同種類的三維空間；我們只能憑經(jīng)驗(yàn)去找出我們生活在其中的空間究竟屬于這些三維空間中的哪一類。特別是，平面幾何的公理在一張紙的平面上試驗(yàn)的限度內(nèi)是成立的，然而我們知道，這張紙實(shí)際上布滿著許多小皺紋，在其上（總曲率不為 0）這些公理不成立。他說，同樣地，雖然立體幾何的公理在試驗(yàn)的限度內(nèi)對(duì)于我們空間的有限部分是成立的，然而我們沒有理由認(rèn)為它們對(duì)于非常小的部分也是成立的；如果因此能對(duì)解釋物理現(xiàn)象有所幫助的話，我們可能就有理由得出它們對(duì)于空間的很小的部分不成立的結(jié)論。
黎曼說，我要在這里指出一種方法，使這些思考可以應(yīng)用于物理現(xiàn)象的研究。我認(rèn)為實(shí)際上：
空間的小部分事實(shí)上所具有的某種性質(zhì)，類似于在平均來說平坦面上呈曲面的小丘；普通的幾何定律在那里并不成立。
這種呈彎曲或扭曲的性質(zhì)，以波的方式連續(xù)地從空間的一部分過渡到另一部分。
空間曲率的這種變化真實(shí)地發(fā)生在我們稱為（不管是可量度的還是很虛緲的）物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的那些現(xiàn)象中。
在物理世界中，根據(jù)（也許是）連續(xù)性定律，除了這種變化以外沒有其他事情發(fā)生。
我盡量以一般方式解釋關(guān)于這一假說的雙重屈折的規(guī)律，但是還沒有得出任何確定到可以公布的結(jié)果。
黎曼也相信他的新幾何會(huì)被證明具有科學(xué)上的重要意義。如他的論文結(jié)尾所表明的∶
因此，要么構(gòu)成空間基礎(chǔ)的現(xiàn)實(shí)必須形成一個(gè)離散的流形，要么我們必須在作用于它的約束力中，尋找在它之外的度量關(guān)系的基礎(chǔ)。
對(duì)這些問題的回答，只能從構(gòu)想已為經(jīng)驗(yàn)辨明的現(xiàn)象（牛頓假定這種現(xiàn)象是基礎(chǔ)）出發(fā)去得到，也可以從在這種構(gòu)想中做它不能解釋的事實(shí)所要求的相繼變化去得到。
這引導(dǎo)我們進(jìn)入另一門科學(xué)，即物理科學(xué)的領(lǐng)域，這項(xiàng)工作的對(duì)象今天還不允許我們進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域。
黎曼 1854 年的工作賦予幾何一種全新的觀念，他想象的幾何是非歐幾何，但既不是在羅巴切夫斯基和約翰?鮑耶意義上的非歐幾何，也不是在黎曼自己的鈍角假設(shè)這一苦心之作的意義上的非歐幾何，而是在一種依賴于度量概念的更廣泛意義上的非歐幾何。把度量關(guān)系孤立地作為黎曼理論的中樞，是對(duì)它的誤解；這個(gè)理論包含的東西遠(yuǎn)比某種可操作度量原理為多，而這正是它的一個(gè)主要特征。對(duì)黎曼簡明扼要的論文的任何解釋，都不能說明這篇論文中的全部內(nèi)涵；然而，我們將試圖說明他的一些基本思想，我們將選擇三點(diǎn)∶流形的概念，距離的定義，以及流形的曲率的概念。
一個(gè)流形是一類對(duì)象，所謂對(duì)象是指這個(gè)類中的任意一個(gè)成員，都能通過給它按確定順序指定的某個(gè)數(shù)來完全確定，以反映這些成員元素的“可數(shù)”性質(zhì)；而給定順序的這種設(shè)計(jì)，則反映了這種“可數(shù)”性質(zhì)原來就有的特性。即使這個(gè)說法甚至可能比黎曼的定義更難理解，但它仍然是據(jù)以開始的一個(gè)有效的起點(diǎn)，它在普通數(shù)學(xué)中相當(dāng)于∶一個(gè)流形是一個(gè)有序的“n 元”數(shù)組（x_i，x_2，…，x_n）的集合。兩個(gè)這樣的 n 元數(shù)組（x_i，x_2，…，x_n）和（y_1，y_2，…，y_n），當(dāng)且僅當(dāng)它們中的對(duì)應(yīng)數(shù)分別相等時(shí)，這兩個(gè) n 元數(shù)組相等。
如果流形中的每一個(gè)這樣的有序 n 元數(shù)組中恰好出現(xiàn) n 個(gè)數(shù)，那么就說該流形是 n 維的。因此我們又回到談?wù)摰芽▋鹤鴺?biāo)了。如果（x_i，x_2，…，x_n）中的每一個(gè)數(shù)都是正整數(shù)，零，或負(fù)整數(shù)，或者如果它是任意一個(gè)可數(shù)集的元素，并且如果這對(duì)于該集合中的每一個(gè) n 元數(shù)組都成立，那么就說該流形是離散的。如果數(shù) x_i，x_2，…，x_n 可以連續(xù)地取值（如一個(gè)點(diǎn)沿著一條線運(yùn)動(dòng)那樣），那么該流形是連續(xù)的。
這個(gè)定義忽略了這樣一個(gè)問題∶有序 n 元數(shù)組的集合或者由這些 n 元數(shù)組“表示”的某個(gè)東西是否就是“流形”。這樣，當(dāng)我們說（x，y）是平面上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，我們并沒有問 "平面上的一個(gè)點(diǎn)" 是什么，而是著手使用這些有序數(shù)對(duì)（x，y），此處 x，y 獨(dú)立地取遍所有實(shí)數(shù)。另一方面，有時(shí)候我們把注意力放在諸如（x，y）這樣的符號(hào)表示什么上面是有利的。這樣，如果 x 是一個(gè)人的按秒計(jì)算的年齡，y 是他的按厘米計(jì)算的身高，我們可能對(duì)這個(gè)人感興趣，而不是對(duì)他的坐標(biāo)感興趣，而我們探究的數(shù)學(xué)只關(guān)心坐標(biāo)。按同樣的想法，幾何不再涉及“空間”“是”什么。對(duì)一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家來說，空間只是上面所描述的那類數(shù)的流形，空間的這個(gè)概念是從黎曼的“流形”中產(chǎn)生出來的。
黎曼在講到度量時(shí)說，" 度量由需要比較的量疊加組成。如果沒有這一點(diǎn)，就只能在一個(gè)量是另一個(gè)量的一部分時(shí)才能比較了，那就只能決定量的多和少，而不能決定究竟是多少了?？梢皂槺阏f一下，某種前后一致而且有用的度量理論，目前在理論物理學(xué)中，特別是量子力學(xué)和相對(duì)論在其中具有重要意義的一切問題中，是一個(gè)迫切需要的東西。
黎曼再次從哲學(xué)的一般原則下降到不那么神秘的數(shù)學(xué)，著手制定了一個(gè)距離的定義，這是從他的度量概念中提取出來的，已經(jīng)證明它在物理學(xué)和數(shù)學(xué)兩方面都是富有成效的。
畢達(dá)哥拉斯的距離公式是
怎樣把它推廣到曲面上呢？平面上的直線相當(dāng)于曲面上的測地線；但是在球面上，例如，對(duì)于由測地線形成的直角三角形，畢達(dá)哥拉斯公式不成立。黎曼像下面這樣把畢達(dá)哥拉斯公式推廣到任意流形∶
設(shè)
是流形上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這兩個(gè)點(diǎn)是互相“無限接近”的。為簡單起見，我們說明 n=4 時(shí)的意義，這個(gè)距離是：
的平方根。對(duì)于所有 g 的一種特別選擇，就確定了一個(gè)“空間”。這樣我們可以有，
所有其他的 g 是零。相對(duì)論中考慮的空間具有這種一般類型，其中除了 g_11，g_22，g_33 和 g_44 以外的所有 g 為零。
在 n 維空間的情形，鄰近點(diǎn)之間的距離以類似的方法定義；一般表達(dá)式包含 1/2n（n＋1）項(xiàng)。如果已知對(duì)于兩個(gè)鄰近點(diǎn)距離的推廣的畢達(dá)哥拉斯公式，找出空間中任意兩點(diǎn)之間的距離在積分學(xué)中是一個(gè)可解問題。一個(gè)其度量（測量體系）由上述類型的公式確定的空間稱為黎曼空間。
曲率，如黎曼所表達(dá)的，是從普通經(jīng)驗(yàn)得出的另一項(xiàng)推廣。一條直線的曲率是零；一條曲線偏離直線程度的“度量”，在曲線上的每一點(diǎn)處可能相同（就像對(duì)于圓那樣），或者也可能不同，此時(shí)就必須應(yīng)用極限的辦法來表示“曲率的大小”。類似地對(duì)于曲面，其曲率可由偏離平面的程度來度量，平面的曲率為零。這可以加以推廣，并像下面這樣使之更為精確。為簡單起見，我們首先說明二維空間的情形，即我們通常想象的曲面那樣的情形。由表示給定曲面上鄰近點(diǎn)距離平方的公式
可知，可用給定的函數(shù) g_11，g_12，g_22 來計(jì)算曲面上任意點(diǎn)曲率的大小。用普通語言談?wù)撘粋€(gè)多于二維的空間的“曲率”是毫無意義的，但是黎曼推廣了高斯的曲率，以同樣的數(shù)學(xué)方式建立了一個(gè)在 n 維空間的一般情形中包含一切 g，在內(nèi)的表達(dá)式，它和高斯對(duì)于一個(gè)曲面的曲率的高斯表達(dá)式在數(shù)學(xué)上是同一類型的，這個(gè)推廣的表達(dá)式就是他所說的空間曲率的測度。展示一個(gè)多于二維彎曲空間的形象化表示是可能的，但是這對(duì)直覺的幫助，大概就像給一個(gè)沒有腳的人一對(duì)破拐杖一樣無用，因?yàn)檫@對(duì)理解沒有什么幫助，而且它們在數(shù)學(xué)上也是無用的。
黎曼把為了特殊目的（用于動(dòng)力學(xué)，或純粹幾何，或物理科學(xué)）而創(chuàng)造的數(shù)目無限多的“空間”和“幾何”，置于專業(yè)幾何學(xué)家的能力范圍之內(nèi)，它把大量重要的幾何定理，捆成能夠很容易作為整體處理的緊緊的一束。黎曼的成就教會(huì)了數(shù)學(xué)家們不要相信作為人類直覺的必要模式的任何幾何或任何空間。
最后，黎曼所定義的曲率，他為研究二次微分形式設(shè)計(jì)的方法，以及他對(duì)于曲率是一個(gè)不變量這一事實(shí)的認(rèn)識(shí)，都在相對(duì)論中找到了物理解釋。相對(duì)論是否到達(dá)了最終形式并不重要；自從相對(duì)論問世以來，我們對(duì)于物理科學(xué)的見解已不同于以往。沒有黎曼的工作，科學(xué)思想的這場革命是不可能的，除非后來的某個(gè)人能創(chuàng)造出黎曼創(chuàng)造的概念和數(shù)學(xué)方法。
本文來自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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