英國數(shù)學家霍奇（William Vallance Douglas Hodge）于 1950 年提出的霍奇猜想，無疑是所有千禧難題中最難理解的。這是個高度專業(yè)的問題，只有極少數(shù)專業(yè)數(shù)學家才能真正地理解。下面是霍奇猜想：
一個非奇異射影代數(shù)簇上的每一個（一定類型的）調(diào)和微分形式都是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個有理組合。
是不是發(fā)現(xiàn)，這個句子中的每一個專業(yè)術語你都不理解。在關于伯奇和斯溫納頓一戴爾猜想的文章中，我還可以把那個猜想與簡單的幾何聯(lián)系起來，即三角形面積問題。
對于霍奇猜想，甚至想找些簡單的類比都沒有。霍奇猜想最清楚地說明了，現(xiàn)代數(shù)學的本質使它的大部分幾乎不可能被普通人所領會。
一個世紀以來，數(shù)學家在舊的抽象上面建立了新的抽象，與其說數(shù)學家做出了新東西，不如說被考慮的對象變得更為抽象了。以霍奇猜想為例，微積分的運算在這里扮演了一個主要的角色，但是這個微積分不是像許多高中生所學到的那樣在實數(shù)上進行，甚至也不在復數(shù)上進行。這是在更一般、更抽象的背景上進行的微積分。
對普通人來說，這個問題的難以理解正是它最有趣的地方。話雖如此，但我還是想試圖解釋一下霍奇猜想說的是什么。
整體的認識
17 世紀，法國哲學家笛卡兒把幾何代數(shù)化，把幾何圖形放在笛卡爾坐標系中，然后建立它們的數(shù)學方程。用代數(shù)來研究的幾何通常稱作代數(shù)幾何，也叫笛卡兒幾何。
19 世紀期間，數(shù)學家將笛卡兒的方法向前推進了一步。他們不是只把代數(shù)當作一種工具，來研究幾何對象，而是從代數(shù)方程著手，把這些方程的解定義為 "幾何" 對象。但是大多數(shù)方程并不對應著我們熟悉的幾何對象。因此稱它們?yōu)?"幾何對象" 是講不通的。以這種方式，從代數(shù)方程產(chǎn)生的對象，數(shù)學家所給的名稱是“代數(shù)簇”。
在定義代數(shù)簇時，數(shù)學家并不是僅考慮一個代數(shù)方程，而是一個方程組（有限個）。在由兩個方程組成的方程組中，每一個方程定義了一個幾何圖形，那么由這個方程組定義的簇將是這兩個圖形的共有部分。
因此，代數(shù)簇是幾何對象的一種推廣。任何一個幾何對象都是一個代數(shù)簇，但是有許多代數(shù)簇是不可能被可視的。然而，并不因為某個特定的代數(shù)簇不可能被可視化，我們就無法研究它。
現(xiàn)在，我們可以看一下霍奇猜想中的一個專業(yè)術語∶一個非奇異射影代數(shù)簇，簡單說，就是一個光滑的多維 "曲面"，它由一個代數(shù)方程的解所產(chǎn)生。這就像一個球面是通過解代數(shù)方程
而得到的一個光滑的二維曲面。
這個猜想針對那種“曲面”上的“調(diào)和微分形式”作出了一個斷言。一個調(diào)和微分形式是某個十分重要的偏微分方程（稱為拉普拉斯方程）的一個解，它既產(chǎn)生于物理學，也產(chǎn)生于復變函數(shù)的研究。
大學學習的微積分通常是在二維平面上。但是小小地努力一下，就可以把它推廣到其他曲面上，例如球面上。再努力一下，就可以把微積分推廣到各種各樣更為一般的簇上。霍奇猜想涉及的是推廣到一個非奇異射影代數(shù)簇上的微積分。它對某種類型的抽象對象作出了一個斷言，我們把這種抽象對象稱為 H 對象，如果我們從某種類型的簇著手并在其上做某種微積分，就會產(chǎn)生 H 對象。
當我們用微積分去定義一個對象時，定義出來的對象從任何意義上說都不一定是 "幾何的"。霍奇猜想說，H 對象對剛才這句話來說是個例外。雖然它們本身可能不是幾何對象，但它們能以一種相當簡單的方式由幾何對象構建起來。在這個猜想的術語中，H 對象就是代數(shù)閉鏈的上同調(diào)類的一個有理組合。這就是說，任何 H 對象都能以一種純粹代數(shù)的方式由幾何對象構建起來。
因此，你可以認為霍奇猜想是說∶
通過在簇上運用微積分，我們創(chuàng)造了一類對象（H 對象），這類對象不僅讓我們想把它們可視化的希望成為泡影，甚至讓我們不能用代數(shù)方式描述它們。然而，這些對象能以一種代數(shù)的方式，由“能用代數(shù)描述的對象”建造起來。
霍奇猜想的作用是給專家們提供某種能用來分析 H 對象的強有力的數(shù)學結構。這在許多現(xiàn)代數(shù)學中十分重要，數(shù)學家不斷在尋找對象上的新結構，或者是尋找從一個領域到另一個領域的聯(lián)系，以使他們能把來自一個領域的方法加以改造，運用于另一個領域。
稍專業(yè)的表達
現(xiàn)在，我們對霍奇猜想有了一個整體的認識了。下面是另一種理解這個問題的方式。
我們可以從代數(shù)簇上沿著廣義路徑的積分著手來提出霍奇猜想。由于對路徑進行變形仍能保持這種積分的值不變，因此你可以認為這種積分是定義在路徑類上的?；羝娌孪胩岢?，如果某些這樣的積分為零，那么在這個路徑類中存在著一條能用多項式方程描述的路徑。
這里先吹一下霍奇猜想的重要意義：霍奇猜想的證明將在代數(shù)幾何、分析和拓撲學這三個學科之間建立起一種基本的聯(lián)系。
直到現(xiàn)在，霍奇猜想仍然只是一個猜想。1991 年，美國數(shù)學學會出版了一本書，書中記載了人們對霍奇猜想已做的一些研究，列出了發(fā)表于 1950 年至 1996 年的 71 篇論文，這些論文都僅僅是關于這個猜想的一個方面，即所謂的阿貝爾簇上的霍奇猜想。
下面是這本美國數(shù)學學會的書在其序言的開頭一段對霍奇猜想的陳述，
霍奇其人
對于霍奇（William Hodge）這樣一位如此優(yōu)秀的數(shù)學家，人們對他幾乎一無所知。他 1903 年出生于蘇格蘭的愛丁堡。他先是在愛丁堡，然后又在劍橋完成了學業(yè)。1936 年，33 歲的他被劍橋大學委任為教授，直到 1970 年退休。
他是開發(fā)幾何、分析和拓撲學之間聯(lián)系的一位主要人物。數(shù)學家如今還記得他主要是因為（除了他的猜想之外）他的調(diào)和積分理論。
1938 年，他入選倫敦的皇家學會，于 1957 年被授予皇家獎章，以表彰他在代數(shù)幾何上的杰出貢獻。從 1947 年到 1949 年，他任倫敦數(shù)學會會長，并于 1952 年獲得這個學會的貝里克獎。1974 年，皇家學會再次獎勵他，這次是授予他科普利獎章，以嘉獎他在代數(shù)幾何上的開創(chuàng)性工作，特別是他的調(diào)和積分理論?；羝嬗?1975 年逝世，享年 72 歲。
在職業(yè)生涯的大部分時間里，霍奇都致力于發(fā)展代數(shù)幾何理論，其中的一個理論現(xiàn)在就稱為“霍奇理論”。他的猜想就是產(chǎn)生于代數(shù)幾何。1950 年在英國劍橋舉行的國際數(shù)學家大會上，霍奇在他的演講中宣布了這個猜想。
當復數(shù)遇到關于流體的數(shù)學
文藝復興時期，數(shù)學家談論一件不可思議的事∶在代數(shù)中引進一個數(shù)，它的平方是-1。這個數(shù)用 i 表示，成了復數(shù)的基礎。
雖然人類很難接受一個數(shù)的平方為負，然而復數(shù)具有一套有效的算術運算，就像通常的實數(shù)算術運算一樣，而且我們還可以求解包含復數(shù)的多項式方程。克服復數(shù)反直覺的方法是認識到它們可以作為“點”在普通的二維平面上畫出來。
實數(shù)中，我們可以把每一個實數(shù) r 與它的相反數(shù)-r 相對應。畫在一條直線上（“實數(shù)線”），每個數(shù)由位于原點另一側且與原點有同樣距離的點與之配對。這種特定的配對在實數(shù)的算術運算中起到了重要的作用。
復數(shù)可以作為復平面上的點被畫出。對于這些數(shù)，取 x＋iy 與-x-iy 對應的類似配對是一種關于原點的反射。但是復數(shù)有另一種配對，它在復數(shù)的算術運算中起到了重要作用。第二種配對是把每個復數(shù) x＋iy 與它的共軛復數(shù) x-iy 對應。復數(shù)共軛配對是關于復平面上實數(shù)軸（即 x 軸）的反射。
到 19 世紀，復數(shù)的基本理論已被成功地研究出來，復數(shù)被普遍認為是主流數(shù)學的標準數(shù)系。而且，數(shù)學家開始發(fā)展一種把微積分推廣到復變函數(shù)的理論，從而產(chǎn)生了復分析。
復分析早期研究的兩位主要人物是黎曼和柯西。他們把復變函數(shù)與物理學聯(lián)系了起來。他們開始于這樣的思考∶
如果 f（z）是復變量 z 的一個復值函數(shù)，那么我們可以把這個函數(shù)的 f（z）值寫成 f（z）=u（z）＋iv（z）的形式，其中 u（z）和 v（z）都是實數(shù)。這就給出了兩個新的函數(shù) u 和 v，它們都是復變量 z 的實值函數(shù)。
這兩位數(shù)學家發(fā)現(xiàn)，如果復變函數(shù) f 有著定義良好的（微積分）導數(shù)（用現(xiàn)代的術語，如果函數(shù) f 是解析的），那么它的實部 u 和虛部 v 必須滿足兩個偏微分方程：
這些方程對物理學家來說是很熟悉的。它們是拉普拉斯方程，在引力理論、電磁理論和流體力學中起著重要作用。拉普拉斯方程的一個解被稱為調(diào)和函數(shù)。復變函數(shù)的微積分和拉普拉斯方程之間緊密聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，導致了數(shù)學物理學的重大進步。
復變函數(shù)理論中的一個重大進展是黎曼曲面的發(fā)明。有一些函數(shù)，它們對實數(shù)很友好，但是當自變量或者函數(shù)值允許是復數(shù)時，結果完全不像是一個正常的函數(shù)，因為一個自變量可以導出不止一個的函數(shù)值。平方根函數(shù)和對數(shù)就是兩個例子。
對于實數(shù)來說，任何一個正實數(shù)都有兩個平方根，但由于其中一個為正，另一個為負，所以只要規(guī)定取正根，問題就能排除。但是當這個根是復數(shù)時，沒有一種自然而有效的方法在兩個根當中作出選擇。黎曼提出，處理這些“多值函數(shù)”（它們根本不是真正的函數(shù)）的最好方式是把它們看作定義在一個多層曲面上的單值函數(shù)（即真正的函數(shù)）。
黎曼曲面有著比復平面更為復雜的拓撲結構?？创鼈兊囊环N方式是把它們當作復平面的一種螺旋梯式構形。
進入霍奇猜想
20 世紀早期，數(shù)學家把黎曼曲面的思想推廣成一個高度抽象的概念 —— 復流形，即黎曼曲面的一個有著一種復雜拓撲結構的多維模擬物。這樣一個流形具備了一種能確保復解析函數(shù)的概念有意義的結構。特別是，有可能定義所謂的微分形式，即把通常（實數(shù)）微積分中函數(shù) f 的微分 df 推廣到多維情況的產(chǎn)物。
有些微分形式可以分成具有某種共同關鍵特征的不同類型，所以它們被稱作上同調(diào)類。這些上同調(diào)類正是霍奇猜想所說到的。
要理解上同調(diào)類的概念需要一系列高深的專業(yè)數(shù)學知識。下面是一個十分簡要的概括∶
首先，我們需要知道在微分形式上存在著一種特定的運算，稱作外導數(shù)。外微分本身就是一種微分。
如果一個微分形式是另外某個微分形式的外導數(shù)就稱這個微分形式是恰當?shù)摹?/p>
如果一個微分形式本身的外導數(shù)是零，就稱這個微分形式是閉的。
如果兩個閉微分形式的差是恰當?shù)?，就稱它們是上同調(diào)的。
因此，上同調(diào)類的元素是閉微分形式。恰當性是同一上同調(diào)類中的元素共有的“相似性”性質。注意上同調(diào)類的定義十分依賴于來自微積分的概念。
上同調(diào)類定義了有用的拓撲不變量，它們抓住了基本復流形的重要方面。獲得了（閉微分形式的）上同調(diào)類概念，我們就可以回到代數(shù)幾何和代數(shù)簇概念。一個復代數(shù)簇是由一個代數(shù)方程組的復數(shù)解所定義的一個多維“曲面”。
如果定義一個復代數(shù)簇的方程組的解僅依賴于有關數(shù)的比，數(shù)學家就稱這個復代數(shù)簇是射影的。
如果一個簇作為“曲面”是光滑的，他們就稱這個簇是非奇異的。
因此，一個非奇異射影復代數(shù)簇就是一種特殊類型的復流形。
霍奇意識到他可以把來自于分析的方法應用于這些代數(shù)流形。特別是，他意識到由一個非奇異射影復代數(shù)簇所產(chǎn)生的微分形式的有理上同調(diào)類可以被看作是拉普拉斯方程的解。
霍奇的觀察結果使得有可能把這樣的一個類寫成一些特殊分量的一個和，這種特殊分量稱作調(diào)和（p，q）形式。它們是可以由 p 個復變量和 q 個共軛復變量所規(guī)定的拉普拉斯方程的解。而且，每個（p 維的）代數(shù)上同調(diào)類給出了一個（p，p）形式。
霍奇在他對 1950 年國際數(shù)學家大會所作的報告中提出，對于非奇異射影復代數(shù)簇，上面說到的最后那個性質可能完全刻畫了代數(shù)上同調(diào)類。也就是說，每個調(diào)和（p，p）形式是閉代數(shù)形式的一個有理組合（概略地說，即它可以用一種代數(shù)的 —— 即不用到微積分的 —— 方法構建起來）。
霍奇猜想就是這樣誕生的。但是這個猜想是否正確？無人知曉。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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