牛頓的《原理》打開了自然數(shù)學(xué)研究的大門，歐洲大陸的同行們將牛頓關(guān)于自然規(guī)律的思想推廣到大多數(shù)物理科學(xué)領(lǐng)域。繼波動(dòng)方程（從小提琴中振動(dòng)出的波動(dòng)方程，成了支撐現(xiàn)代科技的基礎(chǔ)理論之一）之后，又陸續(xù)出現(xiàn)了很多其他的“重力方程”，如靜電方程、彈性方程和熱流方程。
許多方程都以其發(fā)明者的名字命名：如拉普拉斯方程，泊松方程。熱方程則不然，這個(gè)名字既缺乏想象力又不準(zhǔn)確。熱方程是由約瑟夫?傅里葉引入的，他的思想導(dǎo)致了一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的誕生，這個(gè)領(lǐng)域的分支遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了它的原始來(lái)源。
1807 年，傅里葉向法國(guó)科學(xué)院提交了一篇關(guān)于熱流的文章，該文章基于一個(gè)新的偏微分方程：
這里假設(shè)金屬棒是無(wú)限薄的，熱擴(kuò)散率 α 是常數(shù)，u (x, t) 是在金屬棒的 x 位置和時(shí)間 t 處的溫度。所以它應(yīng)該叫作溫度方程。他得出了一個(gè)更高維度的版本，
其中 ▽ 是拉普拉斯算子，
就是
熱方程與波動(dòng)方程有著不可思議的相似之處，但有一個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別。波動(dòng)方程使用二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)
但在熱方程中，它被一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)?u/?t 所取代。這個(gè)變化可能看起來(lái)很小，但它的物理意義是巨大的。熱并不會(huì)像小提琴弦的振動(dòng)那樣無(wú)限期地持續(xù)下去（根據(jù)波動(dòng)方程，假設(shè)沒有摩擦或其他阻尼）。相反，隨著時(shí)間的流逝，熱量會(huì)消散，除非有熱源能將其加熱。所以一個(gè)典型的問(wèn)題是：加熱一根棒子的一端以保持其溫度穩(wěn)定，冷卻另一端以達(dá)到同樣的效果，當(dāng)金屬棒的（溫度）狀態(tài)穩(wěn)定下來(lái)時(shí)，溫度是如何沿著棒子變化的？答案是它呈指數(shù)下降。
另一個(gè)問(wèn)題是：確定沿金屬棒的初始溫度分布之后，如何確定溫度隨時(shí)間變化。也許左半部分開始時(shí)溫度較高，右半部分開始時(shí)溫度較低。這個(gè)方程告訴我們熱量是如何從熱的部分?jǐn)U散到冷的部分的。
熱方程是線性的，所以我們可以疊加解。如果初始條件為
那么解是
但像這樣的初始條件有點(diǎn)不真實(shí)。為了解決我之前提到的問(wèn)題，我們需要這樣一個(gè)初始條件，其中一半金屬棒的 u (x, 0) = 1，另一半是 u (x, 0) =?1。這種初始條件是不連續(xù)的，在工程術(shù)語(yǔ)中稱為方波。但正弦和余弦曲線是連續(xù)的。所以正弦和余弦曲線的疊加不能表示方波。
但是，如果允許無(wú)限項(xiàng)疊加呢？我們可以試著把初始條件表示成無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式
現(xiàn)在看來(lái)確實(shí)有可能得到方波。事實(shí)上，大多數(shù)系數(shù)都可以設(shè)為零，只需要 n 為奇數(shù)的 b_n 項(xiàng)。
如何從正弦和余弦中得到方波。左：正弦波分量。右：它們的和和一個(gè)方波。這里展示了傅里葉級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)。附加的項(xiàng)使方波的近似值更準(zhǔn)確。
傅里葉甚至以積分的形式給出了表示一般條件 f (x) 的系數(shù) a_n 和 b_n 的一般公式，
在對(duì)三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開進(jìn)行了漫長(zhǎng)的探索之后，他意識(shí)到有一種更簡(jiǎn)單的方法來(lái)推導(dǎo)這些公式。如果取兩個(gè)不同的三角函數(shù)（比如 cos2x 和 sin5x），把它們相乘，然后從 0 到 2π 積分，結(jié)果是 0。但是如果它們相等，假設(shè)它們都等于 sin5x，它們乘積的積分就不為零（它是 π）。假設(shè) f (x) 是一個(gè)三角級(jí)數(shù)的和，所有的項(xiàng)都乘以 sin5x，然后積分，所有的項(xiàng)都消失了，除了對(duì)應(yīng) sin5x 的項(xiàng)，也就是 b_5sin5x。這里的積分是 π。除以這個(gè)，就得到了 b_5 的傅里葉公式，其他系數(shù)也是一樣的。
傅里葉被嚴(yán)厲批評(píng)不夠嚴(yán)謹(jǐn)，傅里葉被激怒了。物理直覺告訴他，他是對(duì)的。真正的問(wèn)題是，歐拉和伯努利已經(jīng)就波動(dòng)方程的一個(gè)類似問(wèn)題爭(zhēng)論了很長(zhǎng)時(shí)間，熱量隨時(shí)間呈指數(shù)擴(kuò)散被無(wú)窮的正弦振幅所取代?；镜臄?shù)學(xué)問(wèn)題是相同的。事實(shí)上，歐拉已經(jīng)發(fā)表了波動(dòng)方程中系數(shù)的積分公式。
然而，歐拉從未聲稱該公式適用于不連續(xù)函數(shù)，這是傅里葉研究中最具爭(zhēng)議的地方。小提琴弦模型沒有包含不連續(xù)的初始條件。但是對(duì)于熱量來(lái)說(shuō)，很自然地可以考慮將一個(gè)金屬棒的一個(gè)區(qū)域保持在一個(gè)溫度，而將相鄰區(qū)域保持在另一個(gè)溫度。在實(shí)際應(yīng)用中，過(guò)渡過(guò)程是平滑且陡峭的，但采用不連續(xù)模型比較合理，計(jì)算起來(lái)也比較方便。事實(shí)上，熱方程的解解釋了為什么當(dāng)熱量向兩邊擴(kuò)散時(shí)，過(guò)渡會(huì)迅速變得平滑和陡峭。
數(shù)學(xué)家們開始意識(shí)到無(wú)窮級(jí)數(shù)是“危險(xiǎn)的野獸”。最終，這些復(fù)雜的問(wèn)題得到了解決。1822 年，傅里葉出版了他的著作《熱分析理論》。
我們現(xiàn)在知道，盡管傅里葉是正確的，但他的批評(píng)者有充分的理由擔(dān)心其嚴(yán)謹(jǐn)性。傅里葉分析很好，但仍有一些問(wèn)題。
問(wèn)題是，傅里葉級(jí)數(shù)何時(shí)收斂于它所代表的函數(shù)？也就是說(shuō)，如果取越來(lái)越多的項(xiàng)，函數(shù)的近似值會(huì)更好嗎？就連傅里葉也知道答案并非總是如此。例如，在溫度跳躍的中點(diǎn)，方波的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 —— 但收斂到錯(cuò)誤的數(shù)值 0，但方波的值為 1。
對(duì)于大多數(shù)物理問(wèn)題來(lái)說(shuō)，改變函數(shù)在一個(gè)孤立點(diǎn)上的值并沒有太大的關(guān)系。它只是在不連續(xù)點(diǎn)稍有不同。對(duì)傅里葉來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題并不重要。但是收斂問(wèn)題不能如此輕率地忽略，因?yàn)楹瘮?shù)的不連續(xù)性可能比方波復(fù)雜得多。
然而，傅里葉聲稱他的方法適用于任何函數(shù)，所以它應(yīng)該適用于這樣的函數(shù)：當(dāng) x 是有理數(shù)時(shí) f (x) = 0，當(dāng) x 是無(wú)理數(shù)時(shí) f (x) = 1。這個(gè)函數(shù)處處不連續(xù)。對(duì)于這樣的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，積分的含義還不清楚。這就是爭(zhēng)議的真正原因。沒有人定義過(guò)積分是什么。甚至沒有人定義過(guò)函數(shù)是什么。即使你能把這些漏洞補(bǔ)上，這也不僅僅是傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂的問(wèn)題。真正的困難是要弄清楚它在什么意義上是收斂的。
解決這些問(wèn)題很棘手：
它需要一個(gè)新的積分理論，由亨利?勒貝格提出；
從集合論的角度重新構(gòu)建數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，由喬治?康托爾開創(chuàng)；
從黎曼等杰出人物那里獲得了重要的見解，運(yùn)用了 20 世紀(jì)的抽象概念來(lái)解決收斂問(wèn)題。
最終的結(jié)論是，通過(guò)正確的解釋，傅里葉確實(shí)解出了熱方程。但它真正的意義要廣泛得多，除了純數(shù)學(xué)之外，主要的受益者不是熱力學(xué)，而是工程學(xué)，特別是電子工程。
在最一般的形式中，傅里葉方法表示一個(gè)信號(hào)，由函數(shù) f 決定。這叫做波的傅里葉變換。它用頻譜來(lái)代替原始信號(hào)：這是一組正弦和余弦的振幅和頻率，用不同的方式對(duì)相同的信息進(jìn)行編碼。
這種技術(shù)的一個(gè)應(yīng)用是設(shè)計(jì)抗震建筑物。典型地震所產(chǎn)生的振動(dòng)的傅里葉變換揭示了地震的能量頻率。建筑物有它自己的固有振動(dòng)模式，它會(huì)與地震發(fā)生共振，也就是說(shuō)，反應(yīng)異常強(qiáng)烈。因此，建筑抗震的第一步是確保建筑的首選頻率與地震的頻率不同。地震的頻率可以通過(guò)觀測(cè)得到；而建筑物的頻率可以用計(jì)算機(jī)模型計(jì)算出來(lái)。
這只是傅里葉變換在“幕后”影響我們生活的諸多方面之一。傅里葉變換已經(jīng)成為科學(xué)和工程中的常規(guī)工具；它的應(yīng)用包括從聲音記錄中去除噪音；利用 x 射線衍射發(fā)現(xiàn) DNA 等大型生物化學(xué)分子的結(jié)構(gòu)；改善無(wú)線電接收，處理從空中拍攝的照片。在這里，我只關(guān)注數(shù)千種日常應(yīng)用中的一種：圖像處理。
傅里葉變換在圖形處理中的應(yīng)用
傅里葉變換是如何處理圖片，并且不影響圖片的清晰度的？
答案是數(shù)據(jù)壓縮。其中一些處理是“無(wú)損的”，這意味著如果需要，可以從壓縮版本中檢索原始信息。這是必要的，因?yàn)榇蠖鄶?shù)真實(shí)世界的圖像都包含冗余信息。例如，大塊的天空通常都是相同的藍(lán)色。不需要一遍又一遍地重復(fù)藍(lán)色像素的顏色和亮度信息，這樣就可以存儲(chǔ)一個(gè)矩形的兩個(gè)對(duì)角的坐標(biāo)和幾行簡(jiǎn)短的代碼（將整個(gè)區(qū)域涂成藍(lán)色）。
人眼對(duì)圖像的某些特征不是特別敏感，而這些特征可以在大多數(shù)人都沒有注意到的情況下以更粗的尺度記錄下來(lái)。以這種方式壓縮信息很容易，但不可逆（信息丟失）。
有些相機(jī)把圖像保存為 JPEG 文件，它表示使用了一種特定的數(shù)據(jù)壓縮系統(tǒng)。用于處理和打印照片的軟件，如 Photoshop，能夠解碼 JPEG 格式并將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換回圖片。我們經(jīng)常使用 JPEG 文件，很少有人知道它們被壓縮了，更少的人想知道這是怎么做到的。
傅里葉分析已經(jīng)成為工程師和科學(xué)家必備技術(shù)，但對(duì)于某些目的，這項(xiàng)技術(shù)有一個(gè)主要的缺點(diǎn)：正弦和余弦有無(wú)窮項(xiàng)。當(dāng)傅里葉的方法試圖表示一個(gè)緊湊的信號(hào)時(shí)，它遇到了問(wèn)題。它需要大量的正弦和余弦來(lái)模擬一個(gè)局部的光點(diǎn)。問(wèn)題不在于得到光點(diǎn)的基本形狀，而是讓光點(diǎn)之外的一切都等于零。你要做的是添加更多的高頻正弦和余弦來(lái)抵消不需要的信號(hào)。所以傅里葉變換對(duì)于光點(diǎn)信號(hào)是沒有用的：變換后的信號(hào)比原始信號(hào)更復(fù)雜，需要更多的數(shù)據(jù)來(lái)描述它。
選擇正弦和余弦是因?yàn)樗鼈儩M足一個(gè)簡(jiǎn)單的條件。形式上，這意味著它們是正交的。將兩個(gè)基本正弦波形相乘，并在一個(gè)周期內(nèi)積分，可以衡量它們之間的關(guān)系有多密切。如果這個(gè)數(shù)很大，它們就非常相似；如果它是零（正交的條件），它們就是獨(dú)立的。
傅立葉分析之所以有效，是因?yàn)樗幕静ㄐ渭日挥滞暾?，而且如果適當(dāng)?shù)丿B加，它們足以表示任何信號(hào)。實(shí)際上，它們?cè)谒行盘?hào)的空間中提供了一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，就像普通空間中的三維坐標(biāo)系統(tǒng)一樣。主要的新特性是現(xiàn)在有無(wú)限多個(gè)軸：每個(gè)基本波形都有一個(gè)軸。一旦你習(xí)慣了，在數(shù)學(xué)上就沒有問(wèn)題。
不難發(fā)現(xiàn)，在無(wú)限維的信號(hào)空間中，存在著不同于傅里葉的坐標(biāo)系。在整個(gè)領(lǐng)域中最重要的發(fā)現(xiàn)之一是一種新的坐標(biāo)系統(tǒng)，其中基本波形被限制在一個(gè)有限的空間區(qū)域內(nèi)。它們被稱為小波，可以非常有效地表示光點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兙褪枪恻c(diǎn)。小波的光點(diǎn)特征使其特別適合于壓縮圖像。它們最早的大規(guī)模實(shí)際應(yīng)用之一是存儲(chǔ)指紋。此外，小波在醫(yī)學(xué)成像方面也有許多應(yīng)用。事實(shí)上，小波幾乎無(wú)處不在。地球物理學(xué)和電氣工程等領(lǐng)域的研究人員都將這些技術(shù)應(yīng)用到自己的領(lǐng)域。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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