很長一段時間以來，我一直想寫諾特定理，但卻遲遲沒有“動筆”。我覺得現(xiàn)在是時候給自己一個交代了。由埃米?諾特提出的諾特定理，是迄今為止，最美妙的數(shù)學(xué)思想之一。但它并沒有為普通大眾所熟知。
愛因斯坦和希爾伯特試圖得出廣義相對論方程，但掙扎了很長一段時間。因?yàn)?，在廣義相對論之前，存在著這樣一個特殊的悖論，悖論是這樣的：
如果能量扭曲時空而時空包含能量，那么時空就會扭曲時空。
埃米?諾特解決了這個問題，但她是如何解決這個問題的？
諾特定理
如果宇宙中的一切都被平移到它現(xiàn)在的右邊會怎樣？我們知道這不會發(fā)生。但你還是會問“有什么變化？”，但更重要的是，什么是保持不變的？
這樣的思想實(shí)驗(yàn)似乎是對時間的無限“濫用”。但在你了解諾特定理后，就不這么想了。通常對諾特定理的理解是：
對稱意味著守恒。
但是什么是對稱呢？什么是守恒定律？它們是如何聯(lián)系在一起的？
“對稱”在日常用語中指的是一種協(xié)調(diào)和美麗的比例感。在數(shù)學(xué)中，“對稱”有一個更精確的定義，通常用來指在某些變換下不變的物體，包括平移、反射、旋轉(zhuǎn)或縮放。
就數(shù)學(xué)而言，當(dāng)對一個物體進(jìn)行任意變換而不產(chǎn)生方向變化時，就建立了對稱。把一個球繞中心旋轉(zhuǎn) 90 度，得到的結(jié)果和開始時一樣。這個球體是“旋轉(zhuǎn)對稱的”。取一條直線（無限長），向右移動 4 個單位，直線沒有變化。這被認(rèn)為是“平移對稱”。這似乎是一個無關(guān)緊要的性質(zhì)，但事實(shí)并非如此。
艾米?諾特認(rèn)為的對稱是這樣的：
假設(shè)這個對象是某個系統(tǒng)，它不斷地按照我們的意愿轉(zhuǎn)換。這個“系統(tǒng)”是宇宙的一部分，或者是宇宙本身。我們用 λ 值拉伸所有的距離，或旋轉(zhuǎn)所有的角度。諾特提出的問題是，無論如何，系統(tǒng)是否保持不變？
注意：諾特定理將“對稱”限制為連續(xù)對稱。連續(xù)對稱是用函數(shù)的連續(xù)變化來描述的，他們是離散的。球體是連續(xù)對稱的，而三角形不是。詳細(xì)請閱讀：李代數(shù) —— 物理學(xué)中最重要工具之一，一個最簡單的解釋
首先，諾特對能量特別感興趣。這里的定義做了一些調(diào)整：我們說，如果系統(tǒng)中物體的總能量在任意變換下不改變，那么這個系統(tǒng)就是對稱的。例如，如果我分離出一個質(zhì)量，并將它與一個移位的質(zhì)量進(jìn)行比較，能量將保持不變。
所以這個系統(tǒng)被認(rèn)為是“平移對稱的”，因?yàn)槲覀儗λ龅摹叭我庾儞Q”是向右平移 λ 單位。另一方面，對系統(tǒng)做一個小的改變就可以使這種對稱性變得無效。假設(shè)在這個系統(tǒng)中有一顆行星。離這顆行星越近的質(zhì)量，其引力勢能就越??；而離它越遠(yuǎn)的質(zhì)量，其引力勢能就越大。因此，這個系統(tǒng)不被認(rèn)為是平移對稱的。
這就是對稱部分。守恒定律是什么意思？簡單地說，守恒量就是那些既不能被毀滅也不能被創(chuàng)造的量，只是從一種形式轉(zhuǎn)化成另一種形式。一些守恒量是能量，動量和電荷。
守恒量是指在一段時間內(nèi)數(shù)量保持不變，既不能被創(chuàng)造也不能被毀滅的東西。描述這些量的定律叫作守恒定律。
但是為什么呢？為什么這些量是守恒的？為什么我們不能創(chuàng)造能量呢？諾特定理回答了所有這些問題。它非常準(zhǔn)確地解釋了守恒從何而來。
具體說，它假定平移對稱意味著動量守恒。事實(shí)上，如果宇宙中每一顆原子向右移動 1 米，我們就無法分辨出它們的區(qū)別。但問題來了。什么時候動量不是守恒的？
讓我們假設(shè)一個蘋果掉下來。如果蘋果向地面移動 2 單位，它的重力勢會更小，速度會更大。因此，p=mv 在兩種情況下并不相同。這個系統(tǒng)被認(rèn)為是平移不對稱的。
但如果我們考慮整個宇宙。將所有東西向左或向右移動幾個單位，你不會注意到有什么東西的位置發(fā)生了變化。這一定意味著能量是守恒的，因此，動量也是守恒的。重點(diǎn)是平移對稱意味著動量守恒。
平移對稱 → 動量守恒
但是旋轉(zhuǎn)對稱呢？同樣的道理。把地球和蘋果看作一個系統(tǒng)。但蘋果并沒有落下，而是繞著地球轉(zhuǎn)。我們說這里的守恒量是角動量。如果這個物體沿著一個球形軌道運(yùn)行，就像下圖所示，那么這個物體在任何給定位置的總能量都保持不變。所以它在這個軸上有旋轉(zhuǎn)對稱。
旋轉(zhuǎn)對稱 → 角動量守恒
我們已經(jīng)討論過空間中系統(tǒng)的變換。但是在時間上平移系統(tǒng)意味著什么呢？換句話說，假設(shè)有一個系統(tǒng)，在某一特定時刻 t，與 t + λ 時刻的系統(tǒng)比較。如果系統(tǒng)的能量不變，那么它被認(rèn)為是時間平移對稱的。諾特說什么是守恒的？能量。
時間對稱 → 能量守恒
下面的內(nèi)容，你不需要費(fèi)心去完全理解，我只是將其展示出來。這是一系列精妙的數(shù)學(xué)運(yùn)算得出的最深刻的證明之一。
可以看作是 ε 的函數(shù)，計算在 ε'=0 處的導(dǎo)數(shù)，利用萊布尼茨法則，得到：
注意歐拉-拉格朗日方程所暗示的：
把這個代入前一個方程，得到：
再一次應(yīng)用歐拉-拉格朗日方程，得到：
代入前一個方程，得到：
從中，我們可以看到
是一個運(yùn)動常數(shù)，它是一個守恒量。由于
得到
所以守恒量化簡為
這就是諾特對自變量的推導(dǎo)。
上面的數(shù)學(xué)路線包括了一個獨(dú)立變量的推導(dǎo)。也有類似于早先探討過的平移和轉(zhuǎn)動不變性。對于量子力學(xué)系統(tǒng)，有一個場理論版本，它是現(xiàn)代粒子物理的基礎(chǔ)。但還不止于此。從麥克斯韋方程組到廣義相對論，你會發(fā)現(xiàn)它無處不在。
正如她所假設(shè)的，并不是所有的能量都會扭曲時空。只有應(yīng)力-能量張量中的能量才重要。應(yīng)力-能量張量是一個數(shù)學(xué)對象，它包含了所有關(guān)于扭曲時空的能量的信息。
張量有 4 種信息。其中兩個是“電荷”，是守恒的東西：
1、場的能量
2、場的動量
順便說一下，這個張量是在這兩個之后命名的。它們與粒子的能量和動量完全相似，但對于一個連續(xù)的系統(tǒng)：場 → 時空本身。
到目前為止，有 4 個分量：1 個能量，3 個動量（因?yàn)閯恿渴且粋€矢量，它可以在任意的 x, y 和 z 方向上分解）。另外兩種類型的信息是“通量”：
1、能量通量
2、動量通量
但是什么是通量？舉個例子，我們電磁波攜帶能量，但是也有動力（這可能不太好理解），因?yàn)楣庾邮菬o質(zhì)量的，如果 m = 0，那么在 p = mv 中，會得到 p = (0) v。答案比這要復(fù)雜一些。重要的是波有動量。通量是在每個方向上流動的能量的精確表達(dá)式以及動量矢量在每個方向上流動的量。
這就是能量-動量張量的所有信息。
它不能解釋所有問題。它只是概括了物質(zhì)的引力影響。萬有引力耦合了能量和動量以及能量和動量的通量。它不關(guān)心它是來自于物質(zhì)還是電磁場，也不關(guān)心它來自于什么物質(zhì)。重要的是，它是對稱的。
這個張量，是將諾特定理應(yīng)用到一個由時空對稱性引起的一般時空變換的結(jié)果。
然而，在量子場論中，由于量子效應(yīng)，諾特定理可以被違反。量子修正所打破的經(jīng)典水平上的對稱性被稱為“反?！薄?strong>反常對稱性是標(biāo)準(zhǔn)模型的眾多預(yù)測之一。下面的文章將探討對稱的違反，以及它們與量子力學(xué)的關(guān)系。
本文來自微信公眾號：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
廣告聲明：文內(nèi)含有的對外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。