蒙日發(fā)明了畫(huà)法幾何（不要與射影幾何相混淆）；傅里葉對(duì)熱傳導(dǎo)理論的經(jīng)典性研究，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)理物理學(xué)的現(xiàn)代階段。沒(méi)有蒙日的幾何學(xué)，19 世紀(jì)機(jī)器的大規(guī)模生產(chǎn)也許是不可能的。畫(huà)法幾何是使機(jī)械工程成為現(xiàn)實(shí)的一切機(jī)械制圖和圖解方法的根源。由傅里葉在他關(guān)于熱傳導(dǎo)的工作中開(kāi)創(chuàng)的方法，在邊值問(wèn)題中具有同等的重要性。因此，我們文明的相當(dāng)大一部分，要?dú)w功于蒙日和傅里葉兩人：蒙日在實(shí)用和工業(yè)方面，傅里葉在純科學(xué)方面。
蒙日
加斯帕爾?蒙日 1746 年 5 月 10 日出生在法國(guó)的博納。14 歲的時(shí)候，蒙日在設(shè)計(jì)一輛消防車(chē)中顯示出他各方面的特殊才能。他是一個(gè)天生的幾何學(xué)家和工程師，有著使復(fù)雜的空間關(guān)系形象化的天賦。
在 16 歲時(shí)，蒙日因畫(huà)了一幅出色的博納地圖而得到了物理學(xué)教授的任命。后來(lái)，蒙日也因此被送到軍事學(xué)校去學(xué)習(xí)。在軍事學(xué)校，他熱衷于測(cè)量和制圖的工作，這為他留下了大量的時(shí)間來(lái)研究數(shù)學(xué)，并成功地解決了一個(gè)重要的問(wèn)題。
這就是畫(huà)法幾何的開(kāi)始。蒙日把這個(gè)新方法教給未來(lái)的軍事工程師們。以前像噩夢(mèng)一樣討厭的問(wèn)題，現(xiàn)在變得非常簡(jiǎn)單了。蒙日把畫(huà)法幾何當(dāng)作一個(gè)軍事秘密達(dá) 15 年之久。直到 1794 年，他才得到允許，可以在巴黎的師范學(xué)校公開(kāi)講授這種方法。拉格朗日聽(tīng)了一次演講后說(shuō)：“在聽(tīng)蒙日的演講以前，我是不知道畫(huà)法幾何的。”
畫(huà)法幾何（或稱作透視幾何）是一種用于繪畫(huà)和描繪三維空間物體的技巧和理論。畫(huà)法幾何的基本原理是通過(guò)模擬真實(shí)世界中物體在人眼中的視覺(jué)效果，將三維物體以二維的形式呈現(xiàn)出來(lái)。這種技巧可以幫助畫(huà)家在繪畫(huà)中創(chuàng)造出更加真實(shí)和逼真的畫(huà)面效果。
空間的立體或其他圖形現(xiàn)在由兩個(gè)投影描畫(huà)在同一個(gè)平面上。例如，一個(gè)平面是由它的交線表示的；一個(gè)立體，比如說(shuō)一個(gè)立方體，是由它的各條邊和頂點(diǎn)的投影表示的。曲面與垂直平面和水平平面相交出曲線；這些曲線，或該曲面的交線，在一個(gè)平面上表示該曲面。
這樣，我們就有了一種畫(huà)法，它把我們通常在三維空間中看到的東西畫(huà)在一張鋪平的紙上。正是這個(gè)簡(jiǎn)單的發(fā)明革新了軍事工程學(xué)和機(jī)械設(shè)計(jì)。它最明顯的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單明了。這個(gè)學(xué)科現(xiàn)在已經(jīng)建立得很完整，以致專業(yè)數(shù)學(xué)家們對(duì)它已沒(méi)有什么興趣了。
此外，蒙日的名字與曲面幾何聯(lián)系在一起，這是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容。蒙日系統(tǒng)地用微積分學(xué)研究曲面曲率。在他的曲率的一般理論中，蒙日為高斯鋪平了道路，高斯又啟發(fā)了黎曼，而黎曼發(fā)展了在黎曼幾何，并最終為相對(duì)論的建立提供了理論支撐。
1796 年拿破侖的一封信開(kāi)始了與蒙日長(zhǎng)期親密的關(guān)系。拿破侖非常欣賞蒙日的談吐和無(wú)窮無(wú)盡的有趣見(jiàn)聞，蒙日則從這位總司令親切的幽默中得到樂(lè)趣。當(dāng)時(shí)在拿破侖身邊的，還有傅里葉。
傅里葉
讓?巴蒂斯特?約瑟夫?傅里葉 1768 年 3 月 21 日生于法國(guó)的歐塞爾。他在 13 歲時(shí)是一個(gè)問(wèn)題兒童，性格倔強(qiáng)，脾氣暴躁。然后，當(dāng)他第一次與數(shù)學(xué)接觸時(shí)，他像著了魔似的，一下子轉(zhuǎn)變了。為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他去廚房里收集蠟燭頭，他秘密的書(shū)房是在一張屏風(fēng)后面的火爐邊。
1789 年 12 月，傅里葉（時(shí)年 21 歲）前往巴黎，把他關(guān)于數(shù)值方程解的研究論文送交科學(xué)院。這項(xiàng)工作超過(guò)了拉格朗日，至今仍然很有價(jià)值。但是由于傅里葉在數(shù)理物理學(xué)方面的方法已超過(guò)了它，我們就不再進(jìn)一步討論它了。
拿破侖看出了無(wú)知的士兵們將成事不足敗事有余。為此，拿破侖于 1794 年創(chuàng)辦了高等師范學(xué)校。傅里葉被聘為數(shù)學(xué)教授。這項(xiàng)任命，開(kāi)創(chuàng)了法國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的新紀(jì)元。這個(gè)計(jì)劃的成功超過(guò)了人們的預(yù)期，并且導(dǎo)致了法國(guó)數(shù)學(xué)和科學(xué)史上最光輝的時(shí)期之一的來(lái)臨。在綜合工科學(xué)校，他以罕見(jiàn)的引證歷史的方法，使數(shù)學(xué)課活躍了起來(lái)，他還巧妙地用一些有趣的實(shí)際應(yīng)用，來(lái)說(shuō)明抽象的問(wèn)題。
傅里葉的《熱的解析理論》是數(shù)理物理學(xué)的一個(gè)里程碑。他在 1807 年提交了第一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文。拉普拉斯、拉格朗日和勒讓德是評(píng)閱人。他們?cè)诔姓J(rèn)傅里葉的工作的創(chuàng)新性和重要性的同時(shí)，指出其在數(shù)學(xué)處理上還有缺點(diǎn)，在嚴(yán)格性方面還有許多有待改進(jìn)之處。拉格朗日本人曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)過(guò)傅里葉主要定理的一些特殊情形，但他沒(méi)能得到一般結(jié)果。
順便提一下，純數(shù)學(xué)家和數(shù)理物理學(xué)家之間的一個(gè)基本區(qū)別。純數(shù)學(xué)家所能用的唯一武器是精確、嚴(yán)格的證明。除非所引證的定理能夠經(jīng)得起它的時(shí)代所能提出的最嚴(yán)格的批評(píng)，否則純數(shù)學(xué)家們幾乎是不會(huì)用到它的。另一方面，應(yīng)用數(shù)學(xué)家和數(shù)理物理學(xué)家們會(huì)設(shè)想無(wú)限復(fù)雜的物質(zhì)世界能用簡(jiǎn)單到人類能夠理解的任何數(shù)學(xué)理論完全地描述。
科學(xué)家們?yōu)榱丝茖W(xué)本身而對(duì)數(shù)學(xué)采取的這種冷淡態(tài)度，激怒了一類純數(shù)學(xué)家，就像遺漏一個(gè)可疑的小小的下標(biāo)而激怒了另一類迂腐的學(xué)究一樣。結(jié)果是只有很少幾個(gè)純數(shù)學(xué)家對(duì)科學(xué)作出過(guò)重要貢獻(xiàn)。開(kāi)爾文勛爵無(wú)視傅里葉關(guān)于熱學(xué)分析的杰作中明顯缺乏嚴(yán)格性，而稱它為 "一首偉大的數(shù)學(xué)詩(shī)"。
正如已經(jīng)說(shuō)過(guò)的，傅里葉的主要研究方向，是邊值問(wèn)題 —— 微分方程的解適合指定的初始條件，這也許是數(shù)理物理學(xué)的中心問(wèn)題。自從傅里葉把這個(gè)方法應(yīng)用到熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)理論中來(lái)，極有天賦的人們已經(jīng)比他曾經(jīng)夢(mèng)想過(guò)的走得更遠(yuǎn)了，但是他那一步是決定性的。在他做的事情中，有一兩件非常簡(jiǎn)單，可以在這里加以敘述。
在代數(shù)中，我們要需要畫(huà)出簡(jiǎn)單的代數(shù)方程的圖形。但是反過(guò)來(lái)，什么樣的方程會(huì)導(dǎo)致像下圖中的這種無(wú)限重復(fù)的線段的圖形呢？
這樣的由不相連的直線段或曲線段構(gòu)成的圖形，在物理學(xué)，例如熱學(xué)、聲學(xué)和流體運(yùn)動(dòng)的理論中反復(fù)出現(xiàn)?？梢宰C明，不可能用有限的、精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式把它們表示出來(lái)。但“傅里葉定理”提供了一種從數(shù)學(xué)上表達(dá)和研究這種圖形的方法：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或者在該區(qū)間內(nèi)只有有限數(shù)目的不連續(xù)點(diǎn)，且在該區(qū)間內(nèi)只有有限數(shù)目的轉(zhuǎn)向點(diǎn)的給定的函數(shù)，可表示成正弦或余弦函數(shù)的無(wú)窮和，或正弦和余弦函數(shù)兩者的無(wú)窮和。
既然提到了正弦和余弦，我們就回想一下它們最重要的性質(zhì)，即周期性。設(shè)下圖中圓的半徑是 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，通過(guò)圓心 0 畫(huà)互成直角的軸，如在笛卡兒幾何中那樣，標(biāo)出 AB 等于 2π 單位長(zhǎng)度；這樣，AB 在長(zhǎng)度上等于圓的周長(zhǎng)。
設(shè)點(diǎn) P 從 A 開(kāi)始，沿箭頭所示的方向描出圓的軌跡。畫(huà) PN 垂直于 OA。那么，對(duì)于任何位置的 P，NP 的長(zhǎng)度稱為角 AOP 的正弦，ON 稱為角 AOP 的余弦；NP 和 ON 像在笛卡兒幾何中那樣取它們的符號(hào)（NP 在 OA 上方取正號(hào)，在 OA 下方取負(fù)號(hào)；ON 在 OC 的右邊是正的，在 OC 左邊是負(fù)的）。
不論 P 在任何位置，角 AOP 是 4 個(gè)直角（360°）的一部分，相應(yīng)于弧 AP 在整個(gè)圓周上所占的部分。所以我們可以沿著 AB 標(biāo)出弧 AP 在 2π 中所占的相應(yīng)比例，以表示這些角 AOP。這樣，當(dāng) P 在 C 處時(shí)，經(jīng)過(guò)了整個(gè)圓周的 1/4；因此，相應(yīng)于角 AOC，我們?cè)诰嚯x A 點(diǎn)長(zhǎng)度為 1/4AB 處有點(diǎn) K。
在 AB 上的每一個(gè)點(diǎn)，我們畫(huà)長(zhǎng)度等于相應(yīng)角度正弦的垂直線段，根據(jù)正弦是正或負(fù)，決定垂直線段在 AB 的上方或下方。這些垂直線段的不在 AB 上的那一端落在圖中所示的連續(xù)曲線，即正弦曲線上。當(dāng) P 回到 A 點(diǎn)，開(kāi)始重新沿著圓轉(zhuǎn)時(shí)，曲線在 B 以后重復(fù)，如此以至無(wú)窮。如果 P 向相反方向旋轉(zhuǎn)，曲線就向左重復(fù)。曲線在一個(gè) 2π 區(qū)間后重復(fù)：角（這里是 AOP）的正弦是一個(gè)周期函數(shù)，周期是 2π。
不難發(fā)現(xiàn)，sin2x 通過(guò)一個(gè)完整周期比 sinx 快一倍，因此它的一個(gè)完整周期的圖形是 sinx 的一半那么長(zhǎng)。同樣，sin3x 的完整的周期是 2π/3 等等。這對(duì)于 cosx，cos2x，cos3x，… 也同樣成立。
現(xiàn)在能夠大致描述傅里葉的主要數(shù)學(xué)成果了。在已經(jīng)提到的與“間斷 " 的圖形有關(guān)的限制內(nèi)，任何具有明確確定的某個(gè)圖形的函數(shù)，都能用下面這種類型的方程表示：
其中省略號(hào)表示兩個(gè)系列按照某種規(guī)則無(wú)限地繼續(xù)下去，當(dāng)任何 x 的已知函數(shù) y 是已知時(shí)，系數(shù)
是可以確定的。換言之，任何 x 的已知函數(shù)，比如說(shuō) f（x），能夠展開(kāi)成上述類型的級(jí)數(shù)，即三角級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)。所有這些都只在某些限制條件下才成立，這些限制幸而在數(shù)理物理學(xué)中不很重要；例外的情形是一些很少有或沒(méi)有物理意義的的情形。再重申一次，傅里葉級(jí)數(shù)這項(xiàng)工作是邊值問(wèn)題的第一個(gè)偉大的成就。
上面所描述的周期的概念，對(duì)于自然現(xiàn)象具有明顯的重要性，潮汐、月相、季節(jié)以及人們熟知的許多其他事情，本質(zhì)上都是周期性的。有時(shí)候一個(gè)周期現(xiàn)象，諸如太陽(yáng)黑子的反復(fù)出現(xiàn)，能夠用一定數(shù)目的簡(jiǎn)單周期性圖形相疊加而很好地逼近。因此這些現(xiàn)象就能化簡(jiǎn)為一些獨(dú)立的、簡(jiǎn)單的周期現(xiàn)象，而原來(lái)的周期現(xiàn)象是由它們組合而成的。
在現(xiàn)實(shí)世界中，很多自然現(xiàn)象都具有周期性，例如：
天文現(xiàn)象：月相、日食、年季節(jié)等都具有周期性，這些現(xiàn)象可以用周期函數(shù)進(jìn)行描述和預(yù)測(cè)。
機(jī)械振動(dòng)：振動(dòng)是指物體在固定點(diǎn)周?chē)髦芷谛缘耐鶑?fù)運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)的研究可以幫助人們了解機(jī)械設(shè)備的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和穩(wěn)定性，以及如何調(diào)節(jié)和控制機(jī)械振動(dòng)。
電信號(hào)：電信號(hào)在傳輸過(guò)程中也具有周期性，例如交流電和數(shù)字信號(hào)等。周期性的特點(diǎn)使得信號(hào)可以在傳輸過(guò)程中被分割成不同的時(shí)間段進(jìn)行傳輸，從而提高了信號(hào)的傳輸效率。
生物節(jié)律：人體內(nèi)的許多生理現(xiàn)象，例如心跳、呼吸、睡眠等都具有周期性。了解這些生物節(jié)律的規(guī)律可以幫助人們更好地維護(hù)健康。
當(dāng)他在 1822 年完成 1807 年開(kāi)始的工作，并收集在關(guān)于熱傳導(dǎo)的專著中時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)固執(zhí)的傅里葉對(duì)他原先提交的論文一個(gè)字也沒(méi)有改動(dòng)。1830 年 5 月 16 日，他因心臟病去世，享年 63 歲。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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