說到羽毛球，想必每個人都不陌生。即使不是羽毛球愛好者，也會經(jīng)常在各種運(yùn)動場地或者廣場上看到打球的人，也會對林丹、李宗偉等著名球員有所耳聞。
然而，即使是經(jīng)常打球的愛好者也未必留意過羽毛球飛行的細(xì)節(jié)。
羽毛球?yàn)槭裁丛O(shè)計成這樣？它飛行時總是較重的球頭朝前么？羽毛球最遠(yuǎn)能飛多遠(yuǎn)？它飛行時會旋轉(zhuǎn)么？想必這些問題已經(jīng)引起大家的好奇了，那就一起走進(jìn)正文吧~
Part 1：羽毛球的翻轉(zhuǎn)
只要打過羽毛球的人都會注意到一個現(xiàn)象，那就是當(dāng)球朝你飛來的時候幾乎都是球頭在前的姿態(tài)。換位思考一下，對手一定也會看到同樣的現(xiàn)象。那么只有一種可能，就是每一方擊球后，羽毛球都會翻個跟頭，然后掉頭往回飛。問題在于，掉頭是擊球瞬間就完成的么？也許我們想當(dāng)然地會這樣認(rèn)為。
可惜答案并不是這樣。如上圖所示，擊球的瞬間基本在 1ms 左右就完成了，然而一般在 20ms 左右球才能完成翻轉(zhuǎn)。隨后還要經(jīng)歷阻尼震蕩的過程，才能使其球頭指向速度的方向。為了更直觀地展現(xiàn)這個過程，我們在圖 2 中畫出了球頭指向與速度方向間的夾角 φ 隨時間的演化。其中 τf、τo 以及 τs 分別代表第一次翻轉(zhuǎn)至球頭朝前用時、阻尼振蕩時間以及達(dá)到穩(wěn)定的特征時間。
可見，經(jīng)歷了 0.1-0.15s 的時間，羽毛球看上去就已經(jīng)是球頭朝前的姿態(tài)了，因此除了一些特殊的擊球情況，我們難以用肉眼捕捉到羽毛球擊球后迅速翻轉(zhuǎn)調(diào)整的過程。那么。羽毛球的這一翻轉(zhuǎn)行為與其自身的結(jié)構(gòu)有什么關(guān)聯(lián)么？
答案是有的。羽毛球由軟木材質(zhì)的球頭以及用鵝毛 / 鴨毛或塑料等材質(zhì)制成的裙?fàn)罱Y(jié)構(gòu)組成，其中球頭較重而裙?fàn)罱Y(jié)構(gòu)截面積較大。我們不妨把這一特征抽象為如圖中 B 和 C 標(biāo)識的質(zhì)量大、截面積大的裙?fàn)顓^(qū)域以及質(zhì)量大、截面積小的球頭區(qū)域。
在飛行時，假定球頭方向與速度方向并不一致，有一個夾角 φ，則作用在 B 和 C 上的空氣阻力就會分別產(chǎn)生一個以質(zhì)心 G 為參考點(diǎn)的力矩。一方面裙?fàn)罱Y(jié)構(gòu)的截面積大，空氣阻力 FD 更大，另一方面 BG 相比 GC 更長，因此球必然會圍繞質(zhì)心逆時針旋轉(zhuǎn)，直至球頭指向速度方向。
如果上面的重量分布是很容易就能想到的，那么關(guān)于羽毛球?yàn)楹芜x擇接近 45° 的張角可能很少有人思考過。其實(shí)這是與羽毛球能否經(jīng)歷翻轉(zhuǎn)更快達(dá)到穩(wěn)定息息相關(guān)的。曾有學(xué)者用小鐵球和塑料材質(zhì)的裙?fàn)罱Y(jié)構(gòu)復(fù)刻了羽毛球的形狀和質(zhì)量分布特征，在水中以裙?fàn)罱Y(jié)構(gòu)朝下的方式自由釋放，讓其在下沉過程中翻轉(zhuǎn)，下圖顯示了其張角是如何影響翻轉(zhuǎn)和穩(wěn)定時間的。
可見，張角過小和過大都不利于翻轉(zhuǎn)的穩(wěn)定，而從 30° 到 90° 的范圍會經(jīng)歷一個穩(wěn)定較快的平臺區(qū)。顯然，羽毛球的張角正是落在這個區(qū)域內(nèi)。
Part 2：羽毛球的飛行軌跡
與網(wǎng)球不同，羽毛球由于其球本身質(zhì)量較輕，飛行時受空氣阻力影響較大，所以其飛行軌跡嚴(yán)重偏離拋物線的形狀。一般來講，羽毛球飛行遵循的運(yùn)動方程可以寫作
其中 M, ρ 和 S 分別是羽毛球的質(zhì)量、密度和截面積，U 是速度的大小，U 和 g 是速度和重力加速度的矢量，而 CD 則是與測試條件相關(guān)的常數(shù)。不難理解，除了令其做斜拋運(yùn)動的重力項(xiàng)外，球還會收到大小與速度平方成正比，方向與速度反向的阻力。而具體軌跡則由初始速度的大小和方向決定。對于羽毛球，我們可以定義一個與其飛行特征相關(guān)的量，稱為氣動長度
對于我們所使用的羽毛球，這個距離約為 4.6m，它決定了羽毛球在自由豎直下落時最終的穩(wěn)定速度為 U∞=6.7m / s。下圖中，我們可以看到不同初始速度下羽毛球飛行軌跡的計算值 (實(shí)線) 與實(shí)際值 (散點(diǎn)) 的對比，可見該運(yùn)動方程可以較好地預(yù)測其軌跡。
那么，羽毛球可以飛多遠(yuǎn)呢？我們不妨看看羽毛球做近似上拋運(yùn)動后下落到與出發(fā)高度相同時行進(jìn)的距離 x0 的變化趨勢。根據(jù)上面的運(yùn)動方程，我們可以發(fā)現(xiàn)這一距離取決于羽毛球的初始速度。將飛行距離 x0 關(guān)于初始速度仰角 θ0 和速度大小 U0 的關(guān)系作圖，可以得到下面的結(jié)果。
只要打過羽毛球，這張圖里面一定包含了一些你可以感同身受的信息點(diǎn)。比如我們發(fā)現(xiàn)無論使用的力氣多大，似乎羽毛球的飛行總是在某一個距離附近“戛然而止”。這張圖中的速度上限已經(jīng)達(dá)到了 140m/s，然而能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離還是只有 13.83m。而我們使用的羽毛球場地長 13.4m，這就是為什么羽毛球從一側(cè)后場即使用盡全力也幾乎只能打到對方后場，即使出界也不會出很多。
有的讀者可能會問，速度上限設(shè)置到 140m / s，是不是太夸張了？羽毛球能飛這么快？其實(shí)并不夸張。2013 年 7 月，馬來西亞男雙名將陳文宏在實(shí)驗(yàn)室的理想條件下殺球打出了 493km/h 的驚人速度，相當(dāng)于 136.9m/s。而也有消息稱丹麥選手科丁曾打出 506km/h 的殺球記錄，即 140.6m/s。即使在比賽中，科丁也曾打出 426km/h 的超快殺球。因此羽毛球是當(dāng)之無愧的球類速度之王！
其實(shí)，羽毛球的飛行軌跡也與球的種類有關(guān)。我們常見的有羽毛制球和塑料制球兩種。下圖顯示了他們飛行軌跡的差異。
一方面在初始角度和速度相同的情況下，塑料制球的可到達(dá)范圍要比羽毛制球大；另一方面羽毛制球在飛行最高點(diǎn)附近的曲率更大，軌跡更接近“三角形”。
這是由于保證堅固程度以及成本較低的情況下，塑料制球往往偏重一些。這也意味著在同樣不出界的情況下，羽毛制球可以以更快速度飛行，從而減少對手的反應(yīng)時間。因此羽毛制球往往更受青睞。
Part 3：羽毛球的旋轉(zhuǎn)
大家可能留意過，羽毛球的羽毛是朝同一時針方向傾斜排布的。這是無關(guān)緊要的設(shè)計么？其實(shí)不然。我們可以把每一個羽片看作一個薄板，其在流體中行進(jìn)時會受到方向垂直于平面且與速度方向相反的力，如下圖所示。
我們立刻就會想到，這些力的合力會使得羽毛球整體繞軸線旋轉(zhuǎn)！當(dāng)羽毛球以更快速度行進(jìn)時，受到的阻力會越大，合力產(chǎn)生的力矩也會隨之增大，使得羽毛球更快旋轉(zhuǎn)。如果我們用角速度 Ω 與羽片軸向半徑 R 相乘，得到羽片處的線速度，就會發(fā)現(xiàn)其幾乎與行進(jìn)速度呈線性關(guān)系。
而且，相比塑料制球，羽毛制球在飛行時的旋轉(zhuǎn)速度明顯更快。分析表明，更快的旋轉(zhuǎn)會限制羽毛制球的進(jìn)動，這有利于羽毛制球在飛行時的穩(wěn)定。
看來，羽毛球的飛行細(xì)節(jié)真的是一門大學(xué)問。在這個過程中，我們不僅可以學(xué)到豐富的物理知識，還有助于了解球的飛行軌跡?？赐晖扑偷男』锇榭禳c(diǎn)拿起球拍，看看球技有無精進(jìn)吧~
參考資料：
[1] Cohen C, Texier B D, Quéré D, et al. The physics of badminton[J]. New Journal of Physics, 2015, 17(6): 063001.
[2] 羽毛球 (球) - 維基百科
[3] Kwan M W. It’sa Birdie… It’sa Shuttlecock… It’s Badminton: The Physics Behind the Badminton Shuttlecock[J].
[4] 殺球世界紀(jì)錄再創(chuàng)新高！
本文來自微信公眾號：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：云開葉落
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