幾何簡史 —— 帶你回顧讓你又愛又恨的幾何

“幾何”(Geometron) 一詞源于希臘語。"Geo" 意為 "地球"，"metron" 意為 "測量"。起初，幾何只是為了理解事物如何在空間中組合在一起。

早在公元前 3000 年左右的遠(yuǎn)古時(shí)代，幾何學(xué)就已經(jīng)出現(xiàn)。印度河流域和巴比倫等地的人們通過計(jì)算長度、角度、面積和尺寸來解決日常問題，如建造房屋、觀測星象和制作工藝品等。令人驚嘆的是，早在畢達(dá)哥拉斯等著名數(shù)學(xué)家出現(xiàn)之前，這些人就已經(jīng)在做一些非常超前的事情了。

古埃及人用下面的公式近似估算圓的面積：

阿赫米斯手抄本第 50 題采用了這種方法，假設(shè) π 為 4×(8/9)2(約 3.160493......)，誤差約為 0.63%。而由巴比倫人得出的近似值 (25/8 = 3.125，誤差在 0.53% 以內(nèi)) 比阿赫米斯手抄本中的假設(shè)更為準(zhǔn)確。阿基米德后來將 π 近似為 211875/67441（約 3.14163），誤差略高于萬分之一。埃及人還有第二個(gè) π 值，約為 3.111，是利用不規(guī)則八邊形從阿赫米斯手抄本中問題 48 中得到的。

《莫斯科數(shù)學(xué)手抄本》中的問題 14 描述了求金字塔錐體體積的正確公式。

在古印度的吠陀時(shí)期，幾何被用來制作復(fù)雜的祭壇。公元前一千年左右的《梵書婆羅門》（Satapatha Brahmana）和《舒爾巴經(jīng)》（?ulba Sūtras）等資料記錄了印度人對(duì)幾何的理解。尤其是《舒爾巴經(jīng)》，它記錄了對(duì)勾股定理 (畢達(dá)哥拉斯定理) 最早的一種解釋，盡管巴比倫人在此之前就已經(jīng)知道了。這些文字列出了勾股數(shù) (畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組)，并討論了與內(nèi)切圓和外接圓有關(guān)的近似值。

最古老、最著名的《寶積經(jīng)》（Baudhayana Sulba Sutra）用簡單的勾股數(shù)闡述了正方形和長方形的勾股定理。

巴比倫人也有一些很酷的數(shù)集，但印度的《舒爾巴經(jīng)》更多是對(duì)利用幾何來制作祭壇和解決實(shí)際問題的記載。還有另外兩部《舒爾巴經(jīng)》，即《摩那婆舒爾巴經(jīng)》（Manava Sulba Sutra）和《阿帕斯坦巴舒爾巴經(jīng)》（Apastamba Sulba Sutra），其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容與《寶陀耶那舒爾巴經(jīng)》（Baudhayana Sulba Sutra）類似。這些印度古籍中的智慧思想與同一時(shí)期巴比倫人在數(shù)學(xué)方面所做的事情有些相像。就好像他們?cè)谑澜绲牟煌胤教剿飨嗨频臄?shù)學(xué)概念。

幾何學(xué)在古希臘數(shù)學(xué)家中占有特殊的地位。米利都的泰勒斯被認(rèn)為是第一個(gè)使用數(shù)學(xué)演繹法的人，以著名的勾股定理聞名于世的畢達(dá)哥拉斯也在幾何學(xué)方面做出了重大貢獻(xiàn)。

"經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)過幾何的人比沒學(xué)過幾何的人更快掌握難懂的知識(shí)"。

—— 柏拉圖

盡管柏拉圖本人并不是數(shù)學(xué)家，但他在這一領(lǐng)域留下了濃墨重彩的一筆，他對(duì)測量工具并不感興趣，而專注于使用圓規(guī)和直尺等工具來作圖。他的思想激發(fā)了人們對(duì)幾何圖形構(gòu)造問題的大量探索，最終導(dǎo)致了關(guān)于實(shí)數(shù)的重要發(fā)現(xiàn)。亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生，他在柏拉圖的基礎(chǔ)上寫出了邏輯推理的方法，這在很長一段時(shí)間內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)研究都非常重要。

歐幾里得是公元前 325-265 年左右亞歷山大的一位學(xué)者，著有《幾何原本》，共 13 冊(cè)。這部著作以理想化的公理形式展示了幾何學(xué)，即現(xiàn)在的歐幾里得幾何學(xué)。

歐幾里得的五個(gè)基本思想就像搭積木，他用圖像來解釋數(shù)學(xué)概念，這有點(diǎn)像用圖形講故事。托托勒密一世國王的福，歐幾里得有機(jī)會(huì)在埃及亞歷山大的一所著名學(xué)校工作。

阿基米德通常被認(rèn)為是希臘最偉大的數(shù)學(xué)家。除了數(shù)學(xué)之外，他還是一位出色的物理學(xué)家、工程師和發(fā)明家。他的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)包括類似解析幾何坐標(biāo)系和求微積分極限的方法。

阿基米德時(shí)代之后，希臘數(shù)學(xué)的熱潮逐漸消退，幾何學(xué)的狂熱時(shí)期也隨之結(jié)束。大約在那個(gè)時(shí)候，普羅克洛斯（410-485 年）脫穎而出，成為那個(gè)時(shí)代幾何學(xué)領(lǐng)域最后的幾個(gè)重要人物之一。

他不僅擅長數(shù)學(xué)。他還非常善于解釋和評(píng)論前人的工作。遺憾的是，當(dāng)時(shí)的許多原始數(shù)學(xué)知識(shí)都隨著歲月的流逝而失傳了，我們只能依靠普羅克洛斯的解釋來了解他們當(dāng)時(shí)在做什么。

巴赫沙利手稿包含幾何問題，例如與不規(guī)則固體體積有關(guān)的問題。它還采用了十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)，用點(diǎn)代表零。

婆羅門古普塔（Brahmagupta）在 628 年左右寫成的天文學(xué)著作《婆羅門悉達(dá)論》（Brāhma Sphu?a Siddhānta）中介紹了許多有趣的數(shù)學(xué)思想。第 12 章講述了立方根、分?jǐn)?shù)、比率和交易等基本知識(shí)。它還涵蓋了實(shí)用的數(shù)學(xué)主題，如把東西混合在一起、找出數(shù)字中的規(guī)律、處理形狀，甚至是堆磚或堆谷物等任務(wù)。其中一個(gè)突出的觀點(diǎn)是婆羅門古普塔（Brahmagupta）關(guān)于圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的定理。

"代數(shù)不過是文字上的幾何；幾何不過是圖形上的代數(shù)"。

—— 蘇菲?熱爾曼

伊斯蘭幾何更注重代數(shù)，而不僅僅是形狀。穆斯林?jǐn)?shù)學(xué)家在代數(shù)、數(shù)字和系統(tǒng)方面都很出色。盡管他們專注于代數(shù)，但仍在幾何和天文學(xué)中加入了很酷的東西。

有一位了不起的學(xué)者，名叫穆罕默德?伊本?穆薩?瓦里茲米 (Muhammed ibn Mūsā al-?wārizmī)。他提出了算法這一數(shù)學(xué)技巧，后來幫助創(chuàng)造了計(jì)算機(jī)。他的追隨者們利用這些技巧改進(jìn)了代數(shù)學(xué)，創(chuàng)造了多項(xiàng)式代數(shù)等。

卡拉吉（Al-Karaji）將代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)分離，并引入了我們今天使用的算術(shù)運(yùn)算類型，從而進(jìn)一步推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展。11 世紀(jì)初，伊本?海賽姆（Alhazen）首次嘗試使用一種名為 "反證法" 的技術(shù)來證明歐幾里得的平行公設(shè)。

他在幾何學(xué)中引入了運(yùn)動(dòng)和變換的概念。另一位天才奧馬爾?海亞姆（Omar Khayyam）提出了通過拋物線與圓相交來解三次方程的一般方法。他還發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式展開法，并對(duì)歐幾里得關(guān)于平行線的一些觀點(diǎn)提出了質(zhì)疑，這些觀點(diǎn)后來在非歐幾何的發(fā)展中發(fā)揮了作用。奧馬爾還找到了用幾何方法解代數(shù)方程的方法。

你猜怎么著？伊斯蘭教徒不僅用幾何這種數(shù)學(xué)來計(jì)算數(shù)字，他們還用它來為建筑物做出令人驚嘆的設(shè)計(jì)，比如瓷磚和圖案。這是數(shù)學(xué)和藝術(shù)的結(jié)合，看起來令人驚嘆！

現(xiàn)在，讓我們把目光轉(zhuǎn)向中國。中國最早的幾何學(xué)巨著叫做《墨經(jīng)》。它是思想家墨子著作的一部分，墨子生活在公元前 470-390 年左右?！赌?jīng)》是他的追隨者在公元前 330 年左右整理出來的。它談到了一些超前的幾何知識(shí)，這些知識(shí)可能是建立在更早的思想基礎(chǔ)上的，但遺憾的是，由于秦朝焚毀了許多書籍，我們已經(jīng)失去了這些更早的記載。在《墨經(jīng)》中，他們將幾何中的點(diǎn)定義為一條直線的最小部分，這與歐幾里得和柏拉圖的觀點(diǎn)類似。他們還談到了長度的比較、永不相交的直線（如平行線）以及空間的運(yùn)作方式。

之后，到了漢朝，中國人又開始研究數(shù)學(xué)，并寫出了像《算術(shù)書》這樣的書。這本書講述了幾何學(xué)中一些有趣的觀點(diǎn)，比如事物以可預(yù)測的方式生長。

一個(gè)名叫張衡的人曾嘗試估算圓周率，后來祖沖之得到了更好的估計(jì)值。中國的這些數(shù)學(xué)探險(xiǎn)增加了世界對(duì)數(shù)字和圖形的理解。

17 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界發(fā)生了兩件大事。首先，勒內(nèi)?笛卡爾（René Descartes）和皮埃爾?德?費(fèi)馬（Pierre de Fermat）聯(lián)手創(chuàng)造了一種使用坐標(biāo)和方程的新幾何學(xué)。這就像是在圖形上添加數(shù)字來解決問題。隨后，另一位名叫吉拉德?笛沙格（Girard Desargues）的數(shù)學(xué)家對(duì)投影幾何產(chǎn)生了濃厚的興趣，投影幾何的核心是在不測量距離的情況下研究點(diǎn)如何排成直線。

17 世紀(jì)末，另外兩位聰明人艾薩克?牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德?威廉?萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz），將微積分這一很酷的數(shù)學(xué)工具，變成了更強(qiáng)大的分析工具。它并不完全是幾何學(xué)，但對(duì)解決幾何問題非常有幫助。

到 18 世紀(jì)和 19 世紀(jì)，許多聰明人試圖證明幾何中的平行線法則，但他們無法破解。一些思想家，如奧馬爾?海亞姆（Omar Khayyam），開始質(zhì)疑線的行為方式，并提出了不遵循舊規(guī)則的新型幾何。19 世紀(jì)，卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss）、約翰?博爾亞伊（Johann Bolyai）和洛巴切夫斯基（Lobatchewsky）等人意識(shí)到，這條法則實(shí)際上可能無法證明。他們證明這條法則是錯(cuò)誤的，并由此產(chǎn)生了一種不拘泥于通常規(guī)則的全新幾何類型。1854 年左右，伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）師從高斯，利用數(shù)學(xué)技巧創(chuàng)造了基于光滑形狀的幾何學(xué)。這后來成為愛因斯坦相對(duì)論的關(guān)鍵部分。

進(jìn)入 20 世紀(jì)后，代數(shù)幾何開始大行其道。安德烈?韋爾（André Weil）、亞歷山大?格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）和讓?皮埃爾?塞雷（Jean-Pierre Serre）等數(shù)學(xué)奇才致力于用一種特殊的數(shù)學(xué)方法來研究曲線和曲面。他們的工作幫助我們了解了更多關(guān)于形狀以及數(shù)字如何描述形狀的知識(shí)。

"方程只是數(shù)學(xué)中無聊的部分。我試圖從幾何的角度看問題"。

—— 斯蒂芬?霍金

作者：Areeba Merriam

翻譯：小聰

審校：*0

原文鏈接：A Brief History of Geometry

本文來自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Areeba Merriam

廣告聲明：文內(nèi)含有的對(duì)外跳轉(zhuǎn)鏈接（包括不限于超鏈接、二維碼、口令等形式），用于傳遞更多信息，節(jié)省甄選時(shí)間，結(jié)果僅供參考，IT之家所有文章均包含本聲明。