太陽的結(jié)構(gòu)是怎樣的？太陽核心壓強和溫度該如何估算？3 月 27 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，向網(wǎng)友介紹太陽的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，以及如何對太陽核心壓強、密度和溫度進行估算。
介紹太陽內(nèi)部結(jié)構(gòu)與各層特點
直播開始，張朝陽先簡短復(fù)習了上一次直播課程中估算出來的關(guān)于太陽的一些數(shù)據(jù)：太陽半徑 Rs 約為 70 萬公里，太陽質(zhì)量 Ms 約為 2.0×10^30 千克。
隨后，介紹了太陽的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。太陽從里到外主要分為 6 個部分。最里邊的被稱為核 (Core)，其半徑約為太陽半徑的 25%。太陽大部分質(zhì)量都集中在核。從核邊界出發(fā)一直到距離中心大約 50 萬公里處的這層是輻射層 (Radiative Zone)，厚度約 30 萬公里，在這一層中能量從里到外的傳遞主要通過輻射進行。第三層是對流層 (Convective Zone)，在這一層的溫度梯度比較大，從而形成很強的對流。平時能通過光譜的紅移或者藍移觀測這種對流現(xiàn)象。
第四層是很薄的一層，叫光球?qū)?(Photosphere)，其溫度大約是 5800K，日常接收到的太陽光主要來自這一層。接下來兩層是染色層和日冕。測量的太陽半徑主要指的是光球?qū)?，比如上次直播課里用黑體輻射估算太陽半徑，這一層 (光球) 幾乎是太陽的最外層。
(張朝陽介紹太陽的內(nèi)部結(jié)構(gòu))
張朝陽還解釋，目前太陽正處于青壯年時期，大約再過 50 多億年才會死亡，屆時太陽將會變成紅巨星，膨脹很多倍，甚至可能把地球吞噬掉。不過大家不用擔心，“太陽現(xiàn)在處于很穩(wěn)定的狀態(tài)，大家安心吃飯睡覺就好?！?/p>
他繼續(xù)介紹，目前太陽所處的平衡是兩種或者多種力相互競爭導(dǎo)致的結(jié)果。在太陽的內(nèi)核，主要是引力和壓力之間的平衡。在內(nèi)核，溫度極高，里邊的原子核、電子的平均動能遠大于氫原子電離能 13.6 eV，因此里邊的物質(zhì)處于電離狀態(tài)，并且在計算上可以當成理想氣體來處理。內(nèi)核的這些“氣體”的密度甚至可達 100 g / cm^3，作為一種氣體其密度竟然可以達到水的 100 倍量級。而在輻射層，物質(zhì)密度大約在 0.05 g / cm^3 至 0.5 g / cm^3 之間。
經(jīng)過一番口述作為引入，張朝陽開始了本次課程的推導(dǎo)。因為核心區(qū)半徑是太陽半徑的 25%，也就是 1/4，那么核心區(qū)的體積是太陽的 1/64。將核心區(qū)的密度取為 100 g / cm^3，外面各部分的密度為 0.1 g / cm^3，通過估算，核心的質(zhì)量是外層的 15 倍。他強調(diào)，這只是一個估算，和實際數(shù)據(jù)會有出入，只要保證數(shù)據(jù)量級正確即可。因此，可以假設(shè)核心區(qū)的質(zhì)量 Mc 是太陽質(zhì)量的 90%。
計算均勻球殼內(nèi)部引力 推導(dǎo)流體靜平衡方程
為了推導(dǎo)計算太陽中心壓強所需的方程，張朝陽先介紹了球體的引力。他說，均勻球體對外物的引力等效于所有質(zhì)量集中在球心處的引力。但如果是均勻球殼，還是等效于所有質(zhì)量集中在球心處所產(chǎn)生的引力嗎？對于均勻球殼內(nèi)部的物體，其所受引力又會是怎樣的呢？答案是：均勻球殼外物體所受引力依然可以等效于球殼質(zhì)量集中在球心時的情形，而均勻球殼內(nèi)物體所受引力為 0。
張朝陽解釋，假設(shè)一個厚度為 dr 的球殼，半徑為 r，密度為 ρ(r)，球殼外的物體距離球殼中心距離為 R，那么按照球殼上的點到物體上的距離 l 來分層，然后做積分，就可以求出總的引力。積分思路的示意圖如下：
(張朝陽推導(dǎo)球殼引力的示意圖)
張朝陽說，這是以前算過的結(jié)果，只要求出每層的勢能然后沿著徑向求導(dǎo)就可以得到這一層在徑向的引力（感興趣的讀者可參見《張朝陽的物理課》第 30 期的內(nèi)容。）據(jù)此，張朝陽得到如下積分及結(jié)果：
可以看到，球殼對球外物體的引力等效于所有質(zhì)量集中于球心所產(chǎn)生的引力。更進一步地，可以用類似方法計算物體在球殼內(nèi)所受的引力，會得到如下積分式：
此時由于物體在球殼內(nèi)，R<r。這個積分的結(jié)果是 0。張朝陽沒有對積分進行詳細的計算，不過對其結(jié)果進作了通俗的解釋。他介紹，球殼內(nèi)的點假如不在球心，根據(jù)引力和距離平方成反比的性質(zhì)，球殼上靠近物體的那些微元會提供比較大的引力，但是這部分微元比較少；而離物體較遠的那些微元會提供比較小的引力，但是這部分微元比較多。而且，這兩部分提供的力是相反的。最終剛好互相抵消，球殼對內(nèi)部物體沒有引力作用。
有了這個結(jié)果，張朝陽推導(dǎo)，太陽內(nèi)部的粒子，受到的引力只是比粒子更接近中心的那些殼層的引力，外邊殼層對這個粒子沒有引力作用。然后，因為存在壓力梯度，靠近中心的壓力更大，從而產(chǎn)生了一個和太陽引力相互平衡的力。張朝陽假設(shè)半徑改變 dr 時，壓強改變 dP，取半徑 r 處厚度為 dr、面積為 dS 的一個微元，通過受力平衡，可得如下等式：
其中 Mr 是半徑 r 以內(nèi)的太陽物質(zhì)的質(zhì)量?；喖吹茫?/p>
(張朝陽推導(dǎo)流體靜平衡方程)
這就是太陽核心處的流體靜平衡方程。如果在輻射層，壓強還需要包含光壓，不過在核內(nèi)，光壓可以忽略不計。接著，張朝陽補充，Mr 是密度 ρ(r) 關(guān)于 r 的積分，即使考慮理想氣體方程
依然無法解這組方程。因此，還需要使用估算來得到一些物理量。
估算太陽核心處的壓強、密度和溫度
張朝陽先分析中心處的壓強變化率。在中心處 r 較小的區(qū)域內(nèi)，Mr 約正比于 r 的三次方，代入流體靜平衡方程，可知 dP / dr 正比于 r 的一次方。于是，dP / dr 在中心處只能是零。他強調(diào)，這說明壓強在中心處不能是無窮大。
另一方面，太陽表面 Rs 處的壓強為 0，那么核層半徑 Rc 處的壓強可以根據(jù)流體靜力平衡方程通過積分得到：
由于太陽大部分質(zhì)量集中在核內(nèi)，所以 Mr 約等于 Ms。但是，由于此區(qū)域物質(zhì)密度 ρ(r) 很小，導(dǎo)致整個積分結(jié)果與核層的壓強相比較起來可以忽略，因此可以選擇忽略這個壓強值。至此，壓強從中心以一個很大的有限值降到核層邊界約等于 0 值，這個陡峭的下降曲線可以近似為直線，因此可以將 Rc / 2 處的 dP / dr 近似為
其中 Pcen 表示太陽中心處的壓強。然后，半徑 Rc / 2 的球體體積是半徑為 Rc 的球體體積的 1/8，但因為太陽密度是內(nèi)大外小，所以給半徑 Rc / 2 內(nèi)的質(zhì)量一個因子 2，用 Mc / 4 來估算。然后，使用 Mc 除以核心層體積來估算半徑 Rc / 2 處的密度。最后，根據(jù)前文的假設(shè)，Mc=0.9Ms。將這些估算代入靜力平衡方程，得到
因為 Rc=Rs / 4，化簡得到：
張朝陽強調(diào)，這是一個普遍的結(jié)果，雖然這個式子來自很多假設(shè)和簡化，但是這些因素只會影響其中的系數(shù)，而恒心的中心壓強正比于質(zhì)量的平方、反比于半徑的四次方的規(guī)律，是普遍成立的。
（張朝陽估算太陽中心壓強）
張朝陽解釋，這是一個估算的結(jié)果，與實際結(jié)果可能會有差別，但量級上肯定是正確的。代入相應(yīng)數(shù)值，得到太陽的中心壓強為 0.54×10^17 Pa，相當于 5.4×10^11 個大氣壓。(注：根據(jù) Bradley W. Carroll 和 Dale A. Ostlie 著的《An Introduction to Modern Astrophysics》，太陽中心壓強為 0.23×10^17 Pa，張朝陽估算的結(jié)果和與此數(shù)據(jù)處于同一量級)
同時，前文說到使用 Mc 除以核心層體積來估算半徑 Rc / 2 處的密度，他也對此進行了計算，結(jié)果為 0.08×10^6 kg / m^3，也就是 80g 每立方厘米。張朝陽強調(diào)說，這樣只是得到一個平均值而已，也只能用來估算半徑 Rc / 2 處的密度，實際太陽中心的密度可達 150g / cm^3。
緊接著，他使用理想氣體物態(tài)方程
估算了中心溫度。其中的等效粒子質(zhì)量取為 0.85 倍的質(zhì)子質(zhì)量，最終得到 3.5×10^7 K。(注：由于前文估算的中心壓強約等于真實值的兩倍，這個溫度估算值也約等于真實值的兩倍。真實值為 1.57×10^7 K)
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