如果有人問你什么是自由，你該怎么回答？
很多人會認為：無憂無慮，想去哪里就去哪里，想在什么時間干什么就干什么，就是真正的自由。
而反過來，你的不自由具體有哪些呢？
經過深思熟慮之后會發(fā)現(xiàn)，不自由包含兩方面：
一是你的行為受到時間或空間的限制。
例如，你不能在某個時間段內干某件事，或者只能在某個時間段干某件事。
二是某種壓力或推動力令你無法停歇。
例如，作為一枚雞娃，你的父母每天都給你鼓勁，為了將來考個好大學，除了睡覺吃飯，你都在拼命學習。
若轉到物理問題，不自由的情況相應也有兩種。
第一種情況，物體的運動受到限制，或者說約束。它是通過一類叫約束力（也稱約束反力）的作用來實現(xiàn)的。
在約束力的作用下，描述物體運動的變量滿足一些方程，方程越多，解出的未知數(shù)就越多，剩下的獨立變量就越少了。
如果有 個質點，理論上講，它的每個質點的位置需要 3 個獨立坐標（ , , ）來確定，那么 個質點一共需要 個變量來描述。
假設它們一共受到 個約束，由于每個約束對應一個方程，一個方程理論上可確定一個變量，這樣就一共確定 個變量，那么最終剩下的獨立變量的個數(shù)為 我們稱這些獨立變量的個數(shù) 為體系的自由度。
例如，由 個粒子組成的體系，若粒子在振動，但整體固定不動，則自由度為 ，為什么呢？留給讀者自己想一想。
第二種情況，物體受到外力驅動，或者說受主動力作用。例如自由落體受到的重力、拖箱受到的水平拉力都是主動力。
約束力和主動力合在一起就是外力。所以，不自由的兩種情況歸根結底是一種機制所導致的，它就是外力作用。
總的說來，自由意味著不受外力，而不受外力的物體是自由的。
那么具體來講，這種不受力而導致的自由是怎樣一番圖景呢？
牛頓第一定律回答了這個問題：不受力的物體將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。
換句話說，自由的物體的將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。
但你發(fā)現(xiàn)沒有，這個自由其實有多么不自由！
試想，當我們說“一只鳥兒在空中自由的飛翔”時，難道是指它在一條直線上勻速地飛？顯然不是！我們是指它隨意地在任何地方飛，它往哪里飛都一樣可能。
因此，若是真的自由，物體應該能出現(xiàn)在空間中任何地方！這是一個沒受到牛頓第一定律影響的、具有正常邏輯思維的人對自由的直觀理解。
但牛頓第一定律給出的自由卻是：它要不呆在那里不動，要不就沿著一條直線勻速移動，只不過二選一罷了。
當然，你可能也會說，這很正常啊，自由不是絕對的，總要受到底層物理規(guī)律的約束。例如能量守恒定律、動量守恒定律和角動量守恒定律等等。
既然物體不受外力作用，那么按照動量守恒定律，它的動量不變，由于動量是矢量，動量守恒意味著運動的方向不變！所以物體只能有兩種可能的選擇：靜止或勻速直線運動。
實際上，在宏觀世界中，沒有，也不可能有破壞牛頓第一定律的事情發(fā)生，要不然，牛頓力學早就被拋棄了！
看來，宏觀世界中自由的確只能如此了！
那么，微觀世界中的自由也是如此嗎？
要知道，牛頓定律只適用于宏觀世界，對微觀粒子來說，它們服從量子力學的規(guī)律，而量子力學中并沒有與牛頓第一定律一致的說法。
那么，在微觀世界中，自由的粒子真的可以到處出現(xiàn)嗎？
答案是：真的可以！量子力學給出的結果正是如此。
雖然量子力學總是那么不可思議的違反我們的直覺，但同時，在很多問題上，它卻又與人類最一般的直覺完美符合！而自由粒子的運動規(guī)律就是其中的一個例子。
那么，具體來講，量子力學中的自由粒子到底是怎么回事呢？
在量子力學中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的。而根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，波函數(shù)的模的平方（簡稱模方）代表粒子在空間某點出現(xiàn)的概率。如果你想預測它將在哪里出現(xiàn)的機會最大，你只要按照波函數(shù)的模的平方來計算就可以了。
你只有一次機會找到它，無論你在哪里發(fā)現(xiàn)它，并不說明它是從另外某處趕過來的，因為它本來就在那里。雖然它其實也在其他的地方，但你的觀測讓它的波函數(shù)在它被發(fā)現(xiàn)的位置坍塌。
有一點值得強調的是，粒子并沒有在空間中彌散開來，它是以整體按波函數(shù)的模方決定的概率分布在空間中各處。所以當它在某處被發(fā)現(xiàn)時，它將作為一個完整的個體被獲得，擁有它的本來屬性，包括電荷、質量和自旋等。
既然是自由粒子，那么理所當然，它在空間任意點出現(xiàn)的機會是一樣的。所以，它不會停在某個地方不動，也不會沿著一條直線勻速運動，而是以相同的幾率出現(xiàn)在空間任何一點。
看到沒 —— 以相同的概率出現(xiàn)在空間任何一點！試問，世界上還有比這更完美的自由嗎？
有的人可能會有一些不切實際的“奇思妙想”，例如他覺得“隨時隨地想去哪里就去哪里，而且馬上就到”才是真正的自由。
拜托，這可不是物理中的自由！恰好相反，這根本不是自由，因為這種“來去的自由”依賴于粒子的速度（因為要快）和加速度（因為要隨時調換方向），粒子必然時刻受到強大外力的作用，怎么可能是物理上的自由呢？
在量子力學中，物理上的自由就是不受時空地限制，粒子能出現(xiàn)在所有的地方。并且再加了一個條件 —— 相同的概率！
你可能覺得這個條件是畫蛇添足，因為你可能想更多的呆在某個地方，呆在另一些地方的機會少一點，或者你甚至想隨意的改變處在某點的概率，但現(xiàn)在卻是同樣的概率，這看起來不夠自由?。?/p>
這種想法與上面那個“奇思妙想”一樣，不是物理中所說的“自由”，而是不自由。
說了這么多，你應該明白：量子力學中所給出的自由粒子所享有的自由是物理中最真正、最徹底的自由。而相比起來，牛頓第一定律中所說的那個自由不是真正的自由。
現(xiàn)在你可能有一個疑問：既然是自由粒子，它的動量守恒。那么，其動量應該始終沿某個方向，那它不一直沿著某個直線運動嗎？如果這樣的話，它哪有機會在整個空間中到處亂跑？
沒錯，自由粒子動量守恒，也就是說，粒子的動量的確是朝著某個方向。但是，這并不意味著粒子總是沿著某個方向運動！
按照量子力學的統(tǒng)計詮釋，粒子只是神不知鬼不覺的突然出現(xiàn)在你探測到它的地方，你不需要也無法知道它是從哪里過來的，因為它在不同地方出現(xiàn)的概率是同時性的。它的整體隨時可以出現(xiàn)在空間中任何一點。
所以，自由粒子并不會因為動量守恒而被限制在一個點或一條線上，它在空間各處出現(xiàn)的機會是均等的，它的狀態(tài)是一種徹底的自由狀態(tài)。
最后再來看看，滿足這種概率均勻分布特征的自由粒子的狀態(tài)描述是怎樣的？又是如何得到的？
前面提到了，量子力學用波函數(shù)描述粒子狀態(tài)，而波函數(shù)是量子力學的基本方程 —— 薛定諤方程的解。所以，我們要描述自由粒子，就必須求解薛定諤方程。
薛定諤方程的基本形式為
其中 代表來自外界的作用。既然現(xiàn)在是自由粒子，則 ，所以自由粒子滿足的薛定諤方程為 它的解是
這就是自由粒子的波函數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，在空間任意點發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度為 這說明，在任意點發(fā)現(xiàn)粒子的概率是相同的。
說明：既然是自由粒子，其所在空間是無限大的，而粒子在每個地方又具有相同的發(fā)現(xiàn)概率，那么這個概率只能為零。因此，自由粒子不可能是定態(tài)。但這不影響自由粒子在空間各處概率相等這一結論。
根據(jù)德布羅意關系式
以及 可得 這個波在 時刻的等相面為 其中 是波面上的點的位矢在波矢上的投影值。對相同的時刻 ， 是定值，說明等相面都是平面，所以自由粒子的波函數(shù)具有平面波的形式。
需要說明的是，雖然經典的平面波的波函數(shù)還可以寫成實數(shù)形式 —— 或 函數(shù)的形式，但作為含有虛數(shù) 的薛定諤方程的解，自由粒子的波函數(shù)必須是復數(shù)形式。實際上，只有這樣才能保證粒子概率均勻分布的要求，因為正弦或余弦函數(shù)的模方對空間依然是周期起伏的。
關于自由粒子的波函數(shù)的一件有意思的事情是，很多人喜歡利用自由粒子的波函數(shù)來“反推”薛定諤方程。
因為人們憑直覺相信，自由粒子的波函數(shù)應該具有平面波的形式。對此波函數(shù)求時間和空間偏導，可得到能量和動量的平方分別滿足
聯(lián)合經典力學中動量與能量之間的關系 就可得到一個等式，該式正好是自由粒子所滿足的薛定諤方程。 在此基礎上考慮到能量中應包含勢能 ，這樣就得到任意粒子所滿足的薛定諤方程了。
之所以這里用帶引號的“反推”，因為薛定諤方程現(xiàn)在被認為是量子力學的一條基本假設，是無法從別的結論推得的。也就是說，任何試圖推導薛定諤方程的做法本身是沒有意義的 —— 雖然你的確可以用這種“反推”的方法找回你大腦中遺忘的薛定諤方程。
綜上所述，關于自由的哲學觀點，量子力學比牛頓力學先進多了！
其實，豈止自由這件事，在幾乎所有方面，量子力學都比牛頓力學更先進和深刻。它被認為是人類洞察自然世界的最高成就。迄今為止，它的理論完美地描述了這個世界，雖然目前人類還無法真正理解它的本質。
參考文獻
Griffiths, David J.; Schroeter, Darrell F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics(Third ed.). Cambridge University Press.
本文來自微信公眾號：大學物理學 （ID：wuliboke），作者：薛德堡
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