我們因此看出，理想素因子揭示了復數(shù)的本質(zhì)，似乎使得它們明白易懂，并揭露了它們內(nèi)部透明的結(jié)構(gòu)?！?庫默爾
我的大多數(shù)讀者會大失所望地得知，由于這個平凡的觀察，連續(xù)的秘密就要被揭開了?！?戴德金
庫默爾
在過去 2000 年里，很少有大數(shù)學家對 "純數(shù)" 的數(shù)論作過如此的努力。原因有很多。一是數(shù)論比數(shù)學的其他各大領域更難；二是數(shù)論對科學的直接應用是很少的；三是數(shù)學家們在分析、幾何和應用數(shù)學中可以取得引人注目的成果。
現(xiàn)代算術，高斯之后始于德國人庫默爾。庫默爾的理論始于他試圖證明費馬大定理。
庫默爾 18 歲時，母親把他送進哈雷大學學神學。由于貧窮，庫默爾不能住在大學里，而是每天在家和學校之間來回奔波。當時海因里希?費迪南德?舍克在哈雷擔任數(shù)學教授。舍克對代數(shù)和數(shù)論很癡迷，他把這種癡迷傳給了庫默爾。庫默爾上大學三年級時，解決了數(shù)學中的一道難題，在 21 歲時被授予博士學位。
庫默爾是最罕見的科學天才之一，他的天才體現(xiàn)在抽象數(shù)學方面，應用數(shù)學方面以及實驗物理方面。他最杰出的成就是在數(shù)論上，在這個領域中，他深刻的獨創(chuàng)性促使他得出了一些最重要的發(fā)現(xiàn)，而在其他領域（分析、幾何、應用物理），他也做出了突出的貢獻。
算術基本定理是說，任何一個大于 1 的自然數(shù) N，如果 N 不為質(zhì)數(shù)，那么 N 可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積
數(shù)論方面，庫默爾通過代數(shù)數(shù)域重建了算術基本定理（他通過一類全新的數(shù)，即他所謂的“理想數(shù)”，完成了這一重建）。他也繼續(xù)了高斯關于雙二次互反律的工作，并尋找高于四次的互反律。
代數(shù)數(shù)域是庫默爾在證明費馬大定理和高斯割圓理論中產(chǎn)生的。
庫默爾的“理想數(shù)”現(xiàn)在已被戴德金的“理想數(shù)”所代替。通過利用他的理想數(shù)，庫默爾證明了方程
對于很廣泛的一類素數(shù) p，沒有非零整數(shù)解。他未能證明費馬定理。然而庫默爾把證明費馬大定理向前推進了一大步，遠遠超出了他所有的前輩曾經(jīng)做過的工作。
費馬大定理是說，當整數(shù) p>2 時，上述方程沒有正整數(shù)解。這里的 p 不一定是素數(shù)。
庫默爾關于費馬大定理的最后一篇論文是《關于 x^p+y^p=z^p，對于無窮多個素數(shù) p 的不可能性之費馬定理的證明》。
庫默爾有點像高斯，他對純數(shù)學和應用數(shù)學同樣喜愛。庫默爾發(fā)展了高斯關于超幾何級數(shù)的工作，極大地發(fā)展了高斯的研究，這些發(fā)展在今天的微分方程理論中十分有用。
此外，哈密頓關于射線組（在光學中）的精彩工作，鼓舞庫默爾得到了他自己的一個最好的發(fā)現(xiàn)，即以他的名字命名的四次曲面的發(fā)現(xiàn)，當歐幾里得空間是四維（而不是我們平常想象的三維）時，這種曲面在歐幾里得空間的幾何中起了重要作用，就像以直線代替點作為構(gòu)成空間的不可約元素時發(fā)生的那樣。在 19 世紀的幾何學中，這個曲面（以及它到高維空間的推廣）占據(jù)了中心位置，它可以利用四重周期函數(shù)表示。雅可比和埃爾米特為這些函數(shù)作了最重要的貢獻。
自 1934 年以來，阿瑟?愛丁頓發(fā)現(xiàn)，庫默爾的曲面與量子力學中的狄拉克波動方程有一種親緣關系（兩者有同樣的有限群，庫默爾的曲面是四維空間中的波面）。庫默爾因?qū)ι渚€組的研究而回到物理學以完成這個循環(huán)，他對大氣折射理論作出了重要貢獻。
庫默爾一生的最后 9 年是在完全退隱中度過的。當他退休時就永遠放棄了數(shù)學，除了偶爾去他少年時代生活的地方旅行。他在一次短時間患流感以后，于 1893 年 5 月 14 日去世，終年 83 歲。
戴德金
庫默爾在算術上的后繼者是尤利烏斯?威廉?里夏德?戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）。戴德金是德國最偉大的數(shù)學家和最有創(chuàng)見的人之一。當戴德金在 1916 年去世時，他已經(jīng)是遠遠超出一代人的數(shù)學大師了。正如埃德蒙?朗道說，
里夏德?戴德金不只是偉大的數(shù)學家，而且是數(shù)學史上過去和現(xiàn)在最偉大的數(shù)學家中的一個，是一個偉大時代的最后一位英雄，高斯的最后一個學生。從他的著作中，不僅我們，而且我們的老師，我們的老師的老師，都汲取了靈感。
戴德金出生于不倫瑞克，那也是高斯的誕生地。17 歲時，他已經(jīng)在物理學的所謂推理中發(fā)覺了許多可疑之處，便轉(zhuǎn)向了邏輯爭議較少的數(shù)學。1848 年他進了卡羅萊納學院（給年輕的高斯提供自學數(shù)學機會的同一所學院）。在這所學院中，戴德金掌握了解析幾何、高等代數(shù)、微積分學和高等力學的原理。他 19 歲進入哥廷根大學，主要導師是莫里茨?亞伯拉罕?斯特恩、高斯和物理學家威廉?韋伯。從這三個人手里，戴德金得到了對微積分學、高等算術原理、最小二乘法、高等測地學和實驗物理的全面而基本的訓練。
1852 年，戴德金由于一篇關于歐拉積分的短論文，從高斯手里獲得了他的博士學位（這時他 21 歲）。高斯對這篇學位論文的意見是很有意思的∶
由戴德金先生完成的這篇論文是關于積分學的研究的，它決不是平凡的東西。作者不僅顯示出他對有關領域具有豐富的知識，而且也預示著他將來的成就的獨立性。作為一篇獲得考試許可的考查文章，我認為這篇論文是完全令人滿意的。
1854 年戴德金被任命為哥廷根大學不領薪金的講師，他擔任這個職位達 4 年之久。1855 年高斯去世，狄利克雷從柏林遷往哥廷根。戴德金在哥廷根的后 3 年期間，聽了狄利克雷的最重要的講座。他還成了那時初露頭角的黎曼的朋友。1857 年，戴德金開了一門關于伽羅瓦方程理論的課，這也許是伽羅瓦理論第一次正式出現(xiàn)在大學課程中。
戴德金是最早重視在代數(shù)和算術中加入群概念的根人。在這段早期工作中，戴德金已經(jīng)展示出了他后期思想的兩個主要特征，即抽象性和普遍性。他不是在有限群的置換表示的基礎上討論群的，而是利用公設來定義群，并試圖從它們的本質(zhì)的提煉中，得到它們的性質(zhì)。
戴德金 26 歲時被任命為蘇黎士理工學院的常任教授，執(zhí)教 5 年，1862 年回到不倫瑞克工學院任教授，他在那里工作了半個世紀。戴德金在一個相對來說是低下的位置上干了 50 年，而一些還不配給他系鞋帶的人卻占據(jù)了重要的和有影響的大學席位。戴德金直到 85 歲去世（1916 年），終身未婚。
戴德金分割
戴德金的數(shù)學活動幾乎完全與最廣義的數(shù)的范疇密切相關，這里只能論述他的兩項最偉大的成就。首先我們敘述他對無理數(shù)理論，由此對對分析基礎的重要貢獻，即“戴德金分割”。
簡單地回顧一下無理數(shù)的性質(zhì)。如果 a，b 是普通整數(shù)，分數(shù) a / b 就稱作有理數(shù)；如果不存在整數(shù) m，n，使得一個確定的數(shù) N 可以表示成 m / n，那么 N 就是無理數(shù)。如果一個無理數(shù)用十進制記數(shù)法表示出來，那么它就是無限不循環(huán)小數(shù)。問題來了，如何用十進制計數(shù)法表示出無理數(shù)，使之與真正的無理數(shù)相等？戴德金對于數(shù)、有理數(shù)或無理數(shù)之間相等的定義，與歐多克斯的定義是一致的。
歐多克斯，約公元前 400 年生于奈得斯，是希臘天文學家和數(shù)學家。
如果兩個有理數(shù)相等，那么毫無疑問，它們的平方根顯然也相等。這樣，2×3 和 6 是相等的，那么
但是
這個假定的簡單等式
在學校算術中被當做理所當然的，如果我們看一下這個等式隱含著什么，它的不顯然性就很明顯了∶分別計算出 2、3 和 6 的平方根（無限不循環(huán)小數(shù)），然后把前兩個乘在一起，結(jié)果就會等于第三個平方根。由于這三個根無論計算到多少位小數(shù)，都不能精確地表示出來，因此很明顯，通過剛剛描述的乘法去證明，永遠也辦不到。
整個人類在其存在的全部過程中連續(xù)不斷地苦干，也永遠不能以這種方式證明
使“逼近”和“相等”的這些概念精確，去代替我們一開始的粗糙的無理數(shù)概念，這就是戴德金在 19 世紀 70 年代初所做的研究。他的關于連續(xù)性和無理數(shù)的著作發(fā)表于 1872 年。
戴德金的無理數(shù)理論的核心是他的“分割”或“截斷”的概念∶
一個戴德金分割將有理數(shù)分成兩個集合 A 和 B，使 A 的所有元素都小于 B 的所有元素，且 A 不包含最大元素（開集）。集合 B 在有理數(shù)中可能有最小的元素，也可能沒有。如果 B 有一個最小的元素，則分割對應于該有理數(shù)。否則，這個分割定義了一個唯一的無理數(shù)。換句話說，A 包含了小于分割的所有有理數(shù)，B 包含了大于或等于分割的所有有理數(shù)。分割處等于兩個集合中都不存在的無理數(shù)。每個實數(shù)都等于一個且只有一個有理數(shù)。
這樣，每個分割確實定義了一個無理數(shù)。從無理數(shù)的真正性質(zhì)去看，在建立一個無理數(shù)理論之前，有必要先徹底理解數(shù)學上的無窮。在戴德金的分割定義中明顯地需要無窮類，而這樣的類將導致嚴重的邏輯困難。
數(shù)學家對這些困難是否影響到數(shù)學的前后一貫的發(fā)展有不同的看法。沒有一個前后一貫的數(shù)學無窮理論，就沒有無理數(shù)理論；沒有無理數(shù)理論，就沒有與我們現(xiàn)在所有的即便稍許相似的任何形式的數(shù)學分析；最后，如果沒有分析，那么像現(xiàn)在存在的大部分數(shù)學（包括幾何和大部分應用數(shù)學），也就不復存在。
因此，數(shù)學家們所面臨的最重要的任務，看來是構(gòu)造一個令人滿意的無窮理論。康托爾嘗試了這件事，并取得了極大的成功。
代數(shù)數(shù)
戴德金對“數(shù)”的概念作出的另一個突出貢獻是在代數(shù)數(shù)方面。對于所論基本問題的性質(zhì)，我們必須提到代數(shù)數(shù)域和代數(shù)整數(shù)分解成素因子。這個問題的關鍵在于，在一些這樣的域中分解成的素因子不像在普通算術中那樣是唯一的。戴德金通過創(chuàng)立他稱為“理想”的東西，恢復了他希望得到的“唯一性”。一個理想不是一個數(shù)，而是一個數(shù)的無窮類，所以戴德金又回到了“無窮”中以克服他的困難。
理想這個概念是不難領會的，雖然有悖于常識，但常識總是要受到?jīng)_擊的。一個理想必須至少做兩件事∶它必須實際上讓普通的（有理）算術任其自然；它必須迫使代數(shù)整數(shù)遵守算術的基本定律（唯一地分解成素數(shù)）。
包含得較多的類整除包含得較少的類，這一點涉及下面的現(xiàn)象（以及它的推廣）?？紤] 2 整除 4 這一事實。代替這個明顯的事實（如果進入代數(shù)數(shù)域，它什么也得不出），我們用所有 2 的整數(shù)倍數(shù)的類代替 2。為方便起見，我們用（2）來表示這個類。同樣，用（4）表示 4 的所有整數(shù)倍數(shù)的類?，F(xiàn)在很明顯，（2）是包含得更多的類；事實上（2）包含（4）中所有的數(shù)。（2）包含（4）這一事實用符號來表示，寫成
很容易就能看出，如果 m，n 是任意普通整數(shù)，那么當且僅當 m 整除 n 時，有
這提醒我們，普通算術可除性的概念可以由（剛剛敘述的）類包含的概念來代替，但是如果這樣代替不能保持算術可除性特有的性質(zhì)，那么它就是無益的?？梢栽敿氄f明它確實保持了這些性質(zhì)，這里僅舉一個例子。如果 m 整除 n，n 整除 l，那么 m 整除 l。例如，12 整除 24，24 整除 72，12 確實整除 72。像上面那樣轉(zhuǎn)換到類，這就成為∶如果類（m）包含類（n），且如果類（n）包含類（l），那么類（m）包含類（l）。結(jié)果是，當我們加上“乘法”的定義∶（m）×（n）定義為類（mn），如（2）×（6）=（12）時，數(shù)用它們相應的類來代替，就做到了所需要的事。注意，上述乘法是定義，并不意味著可以從（m）和（n）的意義中得出。
戴德金對于代數(shù)數(shù)的理想是上述內(nèi)容的推廣。戴德金給出了一個抽象的定義，一個基于本質(zhì)屬性的定義，而不是基于表示或描述被定義事物的特定模式而下的定義。
考慮一個給定代數(shù)數(shù)域中的所有代數(shù)整數(shù)的集合（或類）。在這個包含一切的集中有一些子集。一個子集若有下面兩個性質(zhì)則被稱為一個理想。
子集中任意兩個整數(shù)的和與差仍在該子集中。
如果子集中的任何整數(shù)由在全包含集中的任何整數(shù)去乘，所得的整數(shù)仍在該子集中。
這樣，一個理想是整數(shù)的一個無窮類。可以很容易看出，根據(jù)理想的定義，前面所定義的（m），（n），…，都是理想。如果一個理想包含另一個理想，就說第一個理想整除第二個。
可以證明每一個理想都是形為
的所有整數(shù)的一個類，其中 a_1，…，a_n。是所論的 n 次域中的固定整數(shù) x_1，，x_2，…，x_n 中的每一個可以是該域中不管什么樣的任意整數(shù)。這樣，通過只寫出固定整數(shù) a_1，a_2，…，a_n，就可以方便地用符號來表示一個理想，即以（a_1，a_2，…，a_n）作為理想的符號。符號中元素的順序是不重要的。
現(xiàn)在必須給理想的“乘法”下定義∶兩個理想（a_1，…，a_n），（b_1，…，b_n）的乘積是符號為（a_1b_1，…，a_2b_2，…a_nb_n）的理想，在這個符號中出現(xiàn)由第一個符號中的一個整數(shù)與第二個符號中的一個整數(shù)相乘得到的所有可能的積 a_1b_1，等等。例如，
（對于一個 n 次域）把任何這樣的乘積符號化簡成最多含 n 個整數(shù)的符號總是可能的。
可以看到，戴德金所做的工作需要有深刻的洞察力和有天賦的頭腦，他在抽象能力方面要遠遠超出普通良好的數(shù)學頭腦。戴德金總是依靠自己的頭腦，而不是依靠巧妙的符號表示和對公式的熟練運用來使自己前進的。如果有過一個人把概念放入數(shù)學的話，戴德金就是一個，他喜愛創(chuàng)造性思想勝于喜愛枯燥無味的符號。這種智慧現(xiàn)在是明顯的。數(shù)學存在得越長久，就變得越抽象 —— 也許正因為如此，也就變得越實際。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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