發(fā)現(xiàn)非歐幾何的榮譽(yù)歸屬于兩個(gè)人∶就是匈牙利人波爾約和俄羅斯人羅巴切夫斯基。他們互相獨(dú)立地對這門學(xué)科做了非常相似的研究。特別是兩人都既在 2 維情況也在 3 維情況描述了一個(gè)異于歐幾里得幾何學(xué)。羅巴切夫斯基的結(jié)果先在 1829 年發(fā)表在一個(gè)很少為人所知的俄羅斯刊物上，1837 年又用法文發(fā)表，1840 年用德文發(fā)表，最后在 1855 年再用法文發(fā)表。波爾約則在 1831 年把自己的論文以附錄的形式發(fā)表在他父親寫的一本兩卷集的幾何書里面。
把他們的成就放在一起來講最容易。兩人都以一種新奇的方式來定義平行線如下∶給定一點(diǎn) P 和一條直線 m，則經(jīng)過 P 的直線中，有一些與 m 相交，有一些則不相交。把這兩個(gè)集合分開的有兩條過 P 的直線，它們并不怎么與 m 相交，但是這兩條直線一條從 P 向右、一條向左地任意接近于 m。它們就是下圖中的直線 n' 和 n"。
羅巴切夫斯基就把這兩條界限稱為經(jīng)過點(diǎn) P 的對直線 m 的平行線。這個(gè)定義見于他 1840 年寫的一本小冊子里。其實(shí)，這兩條界限之間的所有直線也都經(jīng)過點(diǎn) P 而與直線 m 不相交。
在這樣的討論中，仍然可以定義從點(diǎn) P 向直線 m 所作的垂線。向左和向右的兩條平行線（即 n' 和 n"）與這條垂線成等角，稱為平行角。如果此角為直角，則得歐幾里得幾何學(xué)。然而，如果它小于直角，就有可能出現(xiàn)新幾何學(xué)了。結(jié)果是這個(gè)角的大小依賴于從點(diǎn) P 到直線 m 的垂線的長度。波爾約和羅巴切夫斯基都沒有費(fèi)心思去證明平行角小于直角不會(huì)引起矛盾。相反，他們都假設(shè)不會(huì)有矛盾，然后用很大力量來從垂線的長度求平行角的大小。
他們都證明了∶給定一族（指向同一方向的）平行線，并在其中某一直線上指定一點(diǎn)，必可經(jīng)過此點(diǎn)作一條垂直于所有這些直線的曲線。
在歐幾里得幾何學(xué)中，這條曲線是一直線，它與族中所有平行線都垂直，而且通過此點(diǎn)。如果還是在歐幾里得幾何中，但取一族通過公共點(diǎn) Q 的直線，并取另一點(diǎn) P，則過 P 而與所有這些直線垂直的曲線就是以 Q 為圓心并通過 P 的圓。
波爾約和羅巴切夫斯基定義的這些曲線與上面兩種歐幾里得作圖有類似之點(diǎn)∶它正交于所有這些平行線，但它是彎曲的而不是直的。波爾約稱此曲線為 L 曲線，而羅巴切夫斯基稱之為極限圓（horocycle），這個(gè)名詞更有幫助，而且一直使用至今。
他們的復(fù)雜論證把二人引入了 3 維幾何學(xué)。在此，羅巴切夫斯基的論據(jù)比波爾約更清楚一點(diǎn)，二人都明顯超過了高斯。如果把定義極限圓的圖形繞平行線之一旋轉(zhuǎn)，這些直線就會(huì)變成 3 維空間的平行線族，而極限圓則掃出一個(gè)杯形的曲面，波爾約稱它為 F 曲面，而羅巴切夫斯基則稱它為極限球（horosphere）。他們都表明了會(huì)發(fā)生值得注意的事情。穿過極限球的平面會(huì)切出一個(gè)圓，或者切出一個(gè)極限圓，而若在極限球面上作以極限圓為邊的三角形，則三內(nèi)角之和等于兩直角。換一個(gè)說法，雖然包含極限球的空間是場合 L 的 3 維版本，所以肯定是非歐幾里得的，但是，如果限制極限球面，卻會(huì)得到 2 維的歐幾里得幾何學(xué)。
波爾約和羅巴切夫斯基也知道在他們的 3 維空間里也可以做球，而且證明了球面幾何學(xué)的公式仍然成立，而與平行線公設(shè)無關(guān)（雖然在這方面，他們不是那么有獨(dú)創(chuàng)性）。羅巴切夫斯基選擇用一個(gè)與他的平行線有關(guān)的非常聰明的做法證明了球面上的一個(gè)三角形必決定了平面上的一個(gè)三角形，而且也被此平面三角形所決定；反過來，平面上的一個(gè)三角形也決定了球面上的一個(gè)三角形，而且也被此球面三角形所決定。這意味著球面幾何學(xué)的公式必定決定了可以用于極限球面的三角形的公式。羅巴切夫斯基在檢驗(yàn)其細(xì)節(jié)時(shí)，證明了極限球面上的三角形可以用雙曲三角學(xué)的公式來描述，波爾約也多少做到了這一點(diǎn)。
球面三角形的公式依賴于所說的球的半徑。類似地，雙曲三角形的公式也必依賴于一個(gè)實(shí)參數(shù)。然而，這個(gè)參數(shù)沒有清晰的幾何解釋。雖然有這個(gè)缺點(diǎn)，這些公式有一些性質(zhì)能幫助我們再次確認(rèn)一些事情。例如，當(dāng)三角形的邊長很小的時(shí)候，它們都很接近我們熟知的平面幾何的公式，這就有助于解釋何以這些公式那么長時(shí)間都沒有被發(fā)現(xiàn) ——— 它們在空間的小區(qū)域里與歐幾里得幾何學(xué)相差極小。
可以在這個(gè)新背景下給出長度與面積的公式，這些公式表明三角形的面積正比于三角形的內(nèi)角和與兩直角之差有多少。特別是，羅巴切夫斯基感覺到接受這種新幾何學(xué)的充分的理由在于∶有這一類可信的公式存在。在他看來，所有的幾何學(xué)都是講量度的，而各個(gè)幾何定理就是要把這些量度之間的可靠的聯(lián)系用公式表示出來。他的方法既然給出了這種公式，在他看來，作為這種新幾何學(xué)存在的充分理由也就夠了。
波爾約和羅巴切夫斯基既然提出了一種新奇的 3 維幾何學(xué)，于是也就提出了一個(gè)問題∶哪一種幾何學(xué)是真的？是歐幾里得幾何學(xué)，還是其中含有參數(shù)的某個(gè)值的新幾何學(xué)，而這個(gè)參數(shù)值推測是可以通過實(shí)驗(yàn)來確定的？至此，波爾約把問題丟下來就算完了，但是羅巴切夫斯基則明確地表示，這個(gè)問題可以通過量度星座的視差來解決。在此，他也沒有成功，因?yàn)檫@個(gè)實(shí)驗(yàn)是出了名的細(xì)致。
總的說來，對于波爾約和羅巴切夫斯基的思想的反應(yīng)，在他們在世時(shí)，就是蔑視和敵意，他們本人也沒有預(yù)見到自己的發(fā)現(xiàn)最終會(huì)取得的成功。波爾約和他的父親把他們的工作寄給高斯。但是高斯在 1832 年回信則說，他不能贊揚(yáng)這一工作。因?yàn)椤百潛P(yáng)它，就是在贊揚(yáng)我自己”，（高斯的意思是說他本人早就得到了這樣的結(jié)果），這還不夠，高斯還加上了他對于小波爾約在文章開始處的結(jié)果給出了更簡單的證明。然而他說，他很高興，因?yàn)槭亲约旱睦吓笥训膬鹤映^了他。小波爾約對此勃然大怒，而且拒絕再發(fā)表自己的工作，這樣，他就剝奪了自己通過在數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表來保證自己的優(yōu)先權(quán)的機(jī)會(huì)。奇怪的是，沒有任何證據(jù)表明高斯事先就已知道年輕的匈牙利人的工作的細(xì)節(jié)。很可能是高斯看到了波爾約的論著的開頭就知道它下一步會(huì)怎么走。
對于現(xiàn)存的證據(jù)的比較寬容的解釋是∶在 19 世紀(jì) 30 年代，高斯就已經(jīng)相信，物理空間有可能用非歐幾何來描述，他肯定知道怎樣用雙曲三角形來掌握 2 維的非歐幾何（雖然他沒有留下任何詳細(xì)的討論）。但是 3 維情況首先是波爾約和羅巴切夫斯基知道，而高斯是在讀了他們的研究以后才知道的。
羅巴切夫斯基的遭遇比波爾約稍好一點(diǎn)。他的最早的文章是被奧斯特羅格拉茨基挽救了，這是一位比他地位更高的人物，而且是在圣?彼得堡的數(shù)學(xué)家，而羅巴切夫斯基則是在外省的喀山。他發(fā)表在德國的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上的文章令人傷心地又多次引用了用俄文發(fā)表的文章，此文就是由這些俄文的文章改寫的。他在 1840 年的一本小書只得到一篇書評(píng)，書評(píng)的愚蠢實(shí)在超過一般。羅巴切夫斯基把這本小書送給了高斯，高斯認(rèn)為十分出色，并且安排把羅巴切夫斯基選入哥廷根科學(xué)院。但是，高斯的熱情也就到此為止，以后羅巴切夫斯基再也沒有得到過高斯的支持。
對于重大發(fā)現(xiàn)的如此可怕的回應(yīng)，自然引起了各個(gè)層次上的分析。應(yīng)該說，這兩人所依賴的平行線的定義，就其實(shí)際狀況來說都是不充分的，但是對他們的工作的批評(píng)并不在此，而是輕蔑地把他們打發(fā)了，好像他們是不言而喻地就是錯(cuò)了，錯(cuò)到根本不值得花功夫來找出其中一定會(huì)有的錯(cuò)誤，錯(cuò)到正當(dāng)?shù)幕貞?yīng)就只應(yīng)該是把嘲笑堆在作者頭上，或者置之不理，不加評(píng)論。倒是可以借此來衡量歐幾里得幾何學(xué)對當(dāng)時(shí)的人們的思想掌控的程度，甚至哥白尼學(xué)說和伽利略的發(fā)現(xiàn)，從當(dāng)時(shí)的專家那里，也得到了更好的待遇。
本文來自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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