邁向數(shù)學(xué)的統(tǒng)一

本文來自微信公眾號(hào)：返樸 （ID：fanpu2019），作者：夏爾?埃雷斯曼（Charles Ehresmann），翻譯：葉凌遠(yuǎn)

譯者按

在常人眼中，數(shù)學(xué)結(jié)論經(jīng)常被認(rèn)為是永恒的真理，但數(shù)學(xué)不是由一成不變的定理所構(gòu)成的；它也不僅僅產(chǎn)生了大量習(xí)題，在其他科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用而已。數(shù)學(xué)是一門生動(dòng)的科學(xué)，在持續(xù)不斷地向前快速發(fā)展。我們所處的年代正是數(shù)學(xué)極速擴(kuò)張的時(shí)代；并且現(xiàn)在，也有一股重要的力量推動(dòng)著數(shù)學(xué)邁向統(tǒng)一。

同樣的發(fā)展導(dǎo)致了新文學(xué)的出現(xiàn) —— 小說不必再有情節(jié)；誕生了抽象音樂，有時(shí)是由計(jì)算機(jī)譜寫；還有抽象的雕塑和繪畫，它們并不旨在呈現(xiàn)真實(shí)事物的一般表象。這種同樣的抽象過程也發(fā)展出了一種新的數(shù)學(xué)，其動(dòng)機(jī)不在于尋找可能的應(yīng)用，而是基于我們一種強(qiáng)烈的愿望 —— 希望知曉每一個(gè)問題的本質(zhì)和它所依賴的整體結(jié)構(gòu)。這種一致并不令人驚訝，畢竟數(shù)學(xué)與藝術(shù)非常相似：數(shù)學(xué)理論不僅需要嚴(yán)格性，還要滿足我們對(duì)簡(jiǎn)潔、和諧和美的追求；一個(gè)優(yōu)美的理論和一件藝術(shù)品一樣，它們都是人類靈感的創(chuàng)造。

對(duì)于那些數(shù)學(xué)家中的柏拉圖主義者，他們工作的動(dòng)機(jī)是要尋找給定情景下真實(shí)的結(jié)構(gòu)，以及這些結(jié)構(gòu)的抽象表示。對(duì)更務(wù)實(shí)的數(shù)學(xué)家來說，他努力的目標(biāo)是用他所掌握的一切手段去解決純數(shù)學(xué)或應(yīng)用數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的預(yù)先給定的問題；在此過程中，他會(huì)盡可能避免引入新的一般概念。而所有數(shù)學(xué)家都會(huì)認(rèn)同的是，如果一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作能夠激發(fā)新的研究產(chǎn)生，那么它在數(shù)學(xué)中的價(jià)值就能得到最好的證明；數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用恰恰應(yīng)是數(shù)學(xué)本身。

直到最近，大多數(shù)哲學(xué)家，甚至柏格森 [1]，都把數(shù)學(xué)說成是一門與日常空間中的數(shù)與量有關(guān)的科學(xué)。這個(gè)描述或多或少對(duì)應(yīng)著古希臘的數(shù)學(xué)，但現(xiàn)代數(shù)學(xué)已不再是如此了。

對(duì)希臘人來說，數(shù)學(xué)代表著算數(shù)（Arithmetics）和幾何學(xué)（Geometry）。前者是關(guān)于自然數(shù)的科學(xué)，后者研究的是日?？臻g中圖形的形狀和幾何量的比例。盡管他們的幾何學(xué)是一個(gè)公理化的體系，但他們認(rèn)為這些公理是被“證據(jù)”所強(qiáng)加的。事實(shí)上，他們?cè)谕评碇兴[含的假設(shè)比明確說明的公理更多。令人驚訝的是，他們從未引入實(shí)數(shù)的概念，盡管歐多克索斯 [2] 的比例論與 20 多個(gè)世紀(jì)后由戴得金 [3] 給出的實(shí)數(shù)定義沒有本質(zhì)上的區(qū)別。這種把以前已知的某一類對(duì)象 —— 在這里則是一類有理數(shù) —— 作為一個(gè)新的對(duì)象的抽象過程，對(duì)他們的思想來說是完全陌生的。即使是開創(chuàng)了諸如靜力學(xué)（Statics）和流體力學(xué)（Hydrodynamics）等新領(lǐng)域并為積分理論開辟道路的阿基米德，也不愿意抽象地定義實(shí)數(shù)。在他之后，創(chuàng)造的沖動(dòng)似乎被耗盡了，而數(shù)學(xué)在整個(gè)中世紀(jì)都處于沉睡之中。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的復(fù)興還要?dú)w功于 16 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家引入的新數(shù)字，包括負(fù)數(shù)和虛數(shù)，以及同一時(shí)期韋達(dá) [4] 所引入的代數(shù)符號(hào)。希臘人也有一種基于幾何的代數(shù)，但他們沒有引入任何代數(shù)符號(hào)，導(dǎo)致他們的作品難以閱讀。

笛卡爾和費(fèi)馬也為數(shù)學(xué)帶來了新的推動(dòng)力，他們創(chuàng)立的解析幾何統(tǒng)一了代數(shù)和幾何。盡管曲線切線的定義問題，以及如何尋找一條曲線的切線等問題已經(jīng)在非常特殊的情況下得到解決（例如阿基米德的螺旋線），但現(xiàn)在我們可以用一種有效的方式對(duì)它們進(jìn)行研究，這也直接導(dǎo)致牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分。萊布尼茨似乎已經(jīng)猜到了許多未來數(shù)學(xué)的發(fā)展。他不僅明確地將函數(shù)作為對(duì)象引入數(shù)學(xué)，從而為泛函分析奠定基礎(chǔ)；而且在他尚未實(shí)現(xiàn)的通用表意文字（universal characteristics）理論中 [5]，他夢(mèng)想著揭示所有事物的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并構(gòu)造一種普世的算法來進(jìn)行表達(dá)和推理。因此，他不滿足于笛卡爾的解析幾何學(xué)，因?yàn)樗蕾囉谧鴺?biāo)系的選取?；蛟S是在困惑中，他預(yù)見到了幾何學(xué)必定擁有一種內(nèi)蘊(yùn)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，而線性代數(shù)和格拉斯曼代數(shù)可以說部分地實(shí)現(xiàn)了他的這個(gè)夢(mèng)想。不幸的是，他所處的時(shí)代并不能接受他過于超前的思想，他沒有足夠的追隨者來發(fā)展他所設(shè)想的道路。不過他在微積分方面的工作被廣泛地采用了，特別是他所創(chuàng)立的微分和積分的符號(hào)。而微積分也在很長一段時(shí)間內(nèi)成為數(shù)學(xué)的一個(gè)主要的領(lǐng)域。

19 世紀(jì)由羅巴切夫斯基和亞諾什 [6] 分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的非歐幾里得幾何學(xué)是另一進(jìn)步。截止那時(shí)，古典時(shí)代為數(shù)學(xué)所設(shè)下的所有界限都被打破了：（歐幾里得）幾何學(xué)不再是由感知經(jīng)驗(yàn)所強(qiáng)加給我們的，其所依賴的是人類基于公理的創(chuàng)造；我們可以設(shè)想不同的公理系統(tǒng)來研究不同的幾何學(xué)?？档滤鶑?qiáng)調(diào)的我們對(duì)于空間概念的“先驗(yàn)性（a priori）”由此變得過時(shí)了 [7]。那么，幾何學(xué)的本質(zhì)到底是什么？在當(dāng)時(shí)，人們將一個(gè)具有傳遞性群作用的空間作為幾何的統(tǒng)一性概念，例如歐幾里得空間的傳遞群作用事實(shí)上就是歐幾里得平移變換。因此，幾何學(xué)成為一個(gè)群作用的不變量和共變體的理論。但實(shí)際上，這個(gè)定義只適用于齊性空間中的幾何學(xué)，而其他類型的幾何已被發(fā)現(xiàn)，人們感到有必要對(duì)幾何和空間的概念進(jìn)行另外的概括。這最終導(dǎo)致了拓?fù)淇臻g的定義，它是回答所有關(guān)于連續(xù)性、極限和近似問題的恰當(dāng)語境，也使得分析和幾何領(lǐng)域中許多共同的結(jié)構(gòu)得以顯現(xiàn)。

在同一時(shí)期，康托爾 [8] 的集合理論出現(xiàn)了，并愈發(fā)成為所有數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一的基礎(chǔ)理論。這是數(shù)學(xué)中一種新的抽象方式。如康托爾所說，從那時(shí)開始“數(shù)學(xué)的發(fā)展就是完全自由的了”，集合論中的概念“只要求不矛盾，并與之前引入的概念通過精確的定義相聯(lián)系即可”。盡管不久之后，人們發(fā)現(xiàn)了一些危及康托爾集合理論的悖論，從而危及整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，但康托爾的杰作開啟了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維之路。

自本世紀(jì)初以來 [9]，數(shù)學(xué)理論中創(chuàng)造的自由使得人們?cè)诩仙峡紤]了許多新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。除了各種類型的代數(shù)結(jié)構(gòu)（如群、環(huán)、域、半群、模、代數(shù)、李代數(shù)等），還有許多測(cè)度和概率模型結(jié)構(gòu)以及對(duì)各種各樣的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的精細(xì)化：均勻結(jié)構(gòu)、度量空間、拓?fù)淞餍?、具有各種微分結(jié)構(gòu)的可微或分析流形，如黎曼流形及其上的聯(lián)絡(luò)、代數(shù)流形等?？紤]同一集合上的不同結(jié)構(gòu)可以構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象，如李群、拓?fù)湎蛄靠臻g、巴拿赫空間、希爾伯特空間、賦范代數(shù)，等等。這些結(jié)構(gòu)的引入主要是為了滿足純數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，而一旦它們被更多的人所了解，它們?cè)谄渌I(lǐng)域的應(yīng)用自然會(huì)越來越多，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論的人也會(huì)越來越多。

在引入所有這些不同類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之后，人們深切地感受到了統(tǒng)一的必要性；經(jīng)過一段快速擴(kuò)張的時(shí)期，如果沒有一種統(tǒng)一的理論將各個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系起來，那么一個(gè)無法阻擋的趨勢(shì)便是，不同的數(shù)學(xué)家們將和巴別塔的建造者們一樣，使用不同的、不相容的數(shù)學(xué)語言發(fā)展各自的領(lǐng)域。

考慮到這些理論的相似性，我們可以通過對(duì)結(jié)構(gòu)這一概念，或者更確切地說，集合上某一特定種類的結(jié)構(gòu)的一般性定義得到某種統(tǒng)一。這一思想是由布爾巴基學(xué)派 [10] 發(fā)展而來，也是他們編撰的系列教材《數(shù)學(xué)原本》（éléments de mathématique）中內(nèi)容順序的編排基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)研究的最開始就被廣泛考慮的整數(shù)和歐幾里得空間這兩種結(jié)構(gòu)，一旦被公理化地定義，就非常確定地對(duì)應(yīng)著集合上某一種結(jié)構(gòu)，即所有滿足此類結(jié)構(gòu)的對(duì)象都是同構(gòu)的。但現(xiàn)代數(shù)學(xué)所引入的集合上的不同結(jié)構(gòu)類別（例如群或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）并不具有這種唯一性。

集合上一般結(jié)構(gòu)的理論可以用范疇和函子的概念來進(jìn)行更加普遍的公理化，而范疇論的發(fā)展似乎是當(dāng)今數(shù)學(xué)最具特色的一種統(tǒng)一的趨勢(shì)；基于此，我認(rèn)為它很快就會(huì)像其他基礎(chǔ)領(lǐng)域一樣，如線性代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)，在大學(xué)早期就被教授。[11]

一個(gè)范疇是由一族元素和在它們之上部分定義的復(fù)合操作所構(gòu)成的 [12]，同時(shí)復(fù)合需要滿足一定的規(guī)則（公理）。例如，每一個(gè)群都是一個(gè)特殊的范疇，復(fù)合操作和群的乘法一致，這使得其中每個(gè)元素在這個(gè)復(fù)合操作下都是可逆的，且只有一個(gè)單位元；但最典型的例子還是所有集合間的函數(shù)所構(gòu)成的范疇，其中的一個(gè)元素是兩個(gè)集合之間的一個(gè)映射，復(fù)合操作則和通常函數(shù)之間的復(fù)合相一致。抽象范疇的公理化正是基于這個(gè)由集合之間的映射構(gòu)成的范疇所提出的。我們把范疇中一個(gè)元素叫作一個(gè)態(tài)射，而不稱其為函數(shù)，可以將其想象為從一個(gè)物體（態(tài)射的源）到另一個(gè)物體（態(tài)射的靶）的一個(gè)箭頭。因此，范疇論中態(tài)射的一般概念是函數(shù)概念的推廣，而函數(shù)被戴德金認(rèn)為是數(shù)學(xué)的基本工具。

函子是范疇之間保持復(fù)合操作的映射。它們?cè)俅螛?gòu)成了一個(gè)范疇，即函子的范疇。對(duì)于我們通常所考慮的集合上附加的某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它們之間的同態(tài)也構(gòu)成一個(gè)范疇。對(duì)于所有的這些范疇都可以自然地定義一個(gè)函子，映射到之前所述的集合之間的函數(shù)所構(gòu)成的范疇 [13]；這通常被稱為遺忘函子（forgetful functor），即在這個(gè)函子的作用下我們忘記了集合上其它的結(jié)構(gòu)，僅僅保留了最基本集合的信息。例如，所有拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射構(gòu)成的范疇，亦或是所有群同態(tài)所構(gòu)成的范疇，都有如上所述的遺忘函子。

現(xiàn)在，我們可以更抽象地考慮從范疇 H 到范疇 C 的任意一個(gè)函子 p。根據(jù)上面的討論，在這個(gè)語境下，我們則可以將 H 的任意一個(gè)物體 S 看作是相對(duì)于函子 p 的一個(gè)結(jié)構(gòu)，或更確切地說是 C 范疇中的物體 p (S) 上的一個(gè) p-結(jié)構(gòu)。因此，H 可以看作是 C 上的 p-結(jié)構(gòu)所構(gòu)成的范疇。令人驚訝的是，許多有關(guān)集合上某種特定結(jié)構(gòu)的理論和構(gòu)造可以被如上所述有關(guān) p-結(jié)構(gòu)的一般理論所統(tǒng)一起來。我們可以在這個(gè)框架下定義子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)、自由結(jié)構(gòu)、笛卡爾積、一族物體的和，或更為廣泛的任意一個(gè)函子的極限和余極限，等等。目前我相信，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)研究將會(huì)更少地關(guān)心單個(gè) p-結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，甚至也不會(huì)那么關(guān)心某一個(gè)函子 p 的性質(zhì)；相反，現(xiàn)在數(shù)學(xué)的目標(biāo)應(yīng)該是研究某一族函子的性質(zhì)，使得曾經(jīng)對(duì)于某一特定函子 p 和其對(duì)應(yīng)的 p-結(jié)構(gòu)成立的定理，現(xiàn)在對(duì)于這一族中任意的函子都成立。一旦理解了這個(gè)定理有效的真正原因，我們一般會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有很少的一些條件（假設(shè)）是證明這個(gè)定理所真正必要的。因此，原來定理的證明如今可以推廣到一類非常廣泛的函子上，而不僅僅只對(duì)原本的 p 函子適用。特別地，這個(gè)定理可能會(huì)包含許多已知的函子，從而應(yīng)用于我們從未想過的領(lǐng)域。例如，有關(guān)拓?fù)淇臻g的緊致化，均勻空間的完備化，自由群、自由模或更一般的由一個(gè)集合生成的自由代數(shù)的構(gòu)造，都可以看作是某一類抽象的函子自由結(jié)構(gòu)存在性定理的推論。

當(dāng)然，上述對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一的方案過于粗略。事實(shí)上，只有數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造力才能持續(xù)地發(fā)現(xiàn)新的有趣的函子類。如我們所見，在數(shù)學(xué)中，創(chuàng)造過程的一個(gè)特點(diǎn)是把以前定義的一類對(duì)象作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象來加以認(rèn)識(shí)。當(dāng)我們開始研究不同函子的分類及其性質(zhì)來梳理統(tǒng)一現(xiàn)有的數(shù)學(xué)理論時(shí)，我們是否在這個(gè)更高的層次面臨著相同的問題？一旦這個(gè)新理論走向成熟且再次變得復(fù)雜、糾纏不清，我們是否有必要發(fā)展更高程度的統(tǒng)一理論？我們不試圖回答這個(gè)問題。然而，我們愈發(fā)深刻地認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)是一個(gè)永不會(huì)完成的創(chuàng)造過程，它的存在性并不需要通過它的重要性或是不斷擴(kuò)大的應(yīng)用范圍來證明；它的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不僅是充當(dāng)“物理學(xué)的推土機(jī)”。數(shù)學(xué)是理解整個(gè)宇宙的關(guān)鍵，統(tǒng)一了人類從科學(xué)到哲學(xué)到形而上學(xué)的所有的思維。因此，柏拉圖和萊布尼茨的偉大理想，即讓數(shù)學(xué)成為一切知識(shí)本質(zhì)的理想，可能終將實(shí)現(xiàn)。

注釋

• [1] 亨利?柏格森 (Henri Bergson, 1859-1941)，法國哲學(xué)家，文學(xué)家，于 1927 年憑借豐富、富有活力的思想和語言獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)（譯者注；全文所有的腳注均為譯者所加，后不再一一指明）。

• [2] 歐多克索斯（Eudoxus，408 B.C.–355 B.C. ），古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，歐幾里得《幾何原本》中的許多內(nèi)容很有可能是來源于歐多克索斯，一些人認(rèn)為他是古希臘最杰出的數(shù)學(xué)家。

• [3] 里查德?戴得金（Richard Dedekind，1831-1916），德國數(shù)學(xué)家，在數(shù)論、抽象代數(shù)（特別是環(huán)論）以及算數(shù)的公理化等領(lǐng)域作出非常重要的貢獻(xiàn)。

• [4] 弗朗索瓦?韋達(dá)（Fran?ois Viète，1540-1603），法國數(shù)學(xué)家，初高中生們熟悉的韋達(dá)定理就來源于他。

• [5] 通用表意文字 （拉丁語為 characteristica universalis），是萊布尼茨所設(shè)想的一種通用的形式化語言，該語言能夠表達(dá)數(shù)學(xué)、科學(xué)以及形而上學(xué)等方面的概念，并支持一種通用的邏輯演算。

• [6] 尼古拉?羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792-1856 ），俄國數(shù)學(xué)家；鮑耶?亞諾什（János Bolyai, 1802-1860），匈牙利數(shù)學(xué)家，他們和高斯生活在同一時(shí)代。兩人均獨(dú)立的為非歐幾何，特別是雙曲幾何，作出了重要貢獻(xiàn)。

• [7] 康德認(rèn)為人類對(duì)時(shí)間和空間的認(rèn)識(shí)不是通過概念化（conceptualisation）的方式完成的，它們是我們感觀直覺的純粹形式（pure form of sensible intuition）。非常粗略地來說，前者涉及知性（understanding）的運(yùn)作，而后者形成的知識(shí)則是先驗(yàn)的。

• [8] 格奧爾格?康托爾（Georg Cantor，1845-1918），是出生于俄國的德國數(shù)學(xué)家，創(chuàng)立了現(xiàn)代集合論，是實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義及整個(gè)微積分體系的理論基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（foundation of mathematics）作出了杰出的貢獻(xiàn)。

• [9] 這里指本文成文的時(shí)間，即 20 世紀(jì)。

• [10] 尼古拉?布爾巴基（Nicolas Bourbaki）是 20 世紀(jì)一群法國數(shù)學(xué)家的共同筆名，他們自 1935 年開始撰寫一系列關(guān)于現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的書籍，以把所有數(shù)學(xué)建立在集合論堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上為目的。在這個(gè)過程中，他們致力于將數(shù)學(xué)概念盡可能地普遍化和嚴(yán)謹(jǐn)化，對(duì) 20 世紀(jì)之后的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。

• [11] 范疇論最早起源于 1945 年 Eilenberg 和 MacLane 的題為 General Theory of Natural Equivalences 的論文，在隨后的幾十年內(nèi)作為一門數(shù)學(xué)語言和工具迅速地參與到各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展之中。遺憾的是，本文作者埃雷斯曼的這一猜測(cè)直到多年后的今天也沒能在大多數(shù)的大學(xué)內(nèi)成為現(xiàn)實(shí)。

• [12] 在現(xiàn)代的范疇論語言中，一般把范疇定義為兩種類別的元素，即物體和它們之間的態(tài)射，所構(gòu)成的數(shù)學(xué)對(duì)象；但也可以僅僅將一個(gè)范疇理解為一族態(tài)射加上上面部分定義的復(fù)合操作，因?yàn)榉懂犞械奈矬w和單位態(tài)射是一一對(duì)應(yīng)的。換句話說，態(tài)射的信息包含了物體的信息。本文對(duì)范疇所采取的是后一種理解。

• [13] 即把一個(gè)同態(tài)看作是其對(duì)應(yīng)的集合之間的函數(shù)。

本文譯自 Ehresmann Charles. "Trends toward unity in mathematics." Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 8 (1966): 1-7.

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