引言
面、邊和頂點的數(shù)量不是獨立的，而是以一種簡單的方式聯(lián)系在一起的。它使用最早的拓撲不變量的例子來區(qū)分具有不同拓撲結(jié)構(gòu)的固體。純數(shù)學中最重要和最強大的領(lǐng)域之一 —— 拓撲學，是研究幾何物體在連續(xù)變形后不變的性質(zhì)。它幫助我們理解酶如何作用于細胞中的 DNA，以及為什么天體的運動可以是混亂的。
歐拉立方體
當 19 世紀接近尾聲時，數(shù)學家們開始發(fā)展一種新的幾何，在這種幾何中，長度和角度等熟悉的概念不再是關(guān)鍵，三角形、正方形和圓也沒有區(qū)別。最初它被稱為位置分析，但數(shù)學家們很快找到了另一個名字：拓撲。
笛卡爾在 1639 年思考歐幾里得的五個正多面體時注意到了拓撲。笛卡爾因此把注意力轉(zhuǎn)向了正立方體，也就是在這個時候，他注意到了關(guān)于正立方體的數(shù)字規(guī)律。一個立方體有 6 個面，12 條邊和 8 個頂點：
一個十二面體有 12 個面，30 條邊和 20 個頂點：
一個二十面體有 20 個面，30 條邊和 12 個頂點；20 - 30 + 12 的和等于 2。同樣的關(guān)系適用于四面體和八面體。事實上，它適用于任何形狀的固體，規(guī)則的或不規(guī)則的。如果立體有 F 個面，E 條邊，V 個頂點，那么：
笛卡爾認為這個公式只是一個小小的發(fā)現(xiàn)，并沒有發(fā)表。直到很久以后，數(shù)學家們才把這個簡單的方程式看作是邁向拓撲學的第一步。在 19 世紀，純數(shù)學的三大支柱是代數(shù)、分析和幾何。到了 20 世紀末，變成了代數(shù)、分析和拓撲學。拓撲學通常被描述為“橡皮泥幾何”，線條可以彎曲、收縮或拉伸，而圓形可以被擠壓，從而變成三角形或正方形，重要的是要保持連續(xù)性。連續(xù)性是自然世界的一個基本方面，也是數(shù)學的一個基本特征。今天，我們主要是間接地使用拓撲。量子場論和標志性分子 DNA 的一些性質(zhì)需要通過拓撲來理解。
歐拉在 1750 年和 1751 年證明并發(fā)表了這一關(guān)系。F - E + V 的表達式看起來相當隨意，但它有一個非常有趣的結(jié)構(gòu)。面 (F) 是二維多邊形；邊 (E) 是線，是一維；頂點 (V) 是點，是 0 維。表達式 + F-E+V 中“+”表示偶數(shù)維，“-”表示奇數(shù)維。這意味著可以通過合并面或刪除邊和頂點來簡化實體，這些變化不會改變 F - E + V 的結(jié)果。
現(xiàn)在，我來解釋一下。如圖所示：
首先，把固體變成一個圓球，它的邊就是球上的曲線。如果兩個面共邊，然后你可以刪除這條邊并將這兩個面合并成一個。因為這個合并使 F 和 E 都減少了 1，它不會改變 F - E + V 的結(jié)果。一直這樣做，直到得到一個面，它幾乎覆蓋了整個球面（除了這個面，只剩下邊和頂點）。它們必須形成一個沒有閉合環(huán)的網(wǎng)絡，因為球面上的任何閉合環(huán)都至少分開兩個面：一個在閉合環(huán)內(nèi)部，另一個在閉合環(huán)外部。
這個過程會一直持續(xù)下去，直到只剩下一個頂點在一個沒有任何特征的球體上?，F(xiàn)在 V =1，E = 0，F(xiàn) =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2。但由于每一步 F - E + V 不變，它一開始的值也一定是 2，這就是我們想要證明的。
這個證明有兩個成分。一個是簡化過程：刪除一個面和一個相鄰的邊，或者刪除一個頂點和一個與之相交的邊。另一個是不變式，即無論何時執(zhí)行簡化過程中的某一步，它都保持不變的數(shù)學表達式。只要這兩種成分同時存在，就可以通過盡可能地簡化任何初始對象的不變式的值，然后計算這個簡化版本的不變式的值。因為它是一個不變量，所以這兩個值必須相等。因為最終結(jié)果很簡單，所以不變量很容易計算。
事實上，笛卡爾的公式并不適用于任何固體。最常見的不適用的固體是相框。想象一個由木頭制成的四邊相框，每條邊的橫截面都是矩形，在四個角上用 45° 的斜面連接起來，如下圖所示。每條邊的木頭貢獻 4 個面，所以 F = 16。每條木頭也貢獻了 4 條邊，但是斜接在每個角上創(chuàng)造了 4 條邊，所以 E = 32。每個角包含 4 個頂點，所以 V = 16。因此 F - E + V =0。
問題出在哪里？
F - E + V 不變性是沒有問題的。簡化過程也沒有問題。但如果你對框架進行處理，總是在一條邊上消去一個面，或者在一條邊上消去一個頂點，那么最終的簡化構(gòu)型就不是單個頂點在單個面上了。如上圖的右圖：F =1, V =1, E =2。在這個階段，移除一條邊只是將剩下的唯一一個面與它本身合并，所以對數(shù)字的更改不再抵消。這就是我們停下來的原因，但我們還是得到了答案：對于這個構(gòu)型，F(xiàn) - E + V = 0。因此，該方法執(zhí)行得很完美。它只是對相框產(chǎn)生了不同的結(jié)果。相框和立方體之間一定有一些基本的區(qū)別，不變量 F - E + V 將其體現(xiàn)了出來。
前面，我告訴過你把固體“變形成一個圓球”。但這對相框來說是不可能的。即使經(jīng)過簡化，它的形狀也不像一個球體。它是一個環(huán)面，看起來像一個輪胎，中間有個洞。然而，F(xiàn)-E + V 仍然是不變的。這個證明告訴我們，任何可變形為環(huán)面的固體都滿足稍微不同的方程：F - E +V = 0。因此，我們有了嚴格證明環(huán)面不能變形為球體的基礎(chǔ)，也就是說，這兩個表面在拓撲結(jié)構(gòu)上是不同的。
當然這在直覺上是顯而易見的，但現(xiàn)在我們可以用邏輯來支持直覺。正如歐幾里得從點和線的明顯性質(zhì)出發(fā)，并將它們形式化為嚴格的幾何理論一樣，19 世紀和 20 世紀的數(shù)學家發(fā)展出了嚴格形式的拓撲理論。
像環(huán)面這樣的實體，有兩個或更多的孔，如圖上圖所示。結(jié)果表明，任何可變形為 2 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = - 2，任何可變形為 3 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = - 4，一般而言，任何可變形為 g 孔環(huán)面的固體滿足 F - E + V = 2- 2g。
沿著笛卡爾和歐拉的思路，我們發(fā)現(xiàn)了固體的數(shù)量性質(zhì)（面、頂點和邊的數(shù)量）和具有孔的性質(zhì)之間的聯(lián)系。我們稱 F - E + V 為立方體的歐拉示性數(shù)。
我們計算孔的數(shù)量，這是一種定量操作，但“孔”本身是定性的，因為它根本不是固體的特征。直覺上，它是空間中的一個區(qū)域而固體不是。事實上，你越開始思考孔（洞）是什么，你就越會意識到定義一個洞是相當棘手的，比如下圖：
這是我最喜歡的一個例子，它被稱為“孔中之孔”，顯然你可以把一個洞穿過另一個洞。
情況變得越來越復雜。到了 19 世紀末，它們在數(shù)學中隨處可見 —— 在復分析、代數(shù)幾何和黎曼微分幾何中。更糟糕的是，在純數(shù)學和應用數(shù)學的所有領(lǐng)域中，高維的固體類似物占據(jù)了中心地位。太陽系的動力學需要每一個物體有 6 個維度。它們有更高維度的孔類似物。無論如何，有必要給這個新的領(lǐng)域帶來一點秩序。答案是：不變量。
拓撲不變量的思想可以追溯到高斯關(guān)于磁性的研究。他對磁力線和電力線如何相互連接感興趣，他定義了連接數(shù)，即一個磁力線繞另一個磁力線的次數(shù)。這是一個拓撲不變量：如果曲線連續(xù)變形，它保持不變。高斯的學生約翰?李斯特和高斯的助手奧古斯特?莫比烏斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在 1847 年的“拓撲研究”中引入了“拓撲”這個詞，而莫比烏斯則明確了連續(xù)變形的作用。
李斯特想尋求歐拉公式的推廣。表達式 F- E + V 是一個組合不變式。孔的數(shù)量 g 是一個拓撲不變量：無論固體如何變形，只要變形是連續(xù)的，它都不會改變。拓撲不變量捕捉形狀的定性概念特征；組合函數(shù)提供了一種計算方法。這兩者結(jié)合起來是非常強大的，因為我們可以用概念不變量來考慮形狀，用組合不變量來確定我們要討論的內(nèi)容。
事實上，這個公式讓我們完全避開了定義“洞”這個棘手的問題。相反，我們將“洞數(shù)”定義為一個包，既不定義洞也不計算有多少個洞。具體怎么做？就是把歐拉公式 F - E + V = 2-2g 改寫成這種形式：
現(xiàn)在我們可以通過在立體上“畫面”來計算 g，計算 F，E 和 V，然后把這些值代入公式。因為表達式是一個不變量，所以不管我們?nèi)绾畏指顚嶓w，總是得到相同的答案。但我們所做的一切都不依賴于洞的定義。相反，“洞數(shù)”變成了一種直觀的解釋。
這對拓撲學的一個核心問題有重大的突破：什么時候一個形狀可以連續(xù)變形成另一個形狀？也就是說，就拓撲學家而言，這兩個形狀是否相同？如果它們是一樣的，它們的不變量也一定是一樣的；反之，如果不變量不同，形狀也會不同。由于球面具有歐拉示性數(shù) 2，而環(huán)面具有歐拉示性數(shù) 0，因此無法將球面連續(xù)變形為環(huán)面。
不太明顯的是，歐拉示性數(shù)表明這個令人費解“孔中之孔”實際上只是一個偽裝的三孔環(huán)面。大多數(shù)表面的復雜性并不是來自于表面的固有拓撲結(jié)構(gòu)，而是來自于我選擇將其嵌入空間的方式。
拓撲學中第一個真正重要的定理產(chǎn)生于歐拉示性數(shù)公式。它是曲面的一個完整分類，曲面的二維形狀，像球面或環(huán)面。此外，還強加了一些技術(shù)條件：表面應該沒有邊界，而且范圍應該是有限的（術(shù)語是“緊湊”）。
為了這個目的，表面被本質(zhì)地描述了；也就是說，它并不存在于周圍的空間中。一種方法是把這個表面看成是許多多邊形區(qū)域，它們按照特定的規(guī)則沿著邊緣粘在一起。
粘合邊界的可能性導致了一個相當奇怪的現(xiàn)象：只有一面的表面。最著名的例子是莫比烏斯的帶，這是一個矩形帶，其兩端以 180° 的旋轉(zhuǎn)粘在一起。莫比烏斯帶只有一條邊，因為矩形的兩條分開的邊通過半扭的方式連在一起。
我們可以很容易做出一個莫比烏斯帶，因為它可以很自然地嵌入三維空間。這個帶只有一面，也就是說，如果你開始畫它的一個表面，然后繼續(xù)畫下去，你最終會覆蓋整個表面，前面和后面。
這是因為半扭轉(zhuǎn)連接了前面和后面。這不是一個固有的描述，因為它依賴于把帶嵌入空間，還有一個等價的，更專業(yè)的特性，叫做可定向性，這是固有的。
如果我們把一個矩形的兩條邊粘在一起，就像一個莫比烏斯帶，然后把另外兩條邊粘在一起，不需要任何扭曲。這個表面被描繪成這樣一個交叉，它看起來就像一個瓶子的脖子戳過側(cè)壁，并連接到底部。它是由克萊因發(fā)明的，被稱為克萊因瓶。
克萊因瓶沒有邊界且緊湊，因此任何表面分類都必須包括它。它是所有單面曲面家族中最有名的。
在數(shù)學的許多領(lǐng)域中，曲面是自然出現(xiàn)的。它們在復分析中很重要，在復分析中，曲面與奇點有關(guān)，在這些奇點上函數(shù)表現(xiàn)異常 —— 例如，導數(shù)不存在。奇異性是復分析中許多問題的關(guān)鍵。由于奇異性與曲面有關(guān)，曲面的拓撲結(jié)構(gòu)為復變分析提供了一種重要的技術(shù)。
大多數(shù)現(xiàn)代拓撲都是高度抽象的，很多拓撲都發(fā)生在四維或多維空間中。我們可以在更熟悉的環(huán)境中對主題有一種感覺：扭結(jié)。在現(xiàn)實世界中，結(jié)是用一根繩子打結(jié)而成的。拓撲學家們需要一種方法來防止繩結(jié)脫離繩結(jié)的末端，因此他們將繩結(jié)的末端連接在一起，形成一個閉合的環(huán)。一個結(jié)就是嵌在空間中的一個圓。從本質(zhì)上講，結(jié)與圓的拓撲結(jié)構(gòu)是相同的，但在這種情況下，重要的是圓在周圍空間中的位置。這似乎與拓撲學的精神相違背，但結(jié)的本質(zhì)在于弦環(huán)和圍繞它的空間之間的關(guān)系。通過不僅僅考慮環(huán)路，而且考慮它與空間的關(guān)系，拓撲學可以解決關(guān)于結(jié)點的重要問題。其中包括：
我們怎么知道一個結(jié)真的打了？
我們?nèi)绾螀^(qū)分拓撲上不同的結(jié)？換句話說，兩個紐結(jié)能否從一個光滑地形變到另一 個，而不必切開紐結(jié)自身，這仍然被認為是一個復雜的數(shù)學問題。紐結(jié)不變量是幫助解 答這個問題的有力工具，我們接下來會介紹。
我們能對所有可能的結(jié)進行分類嗎？
蘇格蘭理論物理學家 Peter Tait 用多年時間研究出最早的紐結(jié)分類表。1910 年馬克 思?德恩引進了紐結(jié)群的概念。1928 年詹姆斯?瓦德?亞歷山大引進了紐結(jié)多項式這個更容易處理的不變量。這些都是紐結(jié)理論發(fā)展 之路上重要的進步。
大約在 1960 年以后，結(jié)論進入了拓撲學的低潮，等待著創(chuàng)造性的洞見。1984 年，新西蘭數(shù)學家沃恩?瓊斯發(fā)明了新的紐結(jié)不變量，稱為瓊斯多項式，也使用紐結(jié)圖和三種移動類型來定義。然而，這些移動并不保留結(jié)的拓撲類型。然而，令人驚訝的是，這個想法仍然是可行的，而且瓊斯多項式是一個結(jié)不變量。
瓊斯的發(fā)現(xiàn)為他贏得了菲爾茲獎。它也引發(fā)了新的結(jié)不變量的爆發(fā)。1985 年，四組不同的數(shù)學家（8 個人），同時發(fā)現(xiàn)了瓊斯多項式的相同推廣，并各自向同一份雜志提交了論文。這四種證明都是不同的，編輯說服這八名作者聯(lián)合起來發(fā)表一篇聯(lián)合文章。它們的不變量通常被稱為 HOMFLY 多項式（基于名字的首字母）。但即使是瓊斯多項式和 HOMFLY 多項式也沒有完全回答結(jié)理論的三個問題。對所有可能的結(jié)進行系統(tǒng)的分類仍然是數(shù)學家的白日夢。
拓撲有很多用途，但它們通常是間接的。例如，我們對混沌的理解是建立在動力系統(tǒng)的拓撲特性的基礎(chǔ)上的。
更深奧的拓撲學應用出現(xiàn)在基礎(chǔ)物理學的前沿。在這里，拓撲的主要“消費者”是量子場理論學家，因為超弦理論，即量子力學和相對論的統(tǒng)一理論，是基于拓撲的。在這里，類似的瓊斯多項式在結(jié)理論出現(xiàn)在費曼圖的背景下，它顯示了量子粒子，如電子和光子如何通過時空移動，碰撞，合并和分裂。費曼圖有點像結(jié)圖。
對我來說，拓撲學最吸引人的應用之一是它在生物學上越來越多的應用，幫助我們理解生命分子 DNA 的工作方式。是因為 DNA 是雙螺旋結(jié)構(gòu)，就像兩個相互纏繞的螺旋樓梯。這兩條鏈錯綜復雜地交織在一起，重要的生物過程，特別是細胞分裂時復制 DNA 的方式，必須考慮到這種復雜的拓撲結(jié)構(gòu)。
有些酶，稱為重組酶，切斷兩條 DNA 鏈，然后以不同的方式重新連接。為了確定這種酶在細胞中的作用，生物學家將這種酶應用到 DNA 的閉合環(huán)上。然后，他們用電子顯微鏡觀察修改后的環(huán)的形狀。如果酶將不同的鏈連接在一起，圖像就是一個結(jié)：
如果酶使這些鏈分開，圖像顯示出兩個相連的環(huán)。紐結(jié)理論的方法，如瓊斯多項式和另一種被稱為“纏結(jié)”的理論，使研究結(jié)和連接發(fā)生成為可能，這提供了關(guān)于酶作用的詳細信息。
總的來說，你不會在日常生活中遇到拓撲。但在幕后，拓撲學貫穿了整個主流數(shù)學，使其他具有更明顯實際用途的技術(shù)得以發(fā)展。這就是為什么數(shù)學家們認為拓撲學非常重要，而數(shù)學之外的人卻幾乎沒有聽說過它。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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