“人類生活在十維的宇宙中。”
這可不是什么《三體》看上頭后的狂言，而是出自丘成桐之口。
這位數(shù)學(xué)最高獎 —— 菲爾茲獎首位華人得主，曾在公開演講中談到：
人類生活在十維的宇宙中，但只有四維時空可見，剩下的六維空間蜷縮在一個幾何結(jié)構(gòu)特異的空間中。
沒想到，這個看上去玄乎又難以理解的概念，會被世界級數(shù)學(xué)家肯定。
但實際上，弦論的支持者們始終認(rèn)為平行宇宙必定具有十個維度，并一直力求證明其存在。
對，就是 Sheldon 癡迷的那個弦論。
而更讓人意想不到的是，正是丘成桐 27 歲時的成名之作，成為了弦論學(xué)者篤信十維空間的關(guān)鍵論據(jù)之一。
1985 年，物理學(xué)家坎德拉斯、霍洛維茨等人合著論文《超弦的真空結(jié)構(gòu)》指出，多出來的六個維度，必須隱藏于卡拉比-丘流形之中。
隱藏六維的空間
事情還要從愛因斯坦的廣義相對論說起。
基于黎曼幾何這種包含彎曲空間的幾何學(xué)，愛因斯坦成功把重力理論和狹義相對論統(tǒng)一了起來，完成了著名的廣義相對論。
也就是說，廣義相對論這顆明星，正是幾何學(xué)和物理學(xué)的一個閃亮交點。
愛因斯坦本人就這樣解釋道：
這套理論指出重力場由物質(zhì)的分布決定，并隨之而演化，正如黎曼所猜測的那樣，空間并不是絕對的，它的結(jié)構(gòu)與物理不能分割。我們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足。
這顆明星，自然而然吸引了專注于幾何學(xué)的青年丘成桐的注意。
上世紀(jì) 70 年代，在研究愛因斯坦方程組時，丘成桐開始思考一個問題：
能否找到一個真空，即沒有物質(zhì)的時空，但其曲率并不平凡，即其重力非零。
并且這個時空光滑不帶奇點，是緊致而封閉的。
其實，這就是幾何學(xué)家卡拉比在 1954 年提出的卡拉比猜想：在封閉的空間，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場？
卡拉比猜想不僅指出封閉而具有重力的真空存在，而且還給出了系統(tǒng)地大量構(gòu)造這類空間的途徑。
但在這一猜想提出的 22 年間，包括卡拉比自己在內(nèi)，沒有人能夠證明它是否正確。
直到 1976 年，時年 27 歲的丘成桐一舉實現(xiàn)突破，證明卡拉比猜想成立，自此名動世界。
這一成果讓他在 1982 年成為數(shù)學(xué)界最高獎菲爾茲獎首位華人得主。
也正是卡拉比猜想的證明，帶來了“超弦理論的基石”—— 卡拉比-丘流形。
具體而言，丘成桐在證明猜想的過程中，構(gòu)建出了不帶物質(zhì)的凱勒流形。也就是卡拉比-丘流形（又稱卡拉比-丘空間）。
1984 年，丘成桐接到了物理學(xué)家加里?霍洛維茨（Gary Horowitz）和安迪?斯特魯明格（Andy Strominger）的電話。
他們兩人都是弦論的支持者。這里所說的弦論指的是“超弦理論”，其基本假設(shè)包括，所有基本粒子都是由不斷振動的弦線組成，時空具有超對稱性，并且是十維的。
他們告訴丘成桐，他們正在研究三維空間和時間之外，弦論中另外六個維度存在的形式。
具體而言，他們需要找到一種具有超對稱性的流形，并且根據(jù)弦理論，這個流形不帶任何物質(zhì)分布，是真空的。
丘成桐回復(fù)說：
這些流形（卡拉比-丘流形）在維數(shù)等于 6 時，確實能滿足弦理論的要求。
次年，霍洛維茨、斯特魯明格，以及另外兩位物理學(xué)家坎德拉斯（Philip Candelas）和威滕（Edward Witten）合作發(fā)表了論文《超弦的真空結(jié)構(gòu)》。
這篇文章指出，多出來的六個維度，必須隱藏于卡拉比-丘流形之中。此六維獨立于四維時空的每一個點。
更重要的是，如丘成桐本人所說：
（弦論）進一步指出卡拉比-丘空間的幾何，決定了這個宇宙的性質(zhì)和物理定律。
哪種粒子能夠存在，質(zhì)量是多少，它們?nèi)绾蜗嗷プ饔?，甚至自然界的一些常?shù)，都取決于卡拉比-丘空間。
物理學(xué)家布萊恩?格林（Brian Greene）也說：
宇宙的密碼，也許就刻在卡拉比-丘空間的幾何之中。
最初打算找到卡拉比猜想的反例
鮮為人知的是，丘成桐最初了解到卡拉比猜想時，是想證明其所描述的空間并不存在。
理由很簡單：
這個猜想不僅指出封閉而具有重力的真空的存在性，還給出系統(tǒng)地大量構(gòu)造這類空間的途徑，大家都認(rèn)為世間哪有這樣便宜的東西可撿！
當(dāng)時，不少幾何學(xué)家都在質(zhì)疑卡拉比猜想的，不過還沒有人能給出反例。
根據(jù)猜想定義，一個第一陳類為 0 的緊致 n 維凱勒流形上應(yīng)該有一個里奇平坦的度量。
只要找出一個這樣的流形上，不存在里奇平坦度量，猜想即可被推翻。
丘成桐花了差不多 3 年時間，來找尋這種反例。
1973 年，他終于得出了成果，并在出席國際幾何會議期間，將此消息告訴了幾位朋友。
消息一下子傳了開來，引發(fā)圈內(nèi)震動，以至于他被要求在當(dāng)天晚上對自己的成果另作報告。
丘成桐回憶，那晚有三十多位幾何學(xué)家聚在數(shù)學(xué)大樓的三樓，其中包括卡拉比、陳省身和其他知名學(xué)者。
他把自己如何構(gòu)造出這一反例說了一遍，大家似乎都非常滿意，卡拉比本人甚至還為這一構(gòu)造給出了一個解釋。
陳省身則在大會閉幕時拉著丘成桐說，這個反例或許可被視為整個大會最好的成果。
要知道，卡拉比猜想中涉及到的“陳類”概念，便是因陳省身而得名。
丘成桐描述自己當(dāng)時的心情：“既意外，又感到興奮不已?！?/p>
但反轉(zhuǎn)卻來得很快。
僅僅過去兩個月后，卡拉比致信丘成桐，希望他能為自己解釋反例中一些沒有弄清楚的問題。
看到這封信，丘成桐馬上明白，自己出錯了。
在他的自述中提到，自此之后兩個星期，他不眠不休，希望能重新構(gòu)造一個反例。
身心差不多要垮掉。
可是真理總愛捉弄人，每當(dāng)他似乎找到一個理想中的反例時，總是瞬間有推翻它的理由出現(xiàn)。
如此經(jīng)歷數(shù)次后，丘成桐選擇 180 度調(diào)轉(zhuǎn)研究方向，開始證明卡拉比猜想。
終于在 1976 年，卡拉比-丘空間和世人見面，轟動數(shù)學(xué)界，并為之后超弦理論的物理應(yīng)用、“超弦熱”奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
而順著這條研究路線，丘成桐之后還進一步論證了鏡像對稱猜想。
鏡對稱是指兩個具有不同拓撲的卡拉比-丘空間，看起來甚至沒什么共通點，但卻擁有相同的物理定律。
最初是物理學(xué)家菲利普?坎德拉斯等人發(fā)現(xiàn)了這一問題，并從物理角度證明鏡像對稱可用于計算卡拉比-丘空間上有理曲線的數(shù)目。
丘成桐形容，鏡對稱是對偶性的一個重要例子。
它就像一面窗，讓我們窺見卡拉比-丘流形的隱秘。
實際上，很多在卡拉比-丘空間上要解決的難題，如果放到鏡像上考慮，問題往往迎刃而解。
1996 年，丘成桐和前文提到的斯特魯明格，以及埃里克?扎斯洛（Eric Zaslow）共同提出 SYZ 猜想，這是理解鏡對稱猜想的一次嘗試。
SYZ 猜想提出，六維卡拉比-丘空間本質(zhì)上可以分成兩個三維空間，其中之一是三維環(huán)面。如果模仿把半徑 r 變成 1 / r 的操作，把這些三維環(huán)面“翻轉(zhuǎn)”，并與另一個三維空間結(jié)合起來，就會得到原卡拉比-丘空間的鏡伴。
緊接著 1997 年，丘成桐和連文豪、劉克峰合作（與 Givental 同時），用局部化技巧完全證明關(guān)于卡拉比-丘空間上有理曲線計數(shù)的鏡猜想。
值得一提的是，其中連文豪是美國布蘭迪斯大學(xué)教授，于 2013 年獲陳省身獎。
劉克峰曾于 1998 年獲得斯隆獎。
正是他與丘成桐一起，發(fā)起創(chuàng)建了丘成桐數(shù)學(xué)英才班、創(chuàng)辦丘成桐中學(xué)數(shù)學(xué)論文獎和丘成桐大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽。
他現(xiàn)任美國加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)中心執(zhí)行主任。
One More Thing
在丘成桐的自傳中曾提到，由于卡拉比-丘空間流傳甚廣，甚至他自己有時都會產(chǎn)生錯覺：
卡拉比是否也是我的名字？
的確，從坎德拉斯等人在 30 年前將卡拉比-丘連接起來后，這個組合詞的意義有時已經(jīng)超出了數(shù)學(xué)物理范圍。
比如伍迪?艾倫 2003 年在《紐約客》上發(fā)表的故事，里面提到一位女士的微笑，“向上彎成卡拉比-丘的形狀”。
對此，丘成桐并不介意“卡拉比”是否會被混淆為他的名字。他覺得，很榮幸能和卡拉比一起并稱。
而另一位主人公卡拉比也曾說道：
我很高興我的名字和丘永遠連在一起。
參考鏈接：
[1] 丘成桐《我們真的活在十維時空里嗎？》：https://web.math.sinica.edu.tw/ math_media / d354/35401.pdf
[2] 丘成桐《我的幾何人生：丘成桐自傳》
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi%E2%80%93Yau_manifold
[4]https://www.um.edu.mo/zh-hant/news-and-press-releases/presss-release/detail/18478/
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