本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：姬揚
無理數(shù)是不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，似乎有些“不講道理”。很多無理數(shù)可以通過基礎(chǔ)運算變成有理數(shù)或整數(shù)，而有些則無論怎樣努力都不能變“完整”。本文介紹一個無理數(shù)，它本身即為三個無理數(shù)的組合，研究人員通過一個復雜的公式運算也只能得到它的近似值。但更重要的是，我們可以通過手機計算器來驗證！
撰文 | 姬揚（中國科學院半導體研究所）
我們都知道，無理數(shù)（irrational number）“不講理”。按整數(shù)標準，它們大多身形殘缺，但是它們中間有很多數(shù)很有理想，總是想追求完整：有的是靠自己，有的是靠同志。
比如說，
是無理數(shù)，可能也是無理數(shù)，但是就是整數(shù)了，而且它很“2”。
再比如說，自然常數(shù) e 和圓周率 π 都是無理數(shù)，但是只需要一個虛數(shù)的幫助，它們就可以變成整數(shù)：eiπ=-1；結(jié)果是個負整數(shù)，它還不夠“2”，否則就會有 e2iπ=1。
當然，不是所有的努力都能夠功德完滿。自然常數(shù) e、圓周率 π 和 163 的平方根（），它們也努力過追求完整，可惜就差了那么一點點，很小的一點點。
多小的一點點呢？
它跟整數(shù)的差別在于小數(shù)點后第 13 位，也就是說，小數(shù)點后經(jīng)過了 12 個 9，才變成了 2。
為什么這樣呢？這里面有一套很復雜的數(shù)學理論，我也看不懂，但是可以引用一個公式：
它是否正確，我們可以用計算器檢驗一下。
手機的計算器很強大，特別是它的科學計算器模式。例如它可以輕松地把圓周率 π 的值算到小數(shù)點后一百位。
為了便于大家親自檢驗，我會介紹詳細的操作過程。首先，打開手機自帶的計算器（我的手機是華為 P30），它有兩個模式 —— 豎版的“標準計算器”和橫版的“科學計算器”，可以任意地選擇切換。
進入“科學計算器”，就自動切換到橫版，上方是兩行的顯示屏，下方是鍵盤。按“π”鍵，π 就出現(xiàn)在顯示屏的第一行，同時在第二行顯示出它的數(shù)值，“3.1415...1971”。這一行可以顯示 42 個數(shù)字或字符。通過觸屏操作，我們可以對數(shù)字進行復制粘貼操作。
現(xiàn)在，我們來驗證手機自帶的 π 究竟算到了多少位。用 π 減去剛才得到的 42 位數(shù)字，即“π-3.1415…1971”。
繼續(xù)同樣的操作，可以得到更多的位數(shù)。
從菜單里選擇“歷史紀錄”，可以找到以前做的計算，比如說我剛做的把 π 算到 100 位。
算得對不對呢，我從網(wǎng)上找了 π 值小數(shù)點后 200 位，如下：
π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。
跟上面的圖片對照一下就可以看到，手機計算器的結(jié)果有 115 位小數(shù)，全部正確。使用這一方法顯然還可以算更多位，但是究竟能算多少位，我沒有試驗，畢竟用手機操作復制和粘貼太麻煩了。
值得一提的是，這個表現(xiàn)比我的 PC 電腦系統(tǒng)附帶的計算器厲害。利用類似的操作，PC 系統(tǒng)的計算器可以得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第 41-50 位應該是 6939937510），從小數(shù)點后第 47 位開始就錯了。
網(wǎng)上的 π 值就一定正確嗎？它可能是正確的，也有可能手機計算器特地保留了 π 的很多位數(shù)，也許藏在哪里備用呢。
接下來，讓我們算算 —— 想必這個數(shù)是不會預存的。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩個計算器的表現(xiàn)還是不一樣。仔細觀察可以看出，兩部計算器的第一次計算結(jié)果應是相同的：計算機的結(jié)果最后的 4 位數(shù)字是 9871；而手機對應的位置是 9870，其后面還有 9 個數(shù)字“892347382”。當用電腦計算器做減法后，得到的結(jié)果是“-1.076524...”，前面還有一個負號。考慮到負號，這兩個計算結(jié)果一直到我們手機顯示的倒數(shù)第三位，也就是 3（手機計算）和 4（電腦計算），這里確實有差別。我覺得，相比于電腦，我們還是相信手機好了，畢竟它給出的位數(shù)更多，而且計算的 π 值也跟網(wǎng)上的結(jié)果一樣。
電腦計算器計算-12.767…781（的 30 位小數(shù)近似值）的結(jié)果。
手機計算器計算的結(jié)果，有 39 位小數(shù)。
最后，我們算一算。先把前面的公式再復習一遍：
我用手機自帶的科學計算器做了幾個不同的計算，分別是直接計算的值（用前文的方法）和用公式近似計算，結(jié)果如下：
①直接計算，得到 18 位整數(shù)和 23 位小數(shù)：最開始的 12 個小數(shù)都是 9，第 13 個是 2。
②計算公式的一級近似，也就是第一項的貢獻。
③計算公式的二級近似，也就是前兩項的貢獻。
④計算公式的三級近似，也就是前三項的貢獻。
⑤第二次直接計算，這次算的是減去 18 位整數(shù)和小數(shù)點后的 12 個 9。
⑥第三次直接計算，這次算的是減去第一次直接計算得到的結(jié)果，也就是 18 位整數(shù)和小數(shù)點后的 23 位小數(shù)。
⑦第四次直接計算，減去第一次直接計算和第三次直接計算的結(jié)果，得到了小數(shù)點以后的 99 位小數(shù)。
簡單分析可以得出：直接計算（①）最簡單也最粗糙，但是已經(jīng)得到了 e、π 和這三個無理數(shù)合作追求完整的全過程；公式?jīng)]有告訴整數(shù)是多少（這個很容易算的），但是給出了更多更精確的小數(shù)位（②、③、④）；計算器比這個公式的前三項還要強大（⑤和⑥），甚至能夠計算到小數(shù)點后 99 位（⑦）。用兩種計算的結(jié)果（用公式計算和直接計算）符合得很好，因此我們相信手機計算的結(jié)果是正確的。
我也用電腦的計算器算過，雖然也能見證它們仨追求完整的過程，但是在小數(shù)點后幾十的地方，仍然給出了不同的結(jié)果。
最后再談談這個公式。非常接近整數(shù)這件事，在一些講計算數(shù)學的書里提到過，有時候用作例子說明計算的精度和穩(wěn)定性。然而，關(guān)于它為什么這么接近整數(shù)，講得就很少了。而且基本上都是先說，這個道理給普通人是講不明白的，因為要涉及橢圓曲線、模形式以及其他一些理論。
我找到了一篇介紹性的文章 [1]，看得一頭霧水，但也不是沒有收獲。除了找到前面用的那個公式以外，我還發(fā)現(xiàn) —— 可能大家也都知道 —— 數(shù)學家的數(shù)學雖然很好，但是他們算術(shù)不一定強，經(jīng)常會搞錯個符號之類的。正如文中所示，作者在歡呼成功之前的最后兩行公式中“196884”前面的符號不一樣，肯定有一個是錯的 —— 而且我肯定，是最后那行里的錯了。
“大行不拘細謹，大禮不辭小讓?！边B數(shù)學家都不免犯錯，三個努力追求完整的無理數(shù)最后沒有取得特別完滿的結(jié)果，也就不那么令人意外了。
的各種近似值，最后一個有 99 位小數(shù)。
參考文獻
[1] https://www.isibang.ac.in/~sury/episq163.pdf
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