在數(shù)學(xué)王國中，有 5 個(gè)數(shù)非常重要，它們所包含的內(nèi)容和所承擔(dān)的作用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)值的本身，因而比一般數(shù)字顯得更為神秘，這 5 個(gè)數(shù)就是 0、1、π、i 和 e。
像 π 一樣，e 也是一個(gè)無理數(shù)。它的數(shù)值是 e=2.718281828459… 無限而不循環(huán)。
在一開始，它偶然出現(xiàn)在計(jì)算結(jié)果里，但隨著科學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn) e 的用處很多，特別是如果以它為“底”取自然對(duì)數(shù)時(shí)，可以使很多的算式得到簡化，到了后來，它的應(yīng)用就更加廣泛了?？梢哉f，e 包羅萬象！
真正把 e 引入到數(shù)學(xué)研究中來的是瑞士數(shù)學(xué)家雅各?伯努利。
1654 年 12 月 27 日（這是出生時(shí)的舊歷，如果按新歷算應(yīng)為 1655 年 1 月 6 日）雅各布?伯努利出生于瑞士巴塞爾的一個(gè)商人家庭。
在科學(xué)史上，伯努利這個(gè)家族可真稱得上是學(xué)者云集。祖孫三代中，出了 8 位世界級(jí)的著名數(shù)學(xué)家。在這 8 人中，還兼有物理學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家。
他們的成果包括：無限級(jí)數(shù)計(jì)算、微積分和微分方程運(yùn)算的開創(chuàng)者，統(tǒng)計(jì)學(xué)概率論的開拓者、“大數(shù)定律”的創(chuàng)建者，在無限不確定性抉擇難題中，那個(gè)令人頭疼的“圣?彼得堡悖論”的提出者、流體力學(xué)“伯努利定理”的創(chuàng)建者，曲線研究的著名學(xué)者等。
自青少年起，雅各就對(duì)數(shù)學(xué)和天文學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。1676—1682 年這 6 年間，為學(xué)習(xí)當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的數(shù)學(xué)和科學(xué)，他游學(xué)于整個(gè)歐洲，先后跟隨羅伯特?波義耳和羅伯特?胡克、克里斯蒂安?惠更斯、笛卡爾等多位大師從學(xué)，精讀了弗蘭斯?萬?叔本華、伊薩克?巴羅和約翰?瓦利斯的論文和著作。
1687 年，雅各擔(dān)任巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，以后終生工作在這里。1685 年，雅各出版了邏輯學(xué)和概率學(xué)的書，1687 年，又出版了一本幾何學(xué)，在這部書中，他證明了任意三角形可以被兩個(gè)彼此垂直的線分割成面積相等的 4 塊。1682 年和 1704 年，雅各共發(fā)表了 5 篇關(guān)于無限數(shù)列研究的論文，1689 年又發(fā)表了最重要的無限級(jí)數(shù)研究成果以及統(tǒng)計(jì)學(xué)中的大數(shù)定理等。
1683 年在研究無限級(jí)數(shù)時(shí)，雅各曾討論過一個(gè)有趣的“復(fù)利”問題，竟然從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)了 e！
復(fù)利問題本是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ龅降氖?，例如存入銀行一筆錢，到期以后，本金加利息一并變成新的本金按原來的利息接著續(xù)存，這就叫 “復(fù)計(jì)利息”，簡稱“復(fù)利”。一般人可能以為，照這樣存法，無限地存下去，盈利會(huì)越來越高，以致達(dá)到無窮。
但經(jīng)雅各計(jì)算，情況卻并非如此。他把這個(gè)問題編寫成一個(gè)無限級(jí)數(shù)，從中證明出，如果當(dāng)初存入的錢數(shù)是 1，當(dāng)存的次數(shù)無限多時(shí)，盈利的總和竟然趨向一個(gè)有限的值，而這個(gè)值就是 e! 1690 年，伯努利把這個(gè)結(jié)果發(fā)表在他的系列論文中。
此后很多年的 1731 年 11 月 25 日，大數(shù)學(xué)家里昂哈德?歐拉在寫給數(shù)學(xué)家克里斯蒂安?哥德巴赫的信中談到了 e 這個(gè)數(shù)，并給它起了個(gè)名字，叫它“自然數(shù)”，并把它作為對(duì)數(shù)的“底”取對(duì)數(shù)，從此有了自然對(duì)數(shù)。e 公開出現(xiàn)是 1736 年歐拉發(fā)表在《力學(xué)》雜志上的一篇論文里，在此以后，e 開始在數(shù)學(xué)上有了自己的位置，并作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)常數(shù)被引用起來。
令雅各驚訝的是，e 這個(gè)奇特的數(shù)不只出現(xiàn)在他所計(jì)算的“復(fù)利”中，還屢屢地出現(xiàn)在其他無限級(jí)數(shù)求和，例如∑(1 / n)、∑(1 / n 的 2 次方) 的級(jí)數(shù)求和中；此外在概率的計(jì)算中，雅各還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)無限級(jí)數(shù)求和的值是 e 的倒數(shù)；接著在一個(gè)被稱作“帽子保管問題”的無限級(jí)數(shù)求和中，這個(gè) e 值又再次出現(xiàn)了。
“帽子保管”問題曾是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界都感興趣的話題，由于引入了 e 值，使得雅各最終把它計(jì)算出來。這個(gè)問題非常有趣，它說的是，有很多客人被邀請(qǐng)去參加一個(gè)聚會(huì)，每個(gè)人進(jìn)屋前都要把帽子交給看門人，由他把帽子放到各自的箱子里。本來在每個(gè)箱子上都標(biāo)好了客人的名字，帽子應(yīng)該對(duì)號(hào)入座，但是這位看門人并不認(rèn)識(shí)這些客人，他放帽子的時(shí)候就隨意亂放，并沒有按照名字放到該放的箱子里。
于是，問題就出現(xiàn)了，取帽子的時(shí)候，所有客人最多需要選多少次，才能把各自的帽子找出來呢？當(dāng)然，第一位取帽子的人是最困難的。這也是一個(gè)級(jí)數(shù)求和的問題。當(dāng)客人數(shù)趨于無限大時(shí)，在雅各的計(jì)算結(jié)果中，驚現(xiàn)出了 e。接著，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算中，他再次發(fā)現(xiàn)了 e 值。在雅各數(shù)學(xué)研究的后期，他非常喜歡研究各種曲線，包括拋物線、雙曲線和螺旋線等。研究雙曲線函數(shù) y=1 / x 時(shí)，在計(jì)算曲線下所包含的面積時(shí)，又與 e 值相遇。
后來雅各研究螺旋線，再一次與 e 不期而遇。螺旋線有 5 種形式，對(duì)數(shù)螺旋、阿基米德螺旋、連鎖螺旋、雙曲螺旋和回旋螺旋，其中對(duì)數(shù)螺旋是自然界中最普遍存在的。在研究對(duì)數(shù)螺旋線時(shí)，雅各發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，對(duì)數(shù)螺旋線的漸近線也是對(duì)數(shù)螺旋線，而在對(duì)數(shù)螺旋線各點(diǎn)切線的極點(diǎn)也構(gòu)成了對(duì)數(shù)螺旋線，在一種螺旋結(jié)構(gòu)中，居然蘊(yùn)含著多個(gè)層次的螺旋結(jié)構(gòu)，這一絕妙特點(diǎn)，使他驚嘆不已！
對(duì)數(shù)螺旋線也深受藝術(shù)家們寵愛。英國著名畫家和藝術(shù)理論家荷迦茲曾深切感到，逐漸向中心收縮的螺旋形有其難以言表的美！
螺旋線常出現(xiàn)在名畫中或先人留下來的壁畫中，它們代表了先人對(duì)整個(gè)宇宙的想象，也宣示了心中對(duì)美的感受，而主導(dǎo)螺旋線形體的正是 e! 看來人類對(duì)螺旋線的寵愛有其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原因。
在生物學(xué)中，海螺殼的結(jié)構(gòu)、向日葵種子的排序、人的指紋和發(fā)旋都呈現(xiàn)出螺旋的特點(diǎn)。
作為生命現(xiàn)象基礎(chǔ)物質(zhì)的蛋白質(zhì)，在參與生命體的整個(gè)過程中，它的功能如此高效，其奧秘也與它的螺旋結(jié)構(gòu)有關(guān)。蛋白質(zhì)的多肽鏈條就是螺旋狀的，決定遺傳的物質(zhì) —— 核酸結(jié)構(gòu)也是螺旋狀的，而這些螺旋結(jié)構(gòu)中的奧秘都是由 e 在左右著。
e 同樣出現(xiàn)在物理學(xué)中，在不知不覺中掌控著自然命運(yùn)的熱力學(xué)第二定律中存在著 e；在自然界中，從螺旋星云和螺旋星系、臺(tái)風(fēng)颶風(fēng)的氣流形，到一縷青煙裊裊上升、老鷹在空中翱翔，都有 e 的存在；當(dāng)一首樂曲聽起來很美時(shí)，仔細(xì)研究，也能從節(jié)律中找到 e；樂音為人所寵愛，而“樂音”產(chǎn)生的空氣振動(dòng)也是一種螺旋尾跡；甚至人類經(jīng)過漫長歲月的進(jìn)化，其聽覺器官內(nèi)耳的結(jié)構(gòu)也是螺旋狀。
似乎 e 包羅世界萬象，無所不在。在人類所寵愛的核心中總是 e 在起著作用。盡管所在的處所不同，卻殊途同歸地都與這個(gè)自然數(shù) e 掛上了鉤。
1690 年，在雅各剛引入 e 時(shí)，他對(duì) e 的估計(jì)值僅到小數(shù)點(diǎn)后面的第一位；到了 1748 年，歐拉使用這個(gè)值時(shí)，它已經(jīng)精確到了小數(shù)點(diǎn)后的第 23 位；1949 年，美國物理學(xué)家約翰?馮?諾依曼，利用計(jì)算機(jī)，把 e 計(jì)算到了小數(shù)點(diǎn)后第 2010 位；到了 2010 年 7 月 5 日，e 向世人現(xiàn)出了更為清晰的面貌，到達(dá)了小數(shù)點(diǎn)后的第 1 000 000 000 000 位！有一點(diǎn)可以肯定，無論經(jīng)過怎樣的艱苦努力，人類也不可能看到它的“真值”?？磥?，自然界之所以不可能完全清晰地顯現(xiàn)出它的真實(shí)面貌，其內(nèi)在原因之一就蘊(yùn)含在像自然數(shù) e 和 π 這樣的無理數(shù)中，這就是大自然的神秘所在！
在雅各的一生中，他最為摯愛的就是對(duì)數(shù)螺旋線，他認(rèn)為這是最具有魔力、也是最令人向往的神秘圖線，他要求把這個(gè)曲線鐫刻在他的墓碑上，并用拉丁語注明他的愿望：“我將變成相同的樣式復(fù)現(xiàn)而出?！?/p>
雅各的“靈魂”伴隨著 e，隱身在他所寵愛的雙曲螺旋中！
本文來自微信公眾號(hào)：原點(diǎn)閱讀 （ID：tupydread），作者：魏鳳文、武軼，編輯：張潤昕
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