原文標題：《“你的折紙技術(shù)是數(shù)學老師教的吧？”》
大家小時候都玩過折紙吧？
今天就來跟大家分享一下我們從小玩到大的折紙中蘊含的數(shù)學故事。
一起折個五角星吧！
雖說我們中國人對五角星懷有特殊的感情，但人類對五角星的喜愛，卻沒有明顯的界線。早在公元前的古希臘，人們便深為五角星的魅力所吸引。那不是一般的五角星，是畢達哥拉斯信徒們俱樂部的徽章！
圖中的象征性數(shù)字，及如同現(xiàn)代立交橋那般的立體線條，使人們似乎感覺到一種無窮的運動，周期為 5，循環(huán)反復，永不休止!
不少讀者在孩提時代，便已學會了用折紙的辦法來剪五角星。下圖直觀地表現(xiàn)了這一折法的過程，各位小伙伴可以自己拿一張紙來試一試。
最后一剪似乎帶有隨意性，因而剪出的圖形嚴格講只能說是“五角星形”，而未必是正五角星。
折紙藝術(shù)貌似簡單，但卻包含著深刻的科學道理。折紙的方法也不是單一的。
就以折正五角星來說，人們完全不必用上面那樣繁雜的折疊首發(fā)！實際上只要打 一個普通的結(jié)就足夠了！所用的道具只是一條長長的紙帶。
并不是所有的人都知道，我們天天司空見慣的打結(jié)動作，實際上正在創(chuàng)造一個又一個優(yōu)美的正五角星。
靠“折”出來的拋物線
可能會有人以為，折紙只能折出直線的圖形，因為折痕無論如何只能是直的。其實，這是一種誤解！
足夠多的直的折痕，有時也能圍出優(yōu)美的曲線。請你用紙剪出一個矩形紙片 ABCD。如同下圖（a）那樣折疊，使每次折后 A 點都落在 CD 邊上。無數(shù)的折痕會像圖（b）那樣圍出一條曲線。這樣的曲線，在幾何學上稱為折痕的包絡。
圖（b）的包絡曲線，是一段拋物線弧。當你拋擲石子的時候，會看到石子在空中劃出一條美麗的弧線。這條弧線是由于石子同時受地心引力和慣性運動兩者作 用的結(jié)果。假設你拋擲石子時與水平成 α 角，又石子出手時速度為 v0，則在時刻 t 石子運動的位置坐標 (x，y) 為：
消去時間 t 后，將得到一個關于 x 的二次函數(shù)。因此，二次函數(shù)的圖像也稱為拋物線。
有趣的是，當我們拋擲的初速度不變，而僅僅改變拋擲角時，將會得到如下圖那樣一系列的拋物線，這無數(shù)拋物線的包絡，也形成一條拋物線，物理學上稱為“安全拋物線”。
讓我們回到折紙的課題上來，研究一下為什么前面講到的 折痕包絡是一條拋物線?
如圖所示，以 AD 的中點 O 為原點，以 OD 為 Y 軸正向，建立直角坐標系。
令 AD=p，則 A 點的坐標為（0，- p / 2）; 設 A' 為 CD 上的任意一點，EF 為 A 折向 A' 時紙上的折痕；T 在 EF 上，滿足 TA'⊥CD。下面我們證明：T 點的軌跡，即為折痕的包絡曲線。
也就是說，T 點的軌跡是一段拋物線弧。剩下的問題是必須證明它與折痕相切。為此，令直線 AA' 的斜率為 k，則
注意到折痕 EF 為線段 AA' 的垂直平分線，容易求出直線 EF 的方程為
包絡是微分幾何研究的課題之一，1827 年，首創(chuàng)于德國數(shù)學家高斯。下圖是又一種有趣的折紙包絡。
剪一個圓形紙片，在圓片內(nèi)任取一點 A，然后如下圖（a）折疊紙片，使折后的圓弧通過 A 點，如此得到圖（b）的無數(shù)折痕。這些折痕的包絡，便是一個以 A 點和圓心為焦點，長軸為半徑的橢圓。讀者不妨親自折一個試一試。
最為神奇的折紙，大約莫過于“三浦折疊法”。它是由日本宇宙科學研究所的三浦公亮教授發(fā)明的。這種折紙法，竟能使無生命的紙張具有“記憶”的功能！
大家知道，當我們想把一大張紙折小的時候，我們常用的是互相垂直的折疊方法。這種折疊法的折痕是“山”還是“谷”是互相獨立的。從而各種可能的折法組合，總數(shù)極大！當一大張折好的紙完全展開時，很難讓它重新折回到原來的位置。
另外這種互相垂直的折法，折縫往往疊得很厚，因而在張力的作用下，難免造成破損！ “三浦折疊法”也叫“雙層波型可擴展曲面”，它不同于“互相垂直折疊法”的地方在于：縱向折縫微呈鋸齒形。
這樣，當你打開一張用三浦折疊法折疊的紙時，你會發(fā)現(xiàn)，只要抓住對角部分往任何方向一拉伸，紙張便會自動地同時向縱橫兩個方向打開。
同樣，如果想折疊這樣的紙張，只需隨意擠壓一方，紙便會回到原狀，相當于記住了原樣！用三浦折疊法折疊紙張，整張紙成了一個有機的連結(jié)體。它的折縫組合，只有全部展開與全部折返兩種。因而不會因為折疊時折縫沒有對齊而損壞。
上圖（b）表示用“三浦折疊法”折疊時的情景。容易看出，這里的折縫是互相錯開的。圖（a）則是普通折疊法，不難發(fā)現(xiàn)，這里的折縫，在重疊處出現(xiàn)了危險的隆起！
今天，神奇的三浦折疊法已經(jīng)取得了廣泛應用。在人類征服太空的宏圖中，對于建造大面積的太陽帆、人造月亮等方面，應用前景尤為突出！
本文來自微信公眾號：原點閱讀 （ID：tupydread），作者：張遠南 張昶
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