20 世紀(jì) 70 年代，數(shù)學(xué)界廣泛關(guān)注的主題有兩個(gè)，一個(gè)是混沌理論，即所謂的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)。這個(gè)主題由微積分發(fā)展而來(lái)。另一個(gè)是復(fù)雜系統(tǒng)，它具有不那么正統(tǒng)的思維方式，并刺激新的數(shù)學(xué)和新的科學(xué)。
混沌
牛頓的自然數(shù)學(xué)原理哲學(xué)把世界的體系簡(jiǎn)化為微分方程，而這些微分方程是“決定論”的。也就是說(shuō)，一旦知道了系統(tǒng)的初始狀態(tài)，它的未來(lái)就一直是唯一確定的。這是一種沒(méi)有給自由意志留下任何余地的理論。但同時(shí)，它也為我們帶來(lái)了收音機(jī)、電視、雷達(dá)、移動(dòng)電話(huà)、商用飛機(jī)、通信衛(wèi)星和計(jì)算機(jī)等。
科學(xué)決定論的發(fā)展還伴隨著一種模糊但根深蒂固的復(fù)雜性守恒觀念。這是“簡(jiǎn)單的原因必然產(chǎn)生簡(jiǎn)單的結(jié)果”的假設(shè)，也意味著復(fù)雜的結(jié)果必然有復(fù)雜的原因。這種觀念使我們想知道復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜性從何而來(lái)。例如，既然生命一定起源于一個(gè)沒(méi)有生命的星球，那么它的復(fù)雜性是從哪里來(lái)的呢？我們很少想到復(fù)雜性可能會(huì)自動(dòng)出現(xiàn)，但這正是數(shù)學(xué)所表明的。
從拉普拉斯到龐加萊
物理定律的確定性來(lái)源于一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事實(shí)：在給定的初始條件下，微分方程至多只有一個(gè)解。拉普拉斯總結(jié)了決定論的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)：
一個(gè)在任何時(shí)候都知道自然界萬(wàn)物的動(dòng)力和萬(wàn)物的相互位置的智能，如果這個(gè)智能足夠強(qiáng)大，它就可以把宇宙中最大的物體的運(yùn)動(dòng)和最輕的原子的運(yùn)動(dòng)濃縮成一個(gè)公式。對(duì)于這樣一個(gè)智能來(lái)說(shuō)，沒(méi)有什么是不確定的，未來(lái)就像過(guò)去一樣呈現(xiàn)在它的眼前。
具有諷刺意味的是，正是在天體力學(xué)（物理學(xué)中最明顯的決定論部分）中，拉普拉斯的決定論才遇到挑戰(zhàn)。1886 年，瑞典國(guó)王奧斯卡二世為解決太陽(yáng)系穩(wěn)定性問(wèn)題設(shè)立了一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)。太陽(yáng)系會(huì)一直穩(wěn)定地運(yùn)行下去嗎？或者會(huì)不會(huì)有一顆行星撞向太陽(yáng)？能量和動(dòng)量守恒的物理定律并沒(méi)有阻止這兩種可能性的發(fā)生，太陽(yáng)系的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)能提供更多的線(xiàn)索嗎？
龐加萊下定決心要挑戰(zhàn)這個(gè)問(wèn)題，他仔細(xì)研究了一個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，即三個(gè)天體的系統(tǒng)。三個(gè)物體的方程并不比兩個(gè)物體的糟糕多少，而且一般形式也大體相同。但是，龐加萊的三體問(wèn)題卻出乎意料地困難，他發(fā)現(xiàn)了一些令人不安的事情。這些方程的解完全不同于二體方程的解。事實(shí)上，這些解是如此復(fù)雜，以至于無(wú)法用數(shù)學(xué)公式寫(xiě)下來(lái)。更糟糕的是，他對(duì)解的幾何結(jié)構(gòu)（更準(zhǔn)確地說(shuō)，是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）有足夠的了解，足以毫無(wú)疑問(wèn)地證明，這些解所代表的運(yùn)動(dòng)有時(shí)可能是高度無(wú)序和不規(guī)則的。這種復(fù)雜性現(xiàn)在被視為混沌的典型例子。
大約 60 年后，對(duì)三體問(wèn)題的研究引發(fā)了一場(chǎng)革命，改變了我們看待宇宙與數(shù)學(xué)的關(guān)系。
1926 年，荷蘭工程師巴爾薩澤?范德波爾構(gòu)建了一個(gè)模擬心臟的數(shù)學(xué)模型，并發(fā)現(xiàn)在某些條件下，產(chǎn)生的振蕩不像正常心跳那樣具有周期性，而是不規(guī)則的。后來(lái)，數(shù)學(xué)家在一項(xiàng)雷達(dá)電子學(xué)的研究中為范德波爾的研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)
20 世紀(jì) 60 年代初，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂芬?斯梅爾要求對(duì)電子電路的典型行為類(lèi)型進(jìn)行完整的分類(lèi)，從而開(kāi)創(chuàng)了動(dòng)力系統(tǒng)理論的現(xiàn)代時(shí)代。起初，他認(rèn)為答案是周期運(yùn)動(dòng)的組合，但很快意識(shí)到，更復(fù)雜的行為是可能的。特別是他發(fā)展了龐加萊在限制三體問(wèn)題中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)化了幾何結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了一個(gè)被稱(chēng)為“斯梅爾的馬蹄”的系統(tǒng)。他證明了馬蹄系統(tǒng)雖然是確定的，但也有一些隨機(jī)的特征。
一個(gè)普遍的理論（混沌理論）開(kāi)始出現(xiàn)。與此同時(shí)，混沌系統(tǒng)零星地出現(xiàn)在應(yīng)用文獻(xiàn)中。其中最著名的混沌系統(tǒng)是氣象學(xué)家愛(ài)德華?洛倫茲在 1963 年提出的。洛倫茲準(zhǔn)備建立大氣對(duì)流模型，用含有三個(gè)變量的更簡(jiǎn)單的方程來(lái)近似這種現(xiàn)象的非常復(fù)雜的方程。在計(jì)算機(jī)上用數(shù)值方法求解這些問(wèn)題時(shí)，他發(fā)現(xiàn)解以一種不規(guī)則的、幾乎是隨機(jī)的方式振蕩。他還發(fā)現(xiàn)，如果變量的初值有稍微的擾動(dòng)，那么結(jié)果就會(huì)大有不同。他在隨后的講座中對(duì)這一現(xiàn)象的描述引出了著名的“蝴蝶效應(yīng)”。
這種效應(yīng)給天氣預(yù)報(bào)帶來(lái)了很大的問(wèn)題。但如果斷定是蝴蝶引起了颶風(fēng)，那就錯(cuò)了。在現(xiàn)實(shí)世界中，影響天氣的不是一只蝴蝶，而是數(shù)萬(wàn)億只蝴蝶的統(tǒng)計(jì)特征和其他微小擾動(dòng)?？偟膩?lái)說(shuō)，這些因素對(duì)颶風(fēng)形成的地點(diǎn)、時(shí)間以及隨后的走向都有明確的影響。
研究人員利用拓?fù)浞椒ㄗC明了龐加萊觀察到的奇異解是方程中奇異吸引子的必然結(jié)果。一個(gè)奇異吸引子是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。它可以被可視化為由描述系統(tǒng)的變量形成的狀態(tài)空間中的一個(gè)形狀。
吸引子的結(jié)構(gòu)解釋了混沌系統(tǒng)的一個(gè)奇特特征：它們可以在短期內(nèi)被預(yù)測(cè)，但不能在長(zhǎng)期內(nèi)被預(yù)測(cè)。為什么不能把幾個(gè)短期預(yù)測(cè)串在一起形成一個(gè)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)呢？因?yàn)槲覀兠枋龌煦缦到y(tǒng)的準(zhǔn)確性會(huì)隨著時(shí)間的推移而下降，而且下降速度在不斷增長(zhǎng)，所以存在一個(gè)我們無(wú)法超越的預(yù)測(cè)范圍。盡管如此，系統(tǒng)仍然在同一個(gè)奇異吸引子上，但它經(jīng)過(guò)吸引子的路徑發(fā)生了顯著的變化。
這改變了我們對(duì)蝴蝶效應(yīng)的看法。蝴蝶所能做的就是在同一個(gè)奇異吸引子上推動(dòng)天氣的變化。
大衛(wèi)?魯埃爾和弗洛里斯?塔肯斯很快發(fā)現(xiàn)了奇異吸引子在物理學(xué)中的應(yīng)用，即令人困惑的流體湍流問(wèn)題。流體流動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，稱(chēng)為 Navier-Stokes 方程，是偏微分方程。一種常見(jiàn)的流體流動(dòng)，層流，是光滑和規(guī)則的，這正是你從確定性理論中所期望的。但另一種類(lèi)型，湍流，是不規(guī)則的，幾乎是隨機(jī)的。先前的理論要么聲稱(chēng)湍流是一種極其復(fù)雜模式的組合，其中每個(gè)模式都非常簡(jiǎn)單，要么聲稱(chēng) Navier-Stokes 方程在湍流狀態(tài)下失效。但魯埃爾和塔肯斯還有第三種理論。他們認(rèn)為，湍流是一種奇異吸引子的物理實(shí)例。
最初，人們對(duì)這一理論持懷疑態(tài)度，但我們現(xiàn)在知道，它是正確的。其他成功的應(yīng)用也接踵而至，“混沌”一詞被用作所有此類(lèi)行為的名稱(chēng)。
理論的怪物
在 1870 年到 1930 年之間，一群特立獨(dú)行的數(shù)學(xué)家發(fā)明了一系列奇異的形狀，其唯一目的就是要證明經(jīng)典分析的局限性。在微積分的早期發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家們假定任何連續(xù)變化的量幾乎在任何地方都具有明確的變化率。例如，一個(gè)在空間中連續(xù)移動(dòng)的物體有一個(gè)明確的速度。然而，1872 年，魏爾斯特拉斯證明了這個(gè)長(zhǎng)期存在的假設(shè)是錯(cuò)誤的。一個(gè)物體可以以連續(xù)的方式運(yùn)動(dòng)，但它的運(yùn)動(dòng)方式很不規(guī)則，它的速度每時(shí)每刻都在突然變化。這意味著它實(shí)際上根本沒(méi)有一個(gè)合理的速度。
數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的怪異形狀包括：一條曲線(xiàn)填滿(mǎn)了整個(gè)空間區(qū)域（一條是皮亞諾在 1890 年發(fā)現(xiàn)的，另一條是希爾伯特在 1891 年發(fā)現(xiàn)的），一條曲線(xiàn)在每一點(diǎn)上都交叉，一條無(wú)限長(zhǎng)曲線(xiàn)包圍了一個(gè)有限的區(qū)域。最后一個(gè)怪異的幾何圖形，是馮?科赫在 1906 年發(fā)明的，雪花曲線(xiàn)，它的結(jié)構(gòu)是這樣的
由于它的六重對(duì)稱(chēng)，最終的結(jié)果看起來(lái)像一個(gè)復(fù)雜的雪花。
數(shù)學(xué)的主流開(kāi)始譴責(zé)這些奇怪的東西是“病態(tài)的”和“怪物的畫(huà)廊”，但隨著時(shí)間的推移，特立作派的觀點(diǎn)得到了支持。到了世紀(jì)之交，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)開(kāi)始接受了“怪物的畫(huà)廊”里的“怪物們”了。到了 1900 年，希爾伯特甚至稱(chēng)這一領(lǐng)域?yàn)樘焯谩?/p>
在 20 世紀(jì) 60 年代，出乎所有人的意料，理論怪物的畫(huà)廊在應(yīng)用科學(xué)的方向上得到了意想不到的推動(dòng)。曼德布洛特意識(shí)到這些怪異的曲線(xiàn)是自然界不規(guī)則理論的線(xiàn)索。他把它們重新命名為分形。自然界充斥著復(fù)雜而不規(guī)則的結(jié)構(gòu)，如海岸線(xiàn)、山脈、云層、樹(shù)木、冰川、河流系統(tǒng)、海浪、環(huán)形山、花椰菜，傳統(tǒng)幾何學(xué)對(duì)這些結(jié)構(gòu)無(wú)能為力。我們需要一種新的自然幾何學(xué)。
今天，科學(xué)家們已經(jīng)把分形納入進(jìn)了他們的正常思維方式中。大氣流動(dòng)是湍流，湍流是分形，而分形可以像魏爾斯特拉斯的畸形函數(shù)一樣連續(xù)運(yùn)動(dòng)，但沒(méi)有明確的速度。曼德布洛特在科學(xué)內(nèi)外的許多領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了分形的例子 —— 樹(shù)的形狀、河流的分支模式、股票市場(chǎng)的走勢(shì)。
混沌無(wú)處不在
奇異吸引子，從幾何上看，原來(lái)是分形，這兩條思想線(xiàn)交織在一起，形成了現(xiàn)在廣為人知的混沌理論。
混沌幾乎存在于每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系的動(dòng)力學(xué)是混沌的。由于動(dòng)力學(xué)混沌的存在，對(duì)太陽(yáng)系的預(yù)測(cè)的范圍大約在 1000 萬(wàn)年左右。所以，如果你想知道地球在公元 1000 萬(wàn)年時(shí)在太陽(yáng)的哪面是不可能的。這些天文學(xué)家還表明，月球的潮汐使地球穩(wěn)定下來(lái)，從而導(dǎo)致氣候宜居；所以混沌理論表明，如果沒(méi)有月球，地球?qū)⑹且粋€(gè)非常不適合居住的地方。
幾乎所有生物種群的數(shù)學(xué)模型中都會(huì)出現(xiàn)混沌。生態(tài)系統(tǒng)通常不會(huì)達(dá)到自然的某種靜態(tài)平衡，相反，它們?cè)谄娈愇由吓腔玻ǔ？雌饋?lái)相當(dāng)相似，但總是在變化。
復(fù)雜性
當(dāng)今科學(xué)面臨的許多問(wèn)題都極其復(fù)雜。要管理珊瑚礁、森林或漁場(chǎng)，就必須了解一個(gè)高度復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中，看似無(wú)害的變化可能引發(fā)意想不到的問(wèn)題?，F(xiàn)實(shí)世界如此復(fù)雜，如此難以測(cè)量，傳統(tǒng)的建模方法很難建立，更難以驗(yàn)證。為了應(yīng)對(duì)這些挑戰(zhàn)，越來(lái)越多的科學(xué)家開(kāi)始相信，需要對(duì)我們模擬世界的方式進(jìn)行根本性的改變。
20 世紀(jì) 80 年代初，喬治?考恩意識(shí)到，一條前進(jìn)的道路在于新發(fā)展的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)理論。在非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)成為科學(xué)建模的主要方法之前，它的作用主要是理論上的。最深刻的工作是龐加萊關(guān)于天體力學(xué)的三體問(wèn)題研究。這預(yù)測(cè)了天體軌道的高度復(fù)雜性，但對(duì)它們的確切情況卻知之甚少。這證明了簡(jiǎn)單的方程可能沒(méi)有簡(jiǎn)單的解，復(fù)雜性不是守恒的，但可以有更簡(jiǎn)單的起源。
細(xì)胞自動(dòng)機(jī)
在一種被稱(chēng)為細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型中，生物被簡(jiǎn)化為彩色小方塊。當(dāng)時(shí)約翰?馮?諾伊曼正試圖理解生命自我復(fù)制的能力。想象一個(gè)由巨大的方格網(wǎng)格組成的宇宙，這些網(wǎng)格叫做細(xì)胞，就像一個(gè)巨大的棋盤(pán)。在任何時(shí)候，一個(gè)給定的方格都可以以某種狀態(tài)存在。這個(gè)棋盤(pán)宇宙擁有自己的自然法則，描述了每個(gè)細(xì)胞的狀態(tài)如何隨著時(shí)間的推移而改變，并用顏色表示那些狀態(tài)。這個(gè)棋盤(pán)宇宙的自然法則很簡(jiǎn)單：如果一個(gè)單元格是紅色的，旁邊有兩個(gè)藍(lán)色的單元格，那么它必須變成黃色。任何這樣的系統(tǒng)都被稱(chēng)為元胞自動(dòng)機(jī)，元胞是因?yàn)榫W(wǎng)格，自動(dòng)機(jī)是因?yàn)樗つ康刈袷亓谐龅娜魏我?guī)則。
為了模擬生物最基本的特征，馮?諾伊曼創(chuàng)造了一種可以自我復(fù)制的細(xì)胞結(jié)構(gòu)。它有 20 萬(wàn)個(gè)細(xì)胞，用 29 種不同的顏色來(lái)攜帶自己的編碼描述。此描述可以盲目復(fù)制。馮?諾伊曼直到 1966 年才發(fā)表了他的研究成果，那時(shí)克里克和沃森已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了 DNA 的結(jié)構(gòu)，生命是如何真正進(jìn)行復(fù)制的也變得清晰起來(lái)。細(xì)胞自動(dòng)機(jī)又被忽視了 30 年。
然而，到了 20 世紀(jì) 80 年代，人們對(duì)由大量簡(jiǎn)單部件組成的系統(tǒng)越來(lái)越感興趣，這些部件相互作用產(chǎn)生一個(gè)復(fù)雜的整體。傳統(tǒng)上，用數(shù)學(xué)方法對(duì)系統(tǒng)建模的最好方法是包含盡可能多的細(xì)節(jié)。但是這種高細(xì)節(jié)的方法對(duì)于非常復(fù)雜的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是失敗的。例如，假設(shè)你想了解兔子數(shù)量的增長(zhǎng)。你不需要模擬兔子皮毛的長(zhǎng)度，它們的耳朵有多長(zhǎng)，或者它們的免疫系統(tǒng)是如何工作的。你只需要了解每只兔子的一些基本情況，它的年齡、性別、是否懷孕。然后你就可以把計(jì)算機(jī)資源集中在真正重要的事情上。
復(fù)雜系統(tǒng)支持這樣一種觀點(diǎn)，只要化學(xué)足夠復(fù)雜，生命就有可能出現(xiàn)。
對(duì)于這類(lèi)系統(tǒng)，元胞自動(dòng)機(jī)是非常有效的。它們可以忽略有關(guān)單個(gè)組件的不必要細(xì)節(jié)，而將重點(diǎn)放在這些組件如何相互關(guān)聯(lián)上。
地質(zhì)學(xué)和生物學(xué)
一個(gè)傳統(tǒng)建模技術(shù)無(wú)法分析的復(fù)雜系統(tǒng)如河流流域和三角洲的形成。Peter Burrough 用細(xì)胞自動(dòng)機(jī)解釋了為什么這些自然特征會(huì)形成它們所擁有的形狀。自動(dòng)機(jī)模擬水、土地和泥沙之間的相互作用。研究結(jié)果解釋了不同的土壤侵蝕速率如何影響河流的形狀，以及河流如何帶走土壤，這些都是河流工程的重要問(wèn)題。
細(xì)胞自動(dòng)機(jī)的另一個(gè)重要的應(yīng)用發(fā)生在生物學(xué)上。斯圖爾特?考夫曼應(yīng)用了多種復(fù)雜理論技術(shù)來(lái)深入研究生物學(xué)中的另一個(gè)主要難題：有機(jī)形態(tài)的發(fā)展。一個(gè)有機(jī)體的生長(zhǎng)和發(fā)育必須涉及大量的動(dòng)態(tài)過(guò)程，它不僅僅是將 DNA 中保存的信息轉(zhuǎn)化為有機(jī)形式的問(wèn)題。一個(gè)有效的方法是將發(fā)展表述為一個(gè)復(fù)雜非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)。
細(xì)胞自動(dòng)機(jī)給了我們一個(gè)關(guān)于生命起源的新視角。馮?諾伊曼的自我復(fù)制自動(dòng)機(jī)非常特殊，它經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，可以復(fù)制高度復(fù)雜的初始配置。1993 年，研究人員開(kāi)發(fā)了一種具有 29 個(gè)狀態(tài)的細(xì)胞自動(dòng)機(jī)，其中隨機(jī)選擇的初始狀態(tài)可導(dǎo)致超過(guò) 98% 的自復(fù)制結(jié)構(gòu)。在這個(gè)自動(dòng)機(jī)中，自我復(fù)制的實(shí)體幾乎是確定無(wú)疑的。
復(fù)雜系統(tǒng)支持這樣一種觀點(diǎn)，在一個(gè)化學(xué)成分足夠復(fù)雜的無(wú)生命星球上，生命很可能自發(fā)地形成，并組織成更加復(fù)雜的形式。尚待理解的是，在我們的宇宙中，是什么樣的規(guī)律導(dǎo)致了自我復(fù)制結(jié)構(gòu)的自發(fā)出現(xiàn)，也就是說(shuō)，是什么樣的物理規(guī)律使這通向生命的關(guān)鍵第一步不僅可能，而且不可避免。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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