分形幾何不僅僅是數(shù)學(xué)的一個(gè)章節(jié)，它還幫助普通人以不同的方式看待同一個(gè)世界?！?伯努瓦?曼德勃羅
什么是分形？
分形是一種“無(wú)限循環(huán)”的模式，在不同的尺度上不斷重復(fù)自己。這種不斷重復(fù)的性質(zhì)叫作自相似。分形被認(rèn)為是無(wú)限復(fù)雜的，也就是說(shuō)如果你可以不斷放大一張分形圖片（下圖），你總是可以看到相同的結(jié)構(gòu)。
分形這個(gè)術(shù)語(yǔ)是由曼德勃羅在 1975 年創(chuàng)造的，它源于拉丁語(yǔ)“fractus”，意思是“破碎的”或“斷裂的”。
由于分形具有“無(wú)限復(fù)雜性”，你可能認(rèn)為分形很難制作，但這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的過(guò)程。要做一個(gè)分形，只需要一遍又一遍地重復(fù)同樣的過(guò)程。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分形是一個(gè)迭代（遞歸的一種形式）的方程。
數(shù)學(xué)中的分形
最著名的分形是曼德勃羅集合，它來(lái)自于復(fù)數(shù)集合 c。數(shù)學(xué)家 Adrien Douady 定義了下面的函數(shù)
以致敬曼德勃羅，并將其命名為曼德勃羅集合。當(dāng)從 z=0 迭代時(shí)，不會(huì)向無(wú)窮大發(fā)散。
另一個(gè)著名的分形的例子是謝爾賓斯基三角形，以波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基的名字命名，由三個(gè)步驟組成：
從等邊三角形開(kāi)始，
將三角形分成四個(gè)等邊小三角形，去掉中間的三角形，
對(duì)剩下的每個(gè)小三角形無(wú)限重復(fù)步驟 2。
這種分形是用牛頓法求解多項(xiàng)式方程的結(jié)果。上圖是用牛頓法求出多項(xiàng)式 z^3-1=0 的三個(gè)根的結(jié)果，
自然中的分形
人類的肺和皮層神經(jīng)元是分形器官的完美例子。
分形的應(yīng)用
分形流體分布技術(shù)的應(yīng)用包括色譜、離子交換、蒸餾和其他需要塞流特性以最大化性能的應(yīng)用。
分形天線系統(tǒng)公司（FAS）創(chuàng)造了分形天線，分形超材料，分形電池，以分形電路設(shè)計(jì)，他們的分形技術(shù)創(chuàng)新是無(wú)止境的。FAS 制造的分形天線正在進(jìn)入手機(jī)和其他設(shè)備。他們的分形天線在 4 個(gè)關(guān)鍵方面比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手具有明顯的技術(shù)優(yōu)勢(shì)：
固有的寬帶 / 多波段意味著只需要一個(gè)天線，減少了整體天線的數(shù)量，因此降低了成本。
更小，更輕，需要較少的設(shè)備支持。
與傳統(tǒng)天線相比，需要更少的組件就能達(dá)到相同的性能，
與非分形天線相比，增益更高。
分形幾何已經(jīng)應(yīng)用于許多換熱設(shè)備，包括散熱器、燃料電池、微反應(yīng)器、分配器、集熱器、管殼式換熱器、紡錘體和硅 / 鍺納米復(fù)合材料。由于分形結(jié)構(gòu)具有溫度均勻性的優(yōu)勢(shì)，基于此，工程師們對(duì)芯片散熱片進(jìn)行了大量的優(yōu)化研究。
CT 圖像的分形分析正被用于理解和解決各種肺部疾病。檢測(cè)肺部異常的方法遵循基于二維和三維分形維數(shù)的簡(jiǎn)單算法。利用該算法對(duì)高分辨率 CT 圖像進(jìn)行掃描，并根據(jù)其整體分形維數(shù)對(duì)正常和異常肺進(jìn)行分類。
基于分形模式的心率調(diào)節(jié)研究正在進(jìn)行中。上圖描述了類似于分形時(shí)間過(guò)程的心率調(diào)節(jié)，是如何在統(tǒng)計(jì)上自相似的不同時(shí)間尺度上產(chǎn)生波動(dòng)的。
分形不僅具有藝術(shù)和數(shù)學(xué)價(jià)值，它們?cè)谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)文件壓縮系統(tǒng)、互聯(lián)網(wǎng)架構(gòu)和醫(yī)學(xué)方面也有巨大的應(yīng)用。由于分形在數(shù)學(xué)中仍是一個(gè)相對(duì)較新的領(lǐng)域，仍有更多的應(yīng)用未被發(fā)現(xiàn)。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說(shuō)科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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