光竟然具有壓力？氣壓不夠，光壓來湊！4 月 1 日 12 時(shí)，《張朝陽的物理課》第四十一期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，從太陽內(nèi)部的流體靜平衡方程出發(fā)，估算輻射層的壓強(qiáng)。
他首先跟網(wǎng)友們討論了為什么需要考慮光壓，然后推導(dǎo)出了黑體輻射的光壓公式，進(jìn)而應(yīng)用到太陽輻射層的光壓估算中。最后以具體的數(shù)值結(jié)果闡明，在輻射層光壓可以部分地抵抗引力的收縮，維持太陽內(nèi)部結(jié)構(gòu)的平衡。
復(fù)習(xí)流體靜平衡方程，估算太陽中心壓強(qiáng)
直播開始，張朝陽先簡短地給網(wǎng)友們復(fù)習(xí)了太陽的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，并強(qiáng)調(diào)說，雖然這個(gè)直播課程以計(jì)算為主，但是限于所能獲得的數(shù)據(jù)和計(jì)算工具，這里進(jìn)行的計(jì)算只是估算，它可以給出和真實(shí)值接近的數(shù)量級，但在數(shù)值上可能會(huì)存在偏差，不過其偏差范圍是可以容忍的。
隨后又復(fù)習(xí)了上節(jié)課推導(dǎo)的流體靜平衡方程。出發(fā)點(diǎn)與之前一樣，考慮流體微元在太陽引力和氣壓之間的平衡。流體微元取在與太陽中心距離為 r 的位置，是底面積為 dS、厚度為 dr 的沿徑向的薄柱體。因?yàn)榫鶆蚯驓η驓?nèi)部的物體不會(huì)有引力作用，所以這個(gè)流體微元所受的引力均來自于半徑 r 以內(nèi)的物質(zhì)，這部分引力等效于所有這些物質(zhì)均集中在球心處所產(chǎn)生的引力。微元受力平衡，列出方程為：
其中 Mr 是半徑 r 內(nèi)的所有物質(zhì)質(zhì)量，ρ 為太陽內(nèi)部密度且依賴于半徑 r。化簡就得到流體靜平衡方程：
張朝陽解釋，這只是決定太陽內(nèi)部結(jié)構(gòu)的方程之一。太陽內(nèi)部的物質(zhì)可以看作是理想氣體，因此有理想氣體的物態(tài)方程：
在太陽中心 dP / dr=0。這是因?yàn)樵谔栔行母浇?Mr 正比于 r^3，因此 dP / dr 正比于 r，從而導(dǎo)致 r=0 處 dP / dr=0。
他再次介紹了太陽內(nèi)部的密度分布。其中太陽中心處密度約為 150 g / cm^3，超過黃金的密度；沿半徑向外，密度逐漸下降，直至輻射區(qū)，密度降到約 0.2 g / cm^3。隨后將核心層的一些數(shù)據(jù)總結(jié)出來： Rc=Rs / 4，Vc=Vs / 64 (這兩式中，下標(biāo) c 表示核心 core，s 表示太陽 sun)，并且核心平均密度約是輻射層平均密度的 100 倍，這樣估算出來的核心層總質(zhì)量約為太陽總質(zhì)量的一半。
張朝陽表示，上次直播課使用的是 Mc=0.9Ms，估算出來的中心壓強(qiáng)偏大。按目前的數(shù)據(jù)，Mc=0.5Ms，可以重新得到太陽中心溫度 Pc 為 1.7×10^16 Pa，這個(gè)結(jié)果和目前公認(rèn)的數(shù)值 2.3×10^16 Pa 更接近了。
估算輻射層壓強(qiáng)公式，論述為何需考慮光壓
緊接著，張朝陽寫出上次課程所推導(dǎo)的估算太陽中心壓強(qiáng)的公式, 其中平均密度是質(zhì)量除以體積，且基于這次課程對 Mc 的估算，把上次課程中的 0.9 改為 0.5。：
代入 Rc=Rs / 4 化簡得到：
然后，把輻射層與核心層交界處的壓強(qiáng)記為 P1，接著對流體靜平衡方程積分得到關(guān)于 P1 的公式：
對于上式，張朝陽講解了估算思路，把 Mr 近似為核心層質(zhì)量，密度用輻射層平均密度代替，于是得到：
他解釋，這個(gè)公式和前面 Pc 的公式很相似，前面的因子大致相同，從而輻射層平均密度是核心層平均密度的多少分之一，就會(huì)導(dǎo)致 P1 是 Pc 的多少分之一。根據(jù) P1 的公式，可以把輻射層的壓強(qiáng)估算為：
也就是說，平衡所需的壓強(qiáng)正比于密度的一次方。他又立馬轉(zhuǎn)到另一方面說道，輻射區(qū)的理想氣體壓強(qiáng)是：
它不僅正比于密度，還正比于溫度，而溫度是隨著半徑增大而下降的。他強(qiáng)調(diào)，理想氣體的壓強(qiáng)終究會(huì)下降到無法提供足夠的壓力與引力平衡。
張朝陽解釋，必須考慮另一種壓力，那就是光壓。在核心層理想氣體的壓強(qiáng)很大，足以與引力形成平衡，并且光壓很小，可以忽略。而到了輻射層，這一點(diǎn)就不成立了，物質(zhì)氣體提供的壓強(qiáng)變得比較小，無法與引力形成平衡，這時(shí)候光壓的作用相對來說更大，因此必須考慮光壓才能重新得到平衡的結(jié)果。
他進(jìn)一步解釋，太陽核心產(chǎn)生的高能光子會(huì)在太陽內(nèi)部不斷地與離子碰撞，導(dǎo)致平均行進(jìn)速度非常緩慢。在輻射層，這些光子會(huì)提供一個(gè)量級可觀的壓力，用以抵抗引力的收縮。照射到人身上的太陽光的光壓是很小的，我們感受不到。但是在太陽內(nèi)部這種極端環(huán)境下，光壓會(huì)非常大。
推導(dǎo)黑體輻射的光壓公式，估算太陽輻射層光壓量級
為了進(jìn)一步分析輻射層的光壓，張朝陽先帶網(wǎng)友們推導(dǎo)黑體輻射的壓力公式。他將黑體輻射的能量密度記為 u，黑體輻射通量密度為 I，根據(jù)斯特番-波耳茲曼定律，I=σT^4。輻射通量密度是指黑體單位表面單位時(shí)間所輻射的能量，它包含了各個(gè)方向的輻射，因此，還需要考慮沿特定方向的單位時(shí)間單位面積輻射的能量，即面輻射強(qiáng)度。張朝陽將面輻射強(qiáng)度記為 I_Ω，其中 Ω 是下標(biāo)，用于標(biāo)明它是沿特定立體角的輻射能量。
他先建立 u 和 I_Ω 的關(guān)系。張朝陽表示，某一處的輻射能量，可以看成是由包裹住這一處的球表面所發(fā)射的輻射匯聚而成的。為了簡化，我們考慮一個(gè)半徑為 r 的球面，然后計(jì)算球心 (dr)^3 范圍內(nèi)的輻射能量密度。取球面處的面積微元 dS，則球心處大小為 (dr)^3 的區(qū)域?qū)?dS 的張角 dΩ 為：
設(shè)從 dS 發(fā)出的輻射逗留在 (dr)^3 里的時(shí)間為 dt，那么 dt=dr / c，其中 c 是光速。所以，從 dS 發(fā)出逗留在 (dr)^3 的輻射能為：
其中已經(jīng)代入 dΩ 的公式。將這個(gè)結(jié)果除以 (dr)^3 就得到微元 dS 提供在球心處的能量密度：
對這個(gè)結(jié)果沿著整個(gè)球面積分就得到球心的能量密度：
或者等價(jià)地有 I_Ω=uc/(4π)。緊接著，再推導(dǎo) u 和 I 的關(guān)系。根據(jù)定義有：
其中已經(jīng)代入 I_Ω=uc/(4π) 用以化簡。接下來，開始推導(dǎo)輻射對黑體表面的壓強(qiáng)。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)，黑體吸收多少輻射就會(huì)發(fā)射多少輻射，因此可以等效為輻射照射到黑體表面后被完全反射出來。另一方面，不同頻率的光子其能量和動(dòng)量是不一樣的，因此需要單獨(dú)考慮每個(gè)頻率，從而要把 I_Ω 看成關(guān)于頻率的積分：
張朝陽表示，對于以 θ 角入射的頻率為 ν 的光，除以光子能量 hν 就可以算出入射光子數(shù)，由于每個(gè)光子動(dòng)量為 hν/c，考慮角度 θ 導(dǎo)致的投影，就可以得到單位時(shí)間單位面積上以立體角 dΩ 入射的 dν 頻段的光子所傳遞的動(dòng)量：
其中因子 2 是考慮了反射，即動(dòng)量改變要乘以 2。單位時(shí)間的動(dòng)量改變就等于力，再加上考慮的是單位面積，因此上式就是這部分光對黑體的壓強(qiáng)。注意上式的兩處 hν 剛好消掉，因此對整個(gè)頻段的積分其實(shí)就只是對 I_Ω(ν) 的積分，對 I_Ω(ν) 的整個(gè)頻段積分結(jié)果是 I_Ω。再對整個(gè)半球立體角積分就可以得到總壓強(qiáng)：
下圖就是張朝陽在直播課上推導(dǎo)出的黑體輻射壓強(qiáng)與溫度的關(guān)系式：
(張朝陽推導(dǎo)黑體輻射壓強(qiáng)公式)
接著，他將剛剛得到的黑體輻射壓強(qiáng)公式應(yīng)用到計(jì)算太陽輻射層光壓的場景中。張朝陽打趣道，現(xiàn)在氣體壓強(qiáng)的“援軍”到了，我們還需要知道這個(gè)“援軍”能不能抵抗住引力的壓縮。因?yàn)樘栔行臏囟仁且磺Ф嗳f開爾文，而溫度隨著半徑的下降是相對緩慢的，因此張朝陽假設(shè)輻射層溫度為 700 萬開爾文，將其代入光壓公式，得到光壓約為 10^12 Pa 量級 (注：具體代入相關(guān)數(shù)據(jù)后得到的值約為 6×10^11 Pa)。
他指出，前面估算得到太陽中心壓強(qiáng)是 1.7×10^16 Pa，如果輻射層某處密度是核心層平均密度的千分之一，那么根據(jù)前面的推導(dǎo)，輻射層這一處的壓強(qiáng)就是 1.7×10^13 Pa。假如溫度的緩慢下降使得氣體壓強(qiáng)不足以提供所需的 1.7×10^13 Pa，根據(jù)剛剛推導(dǎo)的光壓量級，光子是有望提供相應(yīng)的壓強(qiáng)作為補(bǔ)充的。
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