琴弦的振動(dòng)是怎樣的形式？聲音在空氣中的傳播速度如何計(jì)算？太陽的壽命大約還剩 50 億年？4 月 8 日，《張朝陽的物理課》線下第二課開講，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽與來自北京各高校的物理學(xué)子及物理學(xué)愛好者們一起探討物理的奧秘。
課堂上，他陸續(xù)講解了經(jīng)典波動(dòng)方程的推導(dǎo)與聲速的計(jì)算，之后又與現(xiàn)場(chǎng)同學(xué)交流探討了太陽內(nèi)部的核反應(yīng)、太陽壽命的估算，以及宇宙大爆炸理論的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)證據(jù)等物理問題。
推導(dǎo)經(jīng)典波動(dòng)方程，從琴弦振動(dòng)開始
本節(jié)線下課，張朝陽先介紹了琴弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)。以琴弦初始位置建立 x 軸，弦的振動(dòng)方向?yàn)?u 軸。采用平面運(yùn)動(dòng)模型并假設(shè)琴弦只能沿一個(gè)方向振動(dòng)，這樣就把三維問題簡(jiǎn)化成了二維問題。弦在某一時(shí)刻的位置用 u (x,t) 描述，它表示弦對(duì)平衡位置的偏離。
在課程中，假設(shè)弦的振動(dòng)比較微小，u (x,t) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 1。假設(shè)琴弦在初始位置的質(zhì)量線密度為 μ，考慮在區(qū)間 (x,x+Δx) 上琴弦的微元的運(yùn)動(dòng)。忽略重力，那么這部分微元只受到弦自身張力的作用。
推導(dǎo)過程中，暫且假設(shè)弦的張力 T 處處相等。需要說明的是，因?yàn)橄抑谎?u 方向振動(dòng)，不沿 x 方向運(yùn)動(dòng)，所以微元受到的 x 方向的合力為零，于是張力在 x 軸上的分量 Tx 處處相等，而 u 方向的張力 Tu 不是處處相等的，從而 T 實(shí)際上不是處處相等的。不過，因?yàn)榻酉聛淼耐茖?dǎo)需要的是 Tu，當(dāng) u (x,t) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 1 時(shí)，無論使用 T 還是 Tx 來估算 Tu，最低階近似都是一樣的，所以可以假設(shè) T 為常數(shù)。而當(dāng) u (x,t) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)不是小量時(shí)，則須使用 Tx 為常數(shù)來推導(dǎo)，此時(shí)依然能得到嚴(yán)格的波動(dòng)方程。
由于 u (x,t) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 1，于是弦的切線傾角 θ 非常小，所以 Tu 約等于 T 乘以 θ，而 θ 可以用 u (x,t) 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)來近似，于是微元受到的 u 方向的合力為：
利用牛頓第二定律，可得：
根據(jù)假設(shè)，T 為常數(shù)，不依賴于 x，對(duì)等式右邊的偏導(dǎo)數(shù)做關(guān)于 x 的泰勒展開，并在消去一個(gè) Δx 后讓 Δx 趨向于 0，最后得到：
這就是琴弦的波動(dòng)方程。由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)于這個(gè)經(jīng)典的微分方程，現(xiàn)場(chǎng)并未對(duì)其求解過程進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算。張朝陽直接寫出其通解的大致形式：
隨后，他對(duì)這個(gè)通解作了進(jìn)一步解釋。以其中的 g (x-vt) 為例，假如函數(shù) g (x) 的最大值點(diǎn)在 x0 處，那么在 t 時(shí)刻，g (x-vt) 的最大值點(diǎn)在 x-vt=x0 處，也就是 x=x0+vt 處，即最大值點(diǎn)在以速度 v 向右運(yùn)動(dòng)。換言之，g (x-vt) 表示向右以速度 v 傳播的波。同理，f (x+vt) 表示以速度 v 向左傳播的波。經(jīng)過這一番解釋，波動(dòng)方程中 v 的物理含義就清晰了，它代表波的傳播速度。
在這個(gè)例子的最后，他還簡(jiǎn)短地討論了兩端固定的琴弦的波動(dòng)方程。它本質(zhì)上是一個(gè)邊值問題，需要利用傅里葉級(jí)數(shù)展開的方法來求解，展開的每一項(xiàng)都是滿足邊界條件的一個(gè)模式。
推導(dǎo)空氣中聲音的波動(dòng)方程：縱波與密度波
在聲波方程的推導(dǎo)中，為了突出基本原理而避免陷入太瑣碎的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，本次課程只考慮了一維的情形，并且作了和琴弦類似的假設(shè)：靜態(tài)時(shí)處于 x 位置的空氣質(zhì)點(diǎn)在聲音過來時(shí)的位置偏移 u (x,t) 比較小，并且對(duì)空間坐標(biāo) x 的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于 1。
張朝陽介紹，聲波是密度波，是一種縱波，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與傳播方向平行，因此不像琴弦振動(dòng)那樣直觀。不過，聲波方程在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上與琴弦的波動(dòng)方程是比較類似的。考慮空氣在 (x,x+Δx) 的“窄片”，“窄片”截面積是 A，厚度為 Δx。在水平方向上，“窄片”只受到氣體的壓力，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到：
將上式兩端的 A 消掉，并且將 P 對(duì) x 做泰勒展開，消掉 Δx 并忽略高階項(xiàng)可以得到：
“是什么引起了壓強(qiáng)的改變呢？答案是密度的改變?！币虼?，張朝陽轉(zhuǎn)而考慮 P 對(duì)密度 ρ 的依賴關(guān)系。假設(shè)沒有聲波時(shí)空氣壓強(qiáng)是 P0，密度是 ρ0，那么
看到這里大家可能會(huì)疑問，這里 P 對(duì)密度的偏導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確定義是什么？根據(jù)理想氣體物態(tài)方程，描述理想氣體的狀態(tài)需要兩個(gè)物理量，而這兩個(gè)量的選取具有任意性，因此必須明確這里 P 對(duì) ρ 的偏導(dǎo)數(shù)是在保持哪個(gè)物理量不變的情況下的偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于這個(gè)問題，張朝陽后續(xù)又進(jìn)行詳細(xì)的解答。
接下來，開始推導(dǎo) Δρ 和 u 的關(guān)系?？紤]靜態(tài)時(shí)處于 (x,x+Δx) 的空氣“窄片”，橫截面積為 A，聲波過來時(shí)，“窄片”兩個(gè)截面的偏移分別是 u (x,t) 和 u (x+Δx,t)，偏移后的“窄片”質(zhì)量不變，因此
截面積可以消掉?？紤] u (x+Δx,t) 的泰勒展開，有
代入前一個(gè)式子 (消掉 A)，并展開可以得到
式中的刪除線表示可以消掉或者忽略掉。左邊的項(xiàng)和右邊第一項(xiàng)互相抵消，由于 u 對(duì) x 的偏導(dǎo)遠(yuǎn)小于 1，右邊最后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于其他項(xiàng)，因此可以忽略，于是：
根據(jù)前面推導(dǎo)的結(jié)果，有：
代入前面得到的關(guān)于 u 的方程，就得到了聲音在空氣中的波動(dòng)方程：
聲速計(jì)算要考慮絕熱近似，牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭
得到波動(dòng)方程之后，張朝陽開始解釋如何理解其中 P 對(duì) ρ 的偏導(dǎo)數(shù)。首先，相對(duì)于聲波導(dǎo)致的快速壓縮和膨脹，空氣的熱傳導(dǎo)過程是非常緩慢的。在空氣的一個(gè)振動(dòng)周期里，熱的傳導(dǎo)幾乎可以忽略，因此可以把空氣振動(dòng)導(dǎo)致的壓縮和膨脹看成是絕熱過程，這就是絕熱近似。
張朝陽介紹，牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭。牛頓當(dāng)時(shí)也得到了聲波的波動(dòng)方程，只不過因?yàn)閷?duì)聲音導(dǎo)致的空氣壓縮膨脹過程認(rèn)識(shí)不足，錯(cuò)誤地以為是等溫過程。回到正題，在絕熱近似下，波動(dòng)方程中 P 對(duì) ρ 的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該理解為絕熱條件下的偏導(dǎo)數(shù)。
他進(jìn)一步解釋說，因?yàn)檫@里考慮的聲音振幅很小，相對(duì)于空氣的振動(dòng)來說，空氣微元內(nèi)恢復(fù)平衡的速度非?？?，因此可以假設(shè)在空間的每一處空氣都滿足理想氣體狀態(tài)方程。這個(gè)近似就是準(zhǔn)靜態(tài)近似。正因?yàn)檫@個(gè)近似，這里對(duì)聲速的推導(dǎo)將不適用于特別稀薄的空氣。
在準(zhǔn)靜態(tài)近似下，可以使用理想氣體的平衡態(tài)性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)。這樣就有：
其中 U 是空氣內(nèi)能，因子 5/2 來自于能量均分定理。能量均分定理，每個(gè)自由度貢獻(xiàn) NkT / 2 的內(nèi)能，空氣中大部分是氮?dú)夂脱鯕?，都是雙原子分子，具有 3 個(gè)平動(dòng)自由度和 2 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。在室溫下，振動(dòng)自由度沒有被激發(fā)。所以一共是 5 個(gè)自由度，故因子為 5/2。定義 γ 使得 γ-1=2/5。在這里，γ=8/5=1.4。于是
根據(jù)熱力學(xué)第一定律
在絕熱過程中有：
其中 C 為常數(shù)。由于密度和體積呈反比關(guān)系，所以 P 正比于 ρ^γ，設(shè)比例常數(shù)為 B，于是在絕熱過程下
代入理想氣體物態(tài)方程可得：
其中 m 上加一橫表示空氣的平均分子質(zhì)量。所以，空氣中聲波的波動(dòng)方程為：
在室溫 20℃，即約 293 K，相應(yīng)的聲速為
其中 m_m 表示空氣以 g 為單位的摩爾質(zhì)量。這個(gè)數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的聲速非常接近。另外，還可以知道聲速只與溫度有關(guān)，而與聲音的頻率無關(guān)。
“這是一個(gè)令人震撼的結(jié)果?！睆埑栒f，波動(dòng)方程的出發(fā)點(diǎn)僅僅是牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，再考慮理想氣體物態(tài)方程，就可以得到與實(shí)驗(yàn)值非常接近的計(jì)算值，不得不說計(jì)算的力量是強(qiáng)大的。
解釋太陽能量源于核聚變，估算太陽壽命約為百億年
在課程后半段的互動(dòng)環(huán)節(jié)，有同學(xué)提問關(guān)于太陽壽命的問題，于是張朝陽對(duì)太陽的能量來源以及如何估算太陽壽命進(jìn)行了解答。
他介紹，太陽內(nèi)部有一個(gè)核心，太陽大部分的質(zhì)量都集中在核心。核心內(nèi)部溫度非常高，約為 100 萬開爾文。太陽的能量來源是核心處的核聚變，比如氫聚變成氦。由于氫核帶正電，氫核之間存在庫侖排斥力，因此存在勢(shì)壘。但是強(qiáng)相互作用會(huì)使得氫核在靠得特別近時(shí)會(huì)釋放能量形成新的原子核，也就是說在庫侖勢(shì)壘之內(nèi)有一個(gè)深勢(shì)阱。要想發(fā)生核聚變，氫核必須突破庫侖勢(shì)壘。靜電勢(shì)大小為
以原子核半徑的量級(jí) 10^(-15) m 來估算庫侖勢(shì)壘高度，得到結(jié)果約為 10^(-13) 焦耳。再根據(jù)太陽的內(nèi)核溫度，利用 kT 可以估算內(nèi)核粒子動(dòng)能的量級(jí)為 10^(-16) 焦耳，這兩個(gè)能量差了 3 個(gè)量級(jí)。
如果僅僅如此粗略地看，核聚變似乎不會(huì)發(fā)生。那為什么核聚變還是真實(shí)地發(fā)生了呢？可以從兩個(gè)角度來理解：第一個(gè)角度是從經(jīng)典的麥克斯韋速度分布出發(fā)，雖然內(nèi)核粒子的平均動(dòng)能突破不了庫侖勢(shì)壘，但是麥克斯韋速度分布允許更高動(dòng)能粒子的存在，從而提供了穿越庫侖勢(shì)壘的可能；另一個(gè)角度是從量子隧穿出發(fā)，雖然根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，粒子無法穿過勢(shì)壘，但是量子力學(xué)的隧穿效應(yīng)保證了粒子實(shí)際上存在一定概率穿過庫侖勢(shì)壘。這就是對(duì)于為什么能發(fā)生核聚變的定性分析。
知道了太陽的能量來源，就可以估算太陽的壽命了。在太陽內(nèi)部主要發(fā)生的是氫核聚變成氦核，只考慮最初和最末狀態(tài)的話，就是四個(gè)氫核變成一個(gè)氦核，釋放的能量為 ΔE=Δmc^2。于是，通過“質(zhì)量虧損”可以計(jì)算得到：聚變產(chǎn)生一個(gè)氦核釋放的能量為 0.4×10^(-11) 焦耳。
假設(shè)太陽最初全部由氫構(gòu)成，那么可以根據(jù)太陽質(zhì)量估算出有多少氫核。但是，不是所有氫都能聚變成氦，張朝陽在課上假設(shè)能變成氦的氫占比 10%，那么可以估算出太陽可以釋放的能量為 0.12×10^(45) 焦耳。最后，再假設(shè)在太陽整個(gè)生命周期里表面溫度近似不變，于是太陽將以恒定的溫度以黑體輻射的形式向外輻射能量，這樣就可以得到太陽壽命為
代入數(shù)值，并轉(zhuǎn)化為以年為單位，可以得到太陽壽命約為 100 億年。目前太陽已經(jīng)燃燒了 50 億年，剩余壽命大約還剩 50 億年。在太陽的末期，太陽將會(huì)膨脹成為紅巨星，會(huì)把周圍的很多行星甚至可能包括地球都吞噬掉。
宇宙大爆炸理論的兩個(gè)證據(jù)：哈勃紅移和微波背景輻射
對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)同學(xué)們感興趣的宇宙大爆炸問題，張朝陽介紹了支持宇宙大爆炸理論的兩個(gè)觀測(cè)證據(jù)，分別是哈勃紅移和微波背景輻射。
根據(jù)光的多普勒效應(yīng)，以速度 u 遠(yuǎn)離地球而去的恒星，其光譜會(huì)發(fā)生偏移。(u<0 表示恒星向我們靠近)，從這個(gè)恒星上發(fā)出頻率為 ν0 的光，而被地球接收到的頻率為
假如 u 遠(yuǎn)小于光速 c，那么進(jìn)行泰勒展開并忽略高階項(xiàng)，可以得到頻率改變量 Δν=ν-ν0 滿足
相應(yīng)的波長變化量是
于是利用這個(gè)公式，根據(jù)恒星的光譜移動(dòng)，就可以計(jì)算出恒星遠(yuǎn)離地球的速度。哈勃當(dāng)年觀測(cè)了很多恒星的頻移，發(fā)現(xiàn)絕大部分都是紅移，而且恒星遠(yuǎn)離地球的速度與恒星相對(duì)地球的距離成正比。盡管哈勃發(fā)現(xiàn)宇宙膨脹在先、大爆炸理論提出在后，然而從邏輯上來看，哈勃紅移是大爆炸理論的一個(gè)結(jié)果，因此可以作為大爆炸理論的一個(gè)實(shí)驗(yàn)證據(jù)。
根據(jù)大爆炸的理論模型，宇宙從最初的極高溫，經(jīng)過膨脹而不斷冷卻，最后變成了現(xiàn)在這個(gè)樣子。期間，物質(zhì)的形成也是由宇宙溫度降低所導(dǎo)致的。當(dāng)宇宙溫度降低時(shí)，夸克這些粒子會(huì)禁閉成重子。大部分重子是不穩(wěn)定的，最后會(huì)變成質(zhì)子和中子。中子壽命比較長，會(huì)衰變成質(zhì)子和電子，外加一個(gè)反中微子。
不過這個(gè)過程是可逆的，最終會(huì)形成平衡，導(dǎo)致有一個(gè)不為零的中子豐度。當(dāng)溫度繼續(xù)降低，直到光子能量不足以打破原子核時(shí)，這些中子、質(zhì)子將會(huì)通過核聚變成為穩(wěn)定的原子核，這個(gè)過程被稱為“原初核合成”。但是因?yàn)闇囟纫廊缓芨撸镔|(zhì)以離子形態(tài)存在，光子和這些帶電粒子存在相互作用，從而導(dǎo)致宇宙是“不透明”的。
到了大約 38 萬年的時(shí)候，溫度已經(jīng)進(jìn)一步下降，電子與原子核開始結(jié)合成原子，并會(huì)釋放出光子，這時(shí)候宇宙中的粒子大部分都是電中性的了，光子可以在宇宙中幾乎暢通無阻。這個(gè)時(shí)期就是光退耦時(shí)期，光子不再與物質(zhì)有大量的熱交換，而主要以黑體輻射的形式存在，隨著宇宙膨脹其溫度不斷下降。直到今天，這部分光子，也就是目前所說的微波背景輻射，對(duì)應(yīng)的等效黑體溫度大約為 2.7 開爾文。
介紹完黑體輻射的形成，張朝陽還根據(jù)黑體輻射的性質(zhì)計(jì)算了微波背景輻射的峰值頻率，約為 168 GHz。與哈勃紅移一樣，微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)也比大爆炸的理論提出要早，不過同樣可以將微波背景輻射看作是大爆炸理論的實(shí)驗(yàn)證據(jù)。
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