琴弦的振動是怎樣的形式？聲音在空氣中的傳播速度如何計算？太陽的壽命大約還剩 50 億年？4 月 8 日，《張朝陽的物理課》線下第二課開講，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽與來自北京各高校的物理學子及物理學愛好者們一起探討物理的奧秘。
課堂上，他陸續(xù)講解了經(jīng)典波動方程的推導與聲速的計算，之后又與現(xiàn)場同學交流探討了太陽內部的核反應、太陽壽命的估算，以及宇宙大爆炸理論的兩個實驗證據(jù)等物理問題。
推導經(jīng)典波動方程，從琴弦振動開始
本節(jié)線下課，張朝陽先介紹了琴弦振動方程的推導。以琴弦初始位置建立 x 軸，弦的振動方向為 u 軸。采用平面運動模型并假設琴弦只能沿一個方向振動，這樣就把三維問題簡化成了二維問題。弦在某一時刻的位置用 u (x,t) 描述，它表示弦對平衡位置的偏離。
在課程中，假設弦的振動比較微小，u (x,t) 對 x 的偏導數(shù)遠遠小于 1。假設琴弦在初始位置的質量線密度為 μ，考慮在區(qū)間 (x,x+Δx) 上琴弦的微元的運動。忽略重力，那么這部分微元只受到弦自身張力的作用。
推導過程中，暫且假設弦的張力 T 處處相等。需要說明的是，因為弦只沿 u 方向振動，不沿 x 方向運動，所以微元受到的 x 方向的合力為零，于是張力在 x 軸上的分量 Tx 處處相等，而 u 方向的張力 Tu 不是處處相等的，從而 T 實際上不是處處相等的。不過，因為接下來的推導需要的是 Tu，當 u (x,t) 對 x 的偏導數(shù)遠遠小于 1 時，無論使用 T 還是 Tx 來估算 Tu，最低階近似都是一樣的，所以可以假設 T 為常數(shù)。而當 u (x,t) 對 x 的偏導數(shù)不是小量時，則須使用 Tx 為常數(shù)來推導，此時依然能得到嚴格的波動方程。
由于 u (x,t) 對 x 的偏導數(shù)遠遠小于 1，于是弦的切線傾角 θ 非常小，所以 Tu 約等于 T 乘以 θ，而 θ 可以用 u (x,t) 對 x 的偏導數(shù)來近似，于是微元受到的 u 方向的合力為：
利用牛頓第二定律，可得：
根據(jù)假設，T 為常數(shù)，不依賴于 x，對等式右邊的偏導數(shù)做關于 x 的泰勒展開，并在消去一個 Δx 后讓 Δx 趨向于 0，最后得到：
這就是琴弦的波動方程。由于時間關系，對于這個經(jīng)典的微分方程，現(xiàn)場并未對其求解過程進行詳細計算。張朝陽直接寫出其通解的大致形式：
隨后，他對這個通解作了進一步解釋。以其中的 g (x-vt) 為例，假如函數(shù) g (x) 的最大值點在 x0 處，那么在 t 時刻，g (x-vt) 的最大值點在 x-vt=x0 處，也就是 x=x0+vt 處，即最大值點在以速度 v 向右運動。換言之，g (x-vt) 表示向右以速度 v 傳播的波。同理，f (x+vt) 表示以速度 v 向左傳播的波。經(jīng)過這一番解釋，波動方程中 v 的物理含義就清晰了，它代表波的傳播速度。
在這個例子的最后，他還簡短地討論了兩端固定的琴弦的波動方程。它本質上是一個邊值問題，需要利用傅里葉級數(shù)展開的方法來求解，展開的每一項都是滿足邊界條件的一個模式。
推導空氣中聲音的波動方程：縱波與密度波
在聲波方程的推導中，為了突出基本原理而避免陷入太瑣碎的數(shù)學細節(jié)，本次課程只考慮了一維的情形，并且作了和琴弦類似的假設：靜態(tài)時處于 x 位置的空氣質點在聲音過來時的位置偏移 u (x,t) 比較小，并且對空間坐標 x 的偏導數(shù)遠小于 1。
張朝陽介紹，聲波是密度波，是一種縱波，質點的振動方向與傳播方向平行，因此不像琴弦振動那樣直觀。不過，聲波方程在數(shù)學推導上與琴弦的波動方程是比較類似的?？紤]空氣在 (x,x+Δx) 的“窄片”，“窄片”截面積是 A，厚度為 Δx。在水平方向上，“窄片”只受到氣體的壓力，根據(jù)牛頓第二運動定律可以得到：
將上式兩端的 A 消掉，并且將 P 對 x 做泰勒展開，消掉 Δx 并忽略高階項可以得到：
“是什么引起了壓強的改變呢？答案是密度的改變?！币虼?，張朝陽轉而考慮 P 對密度 ρ 的依賴關系。假設沒有聲波時空氣壓強是 P0，密度是 ρ0，那么
看到這里大家可能會疑問，這里 P 對密度的偏導數(shù)的準確定義是什么？根據(jù)理想氣體物態(tài)方程，描述理想氣體的狀態(tài)需要兩個物理量，而這兩個量的選取具有任意性，因此必須明確這里 P 對 ρ 的偏導數(shù)是在保持哪個物理量不變的情況下的偏導數(shù)。對于這個問題，張朝陽后續(xù)又進行詳細的解答。
接下來，開始推導 Δρ 和 u 的關系?？紤]靜態(tài)時處于 (x,x+Δx) 的空氣“窄片”，橫截面積為 A，聲波過來時，“窄片”兩個截面的偏移分別是 u (x,t) 和 u (x+Δx,t)，偏移后的“窄片”質量不變，因此
截面積可以消掉?？紤] u (x+Δx,t) 的泰勒展開，有
代入前一個式子 (消掉 A)，并展開可以得到
式中的刪除線表示可以消掉或者忽略掉。左邊的項和右邊第一項互相抵消，由于 u 對 x 的偏導遠小于 1，右邊最后一項遠小于其他項，因此可以忽略，于是：
根據(jù)前面推導的結果，有：
代入前面得到的關于 u 的方程，就得到了聲音在空氣中的波動方程：
聲速計算要考慮絕熱近似，牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭
得到波動方程之后，張朝陽開始解釋如何理解其中 P 對 ρ 的偏導數(shù)。首先，相對于聲波導致的快速壓縮和膨脹，空氣的熱傳導過程是非常緩慢的。在空氣的一個振動周期里，熱的傳導幾乎可以忽略，因此可以把空氣振動導致的壓縮和膨脹看成是絕熱過程，這就是絕熱近似。
張朝陽介紹，牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭。牛頓當時也得到了聲波的波動方程，只不過因為對聲音導致的空氣壓縮膨脹過程認識不足，錯誤地以為是等溫過程?；氐秸}，在絕熱近似下，波動方程中 P 對 ρ 的偏導數(shù)應該理解為絕熱條件下的偏導數(shù)。
他進一步解釋說，因為這里考慮的聲音振幅很小，相對于空氣的振動來說，空氣微元內恢復平衡的速度非常快，因此可以假設在空間的每一處空氣都滿足理想氣體狀態(tài)方程。這個近似就是準靜態(tài)近似。正因為這個近似，這里對聲速的推導將不適用于特別稀薄的空氣。
在準靜態(tài)近似下，可以使用理想氣體的平衡態(tài)性質進行推導。這樣就有：
其中 U 是空氣內能，因子 5/2 來自于能量均分定理。能量均分定理，每個自由度貢獻 NkT / 2 的內能，空氣中大部分是氮氣和氧氣，都是雙原子分子，具有 3 個平動自由度和 2 個轉動自由度。在室溫下，振動自由度沒有被激發(fā)。所以一共是 5 個自由度，故因子為 5/2。定義 γ 使得 γ-1=2/5。在這里，γ=8/5=1.4。于是
根據(jù)熱力學第一定律
在絕熱過程中有：
其中 C 為常數(shù)。由于密度和體積呈反比關系，所以 P 正比于 ρ^γ，設比例常數(shù)為 B，于是在絕熱過程下
代入理想氣體物態(tài)方程可得：
其中 m 上加一橫表示空氣的平均分子質量。所以，空氣中聲波的波動方程為：
在室溫 20℃，即約 293 K，相應的聲速為
其中 m_m 表示空氣以 g 為單位的摩爾質量。這個數(shù)值結果與實驗測得的聲速非常接近。另外，還可以知道聲速只與溫度有關，而與聲音的頻率無關。
“這是一個令人震撼的結果?！睆埑栒f，波動方程的出發(fā)點僅僅是牛頓第二運動定律，再考慮理想氣體物態(tài)方程，就可以得到與實驗值非常接近的計算值，不得不說計算的力量是強大的。
解釋太陽能量源于核聚變，估算太陽壽命約為百億年
在課程后半段的互動環(huán)節(jié)，有同學提問關于太陽壽命的問題，于是張朝陽對太陽的能量來源以及如何估算太陽壽命進行了解答。
他介紹，太陽內部有一個核心，太陽大部分的質量都集中在核心。核心內部溫度非常高，約為 100 萬開爾文。太陽的能量來源是核心處的核聚變，比如氫聚變成氦。由于氫核帶正電，氫核之間存在庫侖排斥力，因此存在勢壘。但是強相互作用會使得氫核在靠得特別近時會釋放能量形成新的原子核，也就是說在庫侖勢壘之內有一個深勢阱。要想發(fā)生核聚變，氫核必須突破庫侖勢壘。靜電勢大小為
以原子核半徑的量級 10^(-15) m 來估算庫侖勢壘高度，得到結果約為 10^(-13) 焦耳。再根據(jù)太陽的內核溫度，利用 kT 可以估算內核粒子動能的量級為 10^(-16) 焦耳，這兩個能量差了 3 個量級。
如果僅僅如此粗略地看，核聚變似乎不會發(fā)生。那為什么核聚變還是真實地發(fā)生了呢？可以從兩個角度來理解：第一個角度是從經(jīng)典的麥克斯韋速度分布出發(fā)，雖然內核粒子的平均動能突破不了庫侖勢壘，但是麥克斯韋速度分布允許更高動能粒子的存在，從而提供了穿越庫侖勢壘的可能；另一個角度是從量子隧穿出發(fā)，雖然根據(jù)經(jīng)典力學，粒子無法穿過勢壘，但是量子力學的隧穿效應保證了粒子實際上存在一定概率穿過庫侖勢壘。這就是對于為什么能發(fā)生核聚變的定性分析。
知道了太陽的能量來源，就可以估算太陽的壽命了。在太陽內部主要發(fā)生的是氫核聚變成氦核，只考慮最初和最末狀態(tài)的話，就是四個氫核變成一個氦核，釋放的能量為 ΔE=Δmc^2。于是，通過“質量虧損”可以計算得到：聚變產生一個氦核釋放的能量為 0.4×10^(-11) 焦耳。
假設太陽最初全部由氫構成，那么可以根據(jù)太陽質量估算出有多少氫核。但是，不是所有氫都能聚變成氦，張朝陽在課上假設能變成氦的氫占比 10%，那么可以估算出太陽可以釋放的能量為 0.12×10^(45) 焦耳。最后，再假設在太陽整個生命周期里表面溫度近似不變，于是太陽將以恒定的溫度以黑體輻射的形式向外輻射能量，這樣就可以得到太陽壽命為
代入數(shù)值，并轉化為以年為單位，可以得到太陽壽命約為 100 億年。目前太陽已經(jīng)燃燒了 50 億年，剩余壽命大約還剩 50 億年。在太陽的末期，太陽將會膨脹成為紅巨星，會把周圍的很多行星甚至可能包括地球都吞噬掉。
宇宙大爆炸理論的兩個證據(jù)：哈勃紅移和微波背景輻射
對于現(xiàn)場同學們感興趣的宇宙大爆炸問題，張朝陽介紹了支持宇宙大爆炸理論的兩個觀測證據(jù)，分別是哈勃紅移和微波背景輻射。
根據(jù)光的多普勒效應，以速度 u 遠離地球而去的恒星，其光譜會發(fā)生偏移。(u<0 表示恒星向我們靠近)，從這個恒星上發(fā)出頻率為 ν0 的光，而被地球接收到的頻率為
假如 u 遠小于光速 c，那么進行泰勒展開并忽略高階項，可以得到頻率改變量 Δν=ν-ν0 滿足
相應的波長變化量是
于是利用這個公式，根據(jù)恒星的光譜移動，就可以計算出恒星遠離地球的速度。哈勃當年觀測了很多恒星的頻移，發(fā)現(xiàn)絕大部分都是紅移，而且恒星遠離地球的速度與恒星相對地球的距離成正比。盡管哈勃發(fā)現(xiàn)宇宙膨脹在先、大爆炸理論提出在后，然而從邏輯上來看，哈勃紅移是大爆炸理論的一個結果，因此可以作為大爆炸理論的一個實驗證據(jù)。
根據(jù)大爆炸的理論模型，宇宙從最初的極高溫，經(jīng)過膨脹而不斷冷卻，最后變成了現(xiàn)在這個樣子。期間，物質的形成也是由宇宙溫度降低所導致的。當宇宙溫度降低時，夸克這些粒子會禁閉成重子。大部分重子是不穩(wěn)定的，最后會變成質子和中子。中子壽命比較長，會衰變成質子和電子，外加一個反中微子。
不過這個過程是可逆的，最終會形成平衡，導致有一個不為零的中子豐度。當溫度繼續(xù)降低，直到光子能量不足以打破原子核時，這些中子、質子將會通過核聚變成為穩(wěn)定的原子核，這個過程被稱為“原初核合成”。但是因為溫度依然很高，物質以離子形態(tài)存在，光子和這些帶電粒子存在相互作用，從而導致宇宙是“不透明”的。
到了大約 38 萬年的時候，溫度已經(jīng)進一步下降，電子與原子核開始結合成原子，并會釋放出光子，這時候宇宙中的粒子大部分都是電中性的了，光子可以在宇宙中幾乎暢通無阻。這個時期就是光退耦時期，光子不再與物質有大量的熱交換，而主要以黑體輻射的形式存在，隨著宇宙膨脹其溫度不斷下降。直到今天，這部分光子，也就是目前所說的微波背景輻射，對應的等效黑體溫度大約為 2.7 開爾文。
介紹完黑體輻射的形成，張朝陽還根據(jù)黑體輻射的性質計算了微波背景輻射的峰值頻率，約為 168 GHz。與哈勃紅移一樣，微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)也比大爆炸的理論提出要早，不過同樣可以將微波背景輻射看作是大爆炸理論的實驗證據(jù)。
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