琴弦的振動(dòng)頻率如何調(diào)節(jié)？太陽壽命是多少？形成過程需多久？4 月 10 日 12 時(shí)，《張朝陽的物理課》第四十四期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，帶網(wǎng)友們復(fù)習(xí)并拓展了上一次線下直播課的內(nèi)容，求解琴弦波動(dòng)方程，并根據(jù)所求結(jié)果介紹如何調(diào)節(jié)琴弦的頻率。此外還從引力結(jié)合能的計(jì)算出發(fā)，估算得到太陽形成所需的時(shí)間。
分離變量“大顯神通” 簡化琴弦波動(dòng)方程
直播伊始，張朝陽帶網(wǎng)友們復(fù)習(xí)了琴弦的波動(dòng)方程。設(shè)琴弦的質(zhì)量線密度為 μ，長度為 a，琴弦的張力為 T。琴弦的兩端固定。用 u (x,t) 表示琴弦上處于 x 位置的質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的偏移，那么琴弦的波動(dòng)方程為：
在這里，張朝陽借助分離變量法給大家介紹了如何得到琴弦波動(dòng)方程的一些特解。設(shè) u=f (x) g (t)，代入波動(dòng)方程，求導(dǎo)展開之后再除以 f (x) g (t) 可得：
等式左邊是關(guān)于 t 的函數(shù)，等式右邊是關(guān)于 x 的函數(shù)，因此要想兩邊相等，則它們必須是同一個(gè)常數(shù)，設(shè)此常數(shù)為-α^2，其中 α 為非負(fù)的實(shí)數(shù)。（注：為什么假設(shè)是-α^2 而不是 α^2 呢？原因是多方面的。一方面，如果假設(shè)兩邊常數(shù)是正的，那么將會(huì)求解得到指數(shù)形式的解，這種形式的滿足兩端為 0 的解只能是常數(shù) 0；另一方面，這里的求解過程是先求出一部分特解，然后再檢驗(yàn)這部分特解能否組合成滿足要求的所有解。）基于這個(gè)常數(shù)-α^2，可以得到：
張朝陽闡述了一遍他的求解目的：將弦拉離平衡位置后松手，求這根弦的振動(dòng)形式。整個(gè)問題嚴(yán)格表述起來就是，求解波動(dòng)方程滿足邊值 u (0,t)=u (a,t)=0、且初速度為 0 的解。上述兩個(gè)方程的通解都可以寫成余弦和正弦的線性組合，不過考慮到邊值條件和初速度為 0 的要求，只選擇正弦部分作為 f (x) 的解、余弦部分作為 g (t) 的解。于是，可以得到這么一組特解：
注意，上式暫時(shí)忽略了余弦和正弦前面的系數(shù)。因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦函數(shù)，而正弦函數(shù)在原點(diǎn)的值為 0，所以這樣的 u (x,t)= f (x) g (t) 是滿足初始速度為 0 的條件的。另一方面，f (x) 里的正弦函數(shù)已經(jīng)滿足在琴弦 x=0 處為 0，還需要滿足 x=a 處為 0，于是：
其中 n 是正整數(shù)。這樣就有：
這里已經(jīng)給 u_n (x,t) 補(bǔ)上了系數(shù)。
由于波動(dòng)方程是齊次線性的，特解的線性組合依然是方程的解。那么，是否所有滿足邊值條件和初速度為 0 的解都可以由這一組特解線性組合出來呢？張朝陽提示說，這就需要用到傅里葉級(jí)數(shù)了。對(duì)于滿足條件的任何解 u (x,t)，在 t=0 時(shí) u (x,0) 是一個(gè)滿足 u (0,0)=u (a,0)=0 的連續(xù)函數(shù)，因此可以展開成 sin (nπx / a) 的傅里葉級(jí)數(shù)，系數(shù)是 α_n：
根據(jù)牛頓力學(xué)，力學(xué)運(yùn)動(dòng)的解由初始條件決定了，因此初始時(shí)刻等于 u (x,0) 并且初速度為 0 (當(dāng)然，還需要邊值等于 0) 的解是唯一的，所以必然有：
如果上式兩端不相等，那就存在兩個(gè)滿足要求的解了，這是違反牛頓力學(xué)的。于是，所有滿足邊值條件和初速度為 0 的解都可以由這一組特解線性組合出來。
接著，張朝陽介紹特解 u_n 的頻率。對(duì)于每一個(gè)固定的 x 值，對(duì)應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)做簡諧振動(dòng)，圓頻率為：
對(duì)于頻率 ν，由于 ω=2πν，故：
根據(jù)這個(gè)公式，當(dāng)需要將樂器里琴弦的頻率調(diào)高時(shí)，就要拉緊琴弦，增大它的張力 T。而若琴弦比較重，質(zhì)量線密度比較大，根據(jù)牛頓第二定律，這樣的弦很難振動(dòng)得快，所以頻率會(huì)比較低，這樣的直觀理解也與剛剛推導(dǎo)出來的結(jié)果相符。
(張朝陽討論琴弦波動(dòng)方程的解及其頻率)
空氣中的聲速: 絕熱近似與準(zhǔn)靜態(tài)條件
隨后，張朝陽帶網(wǎng)友們復(fù)習(xí)聲音在空氣中的波動(dòng)方程：
其中下標(biāo) s 表示絕熱過程。他強(qiáng)調(diào)，這個(gè)方程的推導(dǎo)過程中，除了假設(shè)振幅很小以及 u 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于 1 之外，還考慮了另外兩個(gè)近似條件：絕熱條件和準(zhǔn)靜態(tài)條件。
絕熱近似強(qiáng)調(diào)的是聲音振動(dòng)對(duì)空氣壓縮和拉伸的周期要遠(yuǎn)小于熱傳導(dǎo)的時(shí)間尺度，從而可以把聲音在空氣中造成的壓縮和膨脹看成是絕熱過程。根據(jù)這個(gè)條件計(jì)算得到的聲速是：
其中 m_m 表示以 g / mol 為單位的摩爾質(zhì)量，γ 在空氣中約等于 1.4。牛頓曾經(jīng)對(duì)這個(gè)過程認(rèn)識(shí)不足，以為聲音壓縮空氣的過程是等溫過程。按等溫過程算出來的聲速公式會(huì)缺少這個(gè) γ 因子，從而導(dǎo)致其值大約比真實(shí)值低 15%。
準(zhǔn)靜態(tài)條件，指的是空氣足夠密集，使得振動(dòng)時(shí)每個(gè)質(zhì)量微元能夠維持在平衡態(tài)，從而可以對(duì)氣體的每一個(gè)質(zhì)量微元使用平衡態(tài)時(shí)的狀態(tài)方程。當(dāng)氣體很稀薄時(shí)，這個(gè)近似是不成立的。
太陽形成需多久？ 估算引力結(jié)合能 除以功率得時(shí)間
在 4 月 8 日的線下課程中，張朝陽曾介紹了太陽壽命的估算。這次課程也帶網(wǎng)友們復(fù)習(xí)了一遍。估算太陽壽命的主要依據(jù)是能量守恒定律。首先要知道太陽的能量來源主要是由氫聚變成氦的過程，假設(shè)大約有 10% 的氫最終變成了氦，則可估算得到太陽總共具有的聚變能約為 0.1×0.12×10^46 焦耳。太陽的能量主要以光的形式輻射出去，輻射譜是太陽表面溫度的黑體輻射譜，因此可以根據(jù)：
估算出太陽壽命約為 100 億年。
張朝陽介紹說，除了太陽的壽命，還有一個(gè)時(shí)間尺度很重要，那就是太陽形成所用的時(shí)間?！斑@可以用太陽的引力結(jié)合能除以太陽在單位時(shí)間內(nèi)的輻射量來估算。”他進(jìn)一步解釋說，太陽一開始是一團(tuán)氣體，這團(tuán)氣體相互之間的引力結(jié)合能可以忽略不記。當(dāng)這團(tuán)氣體塌縮成太陽后，引力勢(shì)能會(huì)釋放出來并轉(zhuǎn)化成熱量，然后熱量會(huì)以輻射的形式散發(fā)出去。
當(dāng)然，太陽形成的那一刻，引力勢(shì)能產(chǎn)生的所有的熱量并非全部輻射出去了，但是輻射出去的那部分占比不小。在直播當(dāng)中進(jìn)行的是一個(gè)估算，因此假設(shè)這部分熱量全都輻射了出去，并且輻射的溫度就是目前太陽的溫度。
有了這些假設(shè)，接下來就需要計(jì)算太陽的結(jié)合能了?？梢园烟栃纬傻倪^程看成是一層層的球殼狀的氣體不斷從無窮遠(yuǎn)處移到太陽的位置的過程，然后將每個(gè)球殼微元的引力勢(shì)能改變加起來就可以得到引力結(jié)合能了。因?yàn)榫鶆蚯驓げ粫?huì)對(duì)內(nèi)部的物質(zhì)有引力作用，而均勻球殼對(duì)球殼外的物質(zhì)引力等效于球殼質(zhì)量集中于球心時(shí)的引力，因此引力結(jié)合能為：
其中 M_r 表示半徑 r 內(nèi)的物質(zhì)質(zhì)量，dm_r 表示半徑為 r 處的球殼微元的質(zhì)量。在這里，張朝陽又作了一步假設(shè)，使得計(jì)算可以大大簡化：假設(shè)太陽形成之初的密度為常數(shù) ρ，于是：
因?yàn)闅怏w還在無窮遠(yuǎn)處時(shí)的引力能量取為 0，因此太陽形成后釋放出來的引力勢(shì)能為 3GM^2/(5R)。得到了這個(gè)能量公式，就可以估算太陽的形成時(shí)間了。這里所用的公式與估算太陽壽命時(shí)所用的公式類似，只不過式子分母保持不變，而分子換成釋放出來的引力勢(shì)能。
張朝陽在直播中估算釋放出來的引力勢(shì)能約為 4×10^41 焦耳，大約是前面估算的太陽可以釋放的聚變能的 1/250。因此，太陽形成所花費(fèi)的時(shí)間約為其壽命的 1/250，大約是 4000 萬年。得到了這個(gè)估算結(jié)果之后，張朝陽展示了天文學(xué)研究中已知的一些恒星形成時(shí)間，其中太陽的形成時(shí)間約為 5000 萬年，我們的估算結(jié)果與此數(shù)據(jù)很接近。
(張朝陽在估算太陽形成所花的時(shí)間)
本次直播課程的結(jié)尾，張朝陽和網(wǎng)友們進(jìn)行了互動(dòng)，并回答了網(wǎng)友們提出的一些問題。有網(wǎng)友提問到，聲音傳播過程中，是什么引起了氣體壓強(qiáng)的變化？張朝陽解釋說，空氣是一種縱波，振動(dòng)方向和傳播方向平行，因此聲音在傳播的過程中，有些位置的空氣被壓縮了，有些位置的空氣膨脹了，從而空氣在不同位置處的密度會(huì)有差異，同時(shí)也使得各處的壓強(qiáng)改變了。
因?yàn)楸敬沃辈フn程復(fù)習(xí)了波動(dòng)方程，其中用到了偏導(dǎo)數(shù)，因此有網(wǎng)友疑問為什么物理中經(jīng)常出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)此，張朝陽解答說，因?yàn)槲锢碇薪?jīng)常需要處理多個(gè)變量的函數(shù)。比如依賴時(shí)空位置的函數(shù)，時(shí)空是四維的，因此這些函數(shù)都是四元函數(shù)?？紤]這些函數(shù)隨時(shí)間或者隨位置的變化關(guān)系，就不可避免地遇到偏導(dǎo)數(shù)了。
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