在數(shù)學(xué)中，當(dāng)一個(gè)重要的數(shù)學(xué)定義已經(jīng)提出，一個(gè)重要的數(shù)學(xué)定理已經(jīng)證明后，事情還遠(yuǎn)未結(jié)束。不論一項(xiàng)數(shù)學(xué)工作已經(jīng)如何清晰了，總還有更多的了解它的余地，最常用的方法之一，就是把它陳述為一個(gè)更廣泛的東西的特例（推廣）。有不同種類的推廣，這里只討論其中的幾個(gè)。
弱化假設(shè)和強(qiáng)化結(jié)論
印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努金發(fā)現(xiàn)的數(shù)字 1729 很有名，因?yàn)樗梢杂脙煞N不同方式寫成兩個(gè)正整數(shù)的完全立方的和，就是
而且 1729 是這類數(shù)中最小的一個(gè)。讓我們?cè)囍鴣?lái)檢驗(yàn)，是否有一個(gè)數(shù)可以用四種不同方式寫成四個(gè)完全立方之和。
初看起來(lái)，這個(gè)問題似乎是難得令人吃驚，如果真有這樣的數(shù)，這個(gè)數(shù)必定是很大很大，如果想一個(gè)數(shù)接著一個(gè)數(shù)地去試，又必定是極為冗長(zhǎng)乏味。那么，有沒有什么聰明的方法呢？
回答是必須把假設(shè)弱化。我們想解決的問題屬于下面的一般類型。給出一個(gè)正整數(shù)序列 a_1，a_2，a_3…，而且告訴了我們這個(gè)序列具有某個(gè)性質(zhì)。然后要證明，一定存在一個(gè)正整數(shù)，使得它可以用十種不同的方式寫成這個(gè)序列中四項(xiàng)之和。這樣思考問題可能有一點(diǎn)人為造作的味了，因?yàn)榧僭O(shè)了這個(gè)序列是 "完全立方數(shù)的序列"，因?yàn)檫@個(gè)性質(zhì)的序列（比起所謂“具有某個(gè)性質(zhì) " 的序列”） 顯得過于特殊，所以比較自然的想法是把這個(gè)問題看成是一個(gè)特定序列的鑒別問題。然而，這種思考問題的方式鼓勵(lì)我們考慮有這樣的可能性，就是這個(gè)結(jié)論可能對(duì)于廣泛得多的序列仍然為真，而結(jié)果確實(shí)如此。
有 1 000 個(gè)完全立方數(shù)小于或等于 1 000 000 000。我們將會(huì)看到正是這個(gè)事實(shí)，就足以保證“存在一個(gè)整數(shù)，而它可以用十種不同方式寫成四個(gè)完全立方數(shù)之和”。具體說來(lái)，我們的問題變成證明∶
為了證明這件事，我們先要注意到，從序列中任意取四項(xiàng)的方式有 1000×999×998×997/24 種，這個(gè)數(shù)小于 400 億，而這個(gè)序列中任意四項(xiàng)之和必不大于 40 億。所以現(xiàn)在有 400 億個(gè)不大于 40 億的數(shù)，其中必有重復(fù)的數(shù)，平均說來(lái)，取相同值的數(shù)應(yīng)該有十個(gè)以上。所以，在 400 億個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)會(huì)取 40 億個(gè)值的某一個(gè)十次以上，證畢。
為什么用這種方式把問題推廣會(huì)有助于問題的解決？人們可能會(huì)以為，在證明一個(gè)結(jié)果時(shí)，假設(shè)越少，證明就越難。然而時(shí)常并不如此。假設(shè)越少，在用這個(gè)假設(shè)來(lái)證明時(shí)，需要作的選擇也越少，這有時(shí)會(huì)加快對(duì)于證明的搜尋。如果沒有把這個(gè)問題推廣如上，就會(huì)有過多的選擇。例如，可能會(huì)試著去解非常困難的含立方項(xiàng)的丟番圖方程，而不是像現(xiàn)在這樣作簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題。
我們也可以認(rèn)為上面的推廣就是結(jié)論的強(qiáng)化∶原來(lái)的問題只是一個(gè)關(guān)于立方的命題，而我們的證明則多得多。弱化假設(shè)與強(qiáng)化結(jié)論，并沒有清晰的區(qū)別，
證明一個(gè)更抽象的結(jié)果
模算術(shù)里有一個(gè)著名的結(jié)果，稱為費(fèi)馬小定理∶如果 p 是一個(gè)素?cái)?shù)，而正整數(shù) a 不是 p 的倍數(shù)，則 a^（p-1）除以 p 時(shí)，余數(shù)必為 1。就是說 a^（p-1） mod p 必定同余于 1。
這個(gè)結(jié)果有幾種證明，其中之一是尋求推廣的好例證。以下就是其論證的概要。
第一步，證明數(shù) 1，2，…，p-1 在 mod p 的乘法下構(gòu)成一個(gè)群。
mod p 的乘法就是說相乘以后要除以 p 并取其余數(shù)。舉例來(lái)說，若取 p=7，則 3 與 6 的積“mod7”是 4，因?yàn)?4 是 3×6=18 除以 7 所得的余數(shù)。
第二步，注意到，若 1≤a≤p-1，則 a 的冪 mod p 構(gòu)成此群的子群，而且這個(gè)子群的大小是最小的使得 a^m=1，modp 的整數(shù) m，然后應(yīng)用拉格朗日定理，即群的大小必定可用子群的大小整除。現(xiàn)在群的大小是 p-1，所以 p-1 可用 m 整除，但是 a^m=1，modp，所以 a^（p-1）=1，modp。定理證畢。
這個(gè)論證表明，如果恰當(dāng)?shù)乜创?strong>費(fèi)馬小定理只是拉格朗日定理的一個(gè)特例（不過，整數(shù) modp 成為一個(gè)群并不是完全顯然的。這個(gè)事實(shí)可以用歐幾里得算法來(lái)證明）。
費(fèi)馬本人不可能這樣來(lái)看他的定理，因?yàn)樵谒C明這個(gè)定理時(shí)，群的概念還沒有發(fā)明。所以，群的抽象概念幫助人們以全新的方式來(lái)看待費(fèi)馬小定理∶可以把它看作是一個(gè)更一般的結(jié)果的特例，但是當(dāng)新的抽象概念沒有發(fā)展起來(lái)以前，甚至無(wú)法陳述這個(gè)更一般的結(jié)果。
這個(gè)抽象化過程有許多好處，最明顯的是它給了一個(gè)更一般的定理，一個(gè)具有許多其他有趣的應(yīng)用的定理。一旦看到了這一點(diǎn)，就能一下子證明一般的結(jié)果，而不必分別證明各個(gè)特殊結(jié)果。一個(gè)與之有聯(lián)系的好處是，它使我們能夠看到，許多原來(lái)似乎無(wú)關(guān)的結(jié)果之間是有聯(lián)系的。而在數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域間找到聯(lián)系幾乎一定會(huì)影響這門學(xué)科的顯著的進(jìn)展。
鑒別出特征性質(zhì)
定義根號(hào) 2 的方式和定義虛數(shù) i 的方式成了明顯的對(duì)照。定義根號(hào) 2 的方法是，先證明確有一個(gè)正實(shí)數(shù)存在，而且其平方為 2。然后，定義此數(shù)即為根號(hào) 2。
對(duì)于虛數(shù) i，這種風(fēng)格的證明是不可能的，因?yàn)闆]有哪個(gè)實(shí)數(shù)平方以后會(huì)等于 -1。所以，我們代之以另一個(gè)問題∶如果有一個(gè)數(shù)平方以后會(huì)等于-1，那么，關(guān)于這個(gè)數(shù)有哪些性質(zhì)？這樣一個(gè)數(shù)不可能是實(shí)數(shù)，但這并未排除一種可能性，就是擴(kuò)張實(shí)數(shù)系為一個(gè)更大的數(shù)系，使之能夠包含-1 的一個(gè)平方根。
初看起來(lái)，似乎我們恰好是知道了關(guān)于 i 的一件事，即 i^2=-1。但是如果還假設(shè) i 服從算術(shù)的正常的法則，就還可以做更多有趣的計(jì)算，例如
這意味著（1＋i）/根號(hào) 2 是 i 的一個(gè)平方根。
從這兩個(gè)簡(jiǎn)單的假設(shè)（即 i^2=-1 以及 i 服從算術(shù)的通常法則）就能發(fā)展起整個(gè)復(fù)數(shù)理論而不必為 i 究竟是什么操心。而事實(shí)上，思考一下根號(hào) 2 的存在性，就會(huì)看到，根號(hào) 2 的存在性其實(shí)并不如它的定義性質(zhì)那么重要，而這個(gè)定義性質(zhì)與 i 的定義性質(zhì)是非常相似的，這個(gè)定義性質(zhì)就是平方以后給出 2，以及服從算術(shù)的通常法則。
數(shù)學(xué)中許多重要的推廣都是這樣行事的。另一個(gè)重要的例子是當(dāng) x 和 a 均為實(shí)數(shù)而 x 為正時(shí) x^a 的定義。除非 a 是正整數(shù)，x^a 這個(gè)表達(dá)式很難看出有什么意義，然而，不論 a 取什么值，數(shù)學(xué)家們拿著這個(gè)表達(dá)式卻好像沒事人一樣，這是怎么回事呢？答案在于，關(guān)于 x^a，真正要緊的不在于它取什么值，而在于把它當(dāng)作 a 的一個(gè)函數(shù)時(shí)，它的特征性質(zhì)是什么。
所謂特征性質(zhì)，不僅是說它所具有的性質(zhì)，而且是只要有了這個(gè)性質(zhì)，那就是它，也就是僅有它才具有的性質(zhì)
x^a 的最重要的特征性質(zhì)就是
有了這個(gè)性質(zhì)，再加上另外幾個(gè)性質(zhì)，就完全確定了 x^a 這個(gè)函數(shù)。
抽象化和分類之間有著有趣的關(guān)系。“抽象”這個(gè)詞在數(shù)學(xué)中時(shí)常是指這樣一部分?jǐn)?shù)學(xué)，在那里更經(jīng)常使用一個(gè)對(duì)象的特征性質(zhì)來(lái)進(jìn)行討論，而不是直接從對(duì)象的定義來(lái)做論證。抽象的最終目的，是從一組公理，例如群或向量空間的公理，開始來(lái)探討其推論。然而，有時(shí)為了對(duì)這些代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理，對(duì)它們進(jìn)行分類會(huì)很有幫助，分類的結(jié)果是使它們變得更具體。例如，每一個(gè)有限維實(shí)向量空間 V 都同構(gòu)于某個(gè) R^n，而 n 是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。把 V 想作一個(gè)具體的 R^n，而不是想作一個(gè)滿足某些公理的代數(shù)結(jié)構(gòu)，時(shí)常很有幫助。于是，在一定意義下，分類是抽象化的對(duì)立面。
重新陳述以后再推廣
維是一個(gè)在日常語(yǔ)言中也很熟悉的數(shù)學(xué)概念，例如，一把椅子的照片就是一個(gè) 3 維對(duì)象的 2 維表示，因?yàn)橐巫佑懈叨取挾群蜕疃?，但是它的像只有高度和寬度。粗略地說，一個(gè)圖形的維就是可以沿著它自由運(yùn)動(dòng)而始終停留在此圖形內(nèi)的獨(dú)立的方向的個(gè)數(shù)，這個(gè)粗略的概念可以在數(shù)學(xué)上定義精確（利用向量空間的概念）。
如果給了一個(gè)圖形，則它的按正常理解的維應(yīng)該是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。說我們可以在例如 1.4 個(gè)獨(dú)立的方向上運(yùn)動(dòng)是沒有意義的，然而，確實(shí)有一個(gè)分?jǐn)?shù)維的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，在這個(gè)理論中，任意給一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) d，都可以找到一個(gè) d 維的圖形。
數(shù)學(xué)家們是怎樣做到這件似乎不可能的事情的呢？答案是把這個(gè)概念重新陳述了，只有這樣，才能推廣它。這句話的意思就是給維以一個(gè)具有以下性質(zhì)的新的定義∶
對(duì)于所有的“簡(jiǎn)單的”圖形，維的新定義和老定義一致。例如在新定義下，直線仍是 1 維的，正方形仍是 2 維的，立方體仍是 3 維的。
在新定義下，每個(gè)圖形的維一定是正整數(shù)這一點(diǎn)不再是顯然的。
做這件事有好幾種方法，但其中的絕大多數(shù)都集中在長(zhǎng)度、面積和體積這些概念的差別上。注意，一條長(zhǎng)度為 2 的直線段，可以分成兩個(gè)互不重疊的長(zhǎng)度為 1 的直線段的并；一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形可以分成四個(gè)互不重疊的邊長(zhǎng)為 1 的正方形的并；而一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的立方體，可以分成八個(gè)互不重疊的邊長(zhǎng)為 1 的正方體之并。因此，若把一個(gè) d 維圖形按因子 r 放大，則其 d 維“體積”會(huì)被乘上因子 r^d。假設(shè)現(xiàn)在想展示一個(gè) 1.4 維圖形。方法之一是取
然后找一個(gè)圖形 X，把它按因子 r 放大，而且使得放大的圖形可以分成兩個(gè)互不相交的 X 的復(fù)本。X 的兩個(gè)復(fù)本，體積應(yīng)該是 X 的“體積”的兩倍，所以 X 的維數(shù) d 應(yīng)該滿足方程 r^d=2。按照我們對(duì) r 的選擇知道，X 的維數(shù)為 1.4。
另一個(gè)初看起來(lái)沒意義的概念是不可交換幾何學(xué)。“交換”這個(gè)詞本來(lái)只用于二元運(yùn)算，所以屬于代數(shù)而不屬于幾何學(xué)，那么，不可交換幾何學(xué)可能有什么意思呢？
但是現(xiàn)在，答案已經(jīng)不再令人驚奇了∶人們用某個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)重新陳述幾何學(xué)的一部分，然后再推廣這里的代數(shù)。這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)涉及到一個(gè)可交換的二元運(yùn)算，所以，允許這個(gè)二元運(yùn)算為不可交換的，就推廣了這個(gè)代數(shù)。
這里講到的幾何學(xué)的一部分就是流形的研究。與流形 X 相關(guān)的有定義在此流形 X 上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)的集合 C（X）。給出了 C（X）中的兩個(gè)函數(shù) f 和 g 以及兩個(gè)復(fù)數(shù) λ 和 μ，則線性組合 λf＋μg 仍是一個(gè)復(fù)值連續(xù)函數(shù)，從而仍在 C（X）中，所以 C（X）是一個(gè)向量空間。然而，還可以把 f 與 g 相乘。這個(gè)乘法有各種自然的性質(zhì)（例如，對(duì)于一切函數(shù) f，g 和 h 有 f（g+h）=fg+fh），這就使得 C（X）成為一個(gè)代數(shù)，甚至是一個(gè) C*-代數(shù)。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，緊流形 X 上的相當(dāng)大一部分幾何學(xué)可以純粹地以 C*-代數(shù) C（X）的語(yǔ)言來(lái)重新陳述。這里的“純粹地”這個(gè)詞意味著并無(wú)必要講到流形 X，而 C（X）本來(lái)是參照著流形 X 來(lái)定義的 ，我們需要的僅是 C（X）是一個(gè)代數(shù)。這就意味著有可能有這樣的不是幾何地生成的代數(shù)，但是對(duì)于它們，經(jīng)過重新陳述的幾何概念仍然可用。
代數(shù)里有兩個(gè)二元運(yùn)算∶向量空間運(yùn)算和乘法。向量空間運(yùn)算總是假設(shè)為可交換的，但是乘法可不一定∶如果乘法也是可交換的，就說這個(gè)代數(shù)是可交換代數(shù)。因?yàn)?fg 和 gf 顯然是同一個(gè)函數(shù)，代數(shù) C（X）就是一個(gè)可交換 C*-代數(shù)，所以從幾何學(xué)產(chǎn)生的代數(shù)總是可交換代數(shù)。然而有許多幾何概念在用代數(shù)語(yǔ)言重新陳述以后，對(duì)于不可交換的 C*-代數(shù)仍有意義，"不可交換幾何學(xué)" 這個(gè)詞就這樣使用起來(lái)了。
這樣一種重新陳述以后再推廣的程序在數(shù)學(xué)的許多最重要的進(jìn)展中都有?，F(xiàn)在看本文的第三個(gè)例子∶算術(shù)的基本定理。它是數(shù)論的基石之一，它指出∶每一個(gè)正整數(shù)都可以唯一的方式寫成素?cái)?shù)之積。然而數(shù)論專家總要看擴(kuò)大的數(shù)系，在絕大多數(shù)這類數(shù)系中，算術(shù)的基本定理的明顯的類似定理都是不成立的。
然而，有一種自然的方法推廣“數(shù)”的概念，使之包括理想數(shù)，這樣，就可以在例如剛才所述的那種環(huán)內(nèi)，證明算術(shù)的基本定理的一種版本。首先把問題重新陳述如下∶對(duì)每一個(gè)數(shù) γ，做所有倍數(shù) δγ 的集合，其中 δ 是環(huán)中的元。記此集合為（γ），具有以下的封閉性質(zhì)∶若 α，β 都屬于（γ），而 δ，ε 都是此環(huán)中之元，則
一個(gè)環(huán)的具有以上封閉性質(zhì)的子集合，就稱為一個(gè)理想。如果一個(gè)理想具有（γ）的形狀，γ 是某個(gè)數(shù)，則此理想稱為一個(gè)主理想。然而，存在不是主理想的理想，所以，可以把理想的集合看成是推廣了原來(lái)的環(huán)的元素的集合。結(jié)果是有自然的加法和乘法的概念可以適用于各個(gè)理想。此外，定義一個(gè)理想為“素”理想也是有意義的，這里，說理想 I 為素理想，即是指唯一地寫 I 為兩個(gè)理想 J，K 之積的方式是 J，K 中有一個(gè)是“單位元”。在這個(gè)擴(kuò)大的集合上因子的唯一分解定理是成立的。這些概念給了一種非常有用的在原來(lái)的環(huán)中“量度因子分解的唯一性定理失效程度”的標(biāo)尺。
更高的維數(shù)和多個(gè)變?cè)?/strong>
我們已經(jīng)看到，當(dāng)不是只考慮單變?cè)囊粋€(gè)方程，而是考慮許多變?cè)姆匠探M時(shí)、多項(xiàng)式方程的研究會(huì)變得復(fù)雜得多。例如偏微分方程，它們可以看作是涉及多個(gè)變量的微分方程，典型地，分析它們會(huì)比分析常微分方程困難得多。多變?cè)亩囗?xiàng)式方程組以及偏微分方程是一種過程的兩個(gè)值得注意的例子，這個(gè)過程就是從單變?cè)茝V到多變?cè)?，產(chǎn)生了許多最重要的數(shù)學(xué)問題和結(jié)果，特別是在 20 世紀(jì)以來(lái)。
設(shè)有一個(gè)涉及三個(gè)實(shí)變量 z，y 和 z 的方程。把三元組（z，y，2）看成單獨(dú)一個(gè)對(duì)象，而不是三個(gè)數(shù)的一組，這種想法時(shí)常是有用的。此外，這種對(duì)象有著自然的解釋∶它代表 3 維空間的一點(diǎn)。這個(gè)幾何解釋是重要的，而且在很大程度上有助于說明為什么把許多定義和定理從一個(gè)變?cè)茝V到多個(gè)變?cè)绱擞腥?。如果把一?xiàng)代數(shù)的工作從單變?cè)茝V到多變?cè)?，就可以認(rèn)為，這是從 1 維的背景推廣到高維的背景。這個(gè)思想引導(dǎo)到代數(shù)與幾何的許多聯(lián)系，使得來(lái)自一個(gè)領(lǐng)域的技巧可以用于其他領(lǐng)域。
本文來(lái)自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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