上帝是數(shù)學家嗎？這個問題令那些最偉大的數(shù)學家（哲學家）苦苦思索了幾個世紀。正如英國物理學家詹姆斯瓊斯曾指出的 ∶ “宇宙似乎是由一位理論數(shù)學家設計的?！?數(shù)學似乎不僅是描述和解釋整個宇宙最有效的工具，而且可以用來解釋最復雜的人類活動。
今天，幾乎任何一個領域都要使用數(shù)學。是什么賦予數(shù)學如此令人難以置信的力量？
數(shù)學，這個獨立于人類經(jīng)驗存在的人類思維產(chǎn)物，怎么會如此完美地與物理現(xiàn)實中的物質(zhì)相一致？—— 愛因斯坦
上千年來給人以深刻印象的數(shù)學研究和廣博的哲學思考，都沒有真正解釋清楚數(shù)學力量的奧秘，甚至可以說，在某種意義上，數(shù)學的這種神秘感又加劇了。比如，著名的牛津數(shù)學物理學家羅杰?彭羅斯意識到，人類周圍并不是僅有 1 個世界，而應該有 3 個神秘世界。按彭羅斯的劃分，這 3 個世界是∶意識感知的世界、物理現(xiàn)實的世界和數(shù)學形式的柏拉圖世界。
對彭羅斯而言，和精神世界和物理世界一樣，這個世界也是真實存在的。物理世界的運行似乎遵循著一定的法則，而這些法則真實存在于數(shù)學世界中。其次，人類洞察性思維本身似乎來自于物理世界。思維究竟是如何從物質(zhì)中產(chǎn)生的我們是否能夠?qū)⑺季S的工作機理上升為一種理論，如同今天的電磁場理論那樣條理清晰、令人信服？最后，這 3 個世界神秘地聯(lián)到一起，形成了一個閉合的圓。通過發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造抽象的數(shù)學公式和概念，并將它們清晰地表達出來，洞察性思維才得以奇跡般地進入數(shù)學王國之中。
利用數(shù)學成功解釋我們周圍的世界，實際上可以從兩個方面去認識，它們都同樣令人驚奇。第一，是其 "主動" 的一面。當物理學家在自然的迷宮里迷失方向時，數(shù)學會為他們照亮前方的道路，他們使用和創(chuàng)造的工具、建立的模型，和他們所期望得到的解釋，所有這些都離不開數(shù)學。蘇格蘭物理學家麥克斯韋在 19 世紀 60 年代拓展了經(jīng)典物理學范疇。他僅僅使用 4 個數(shù)學公式，就解釋了所有已知的電磁學現(xiàn)象。愛因斯坦的廣義相對論更使人驚嘆，它是極度精確與自相一致的數(shù)學理論中的一個完美范例，這個理論所揭示的正是如時空結(jié)構(gòu)一類的基礎事物。
第二，是其“被動”的一面。數(shù)學家研究探索數(shù)學概念以及各種概念之間的關(guān)系時，有時僅僅是出于理論研究的目的，絕對沒有考慮過理論的實用性問題。但是在幾十年后（有時甚至是幾百年后）人們突然發(fā)現(xiàn)，他們的理論出人意料地為物理現(xiàn)實問題提供了解決方案。哈代是一位研究純理論的數(shù)學家，他的一項研究成果被命名為哈代 — 溫伯格定律，該定律是遺傳學家研究人口進化的基礎。哈代 — 溫伯格定律說∶如果一個基數(shù)很大的人口群體隨機婚配（沒有人口遷移、基因突變和選擇性婚配），基因構(gòu)成將保持恒定，而且不因世代變化而變化。表面上，哈代研究的是抽象的數(shù)論，卻出乎意料地被發(fā)現(xiàn)能解決現(xiàn)實問題。
1973 年，英國數(shù)學家克利福德?柯克斯?利用數(shù)論在密碼學領域取得了突破性進展。但哈代曾說∶“任何人都不可能把數(shù)論用于戰(zhàn)爭。”很明顯，密碼學在現(xiàn)代軍事信息傳遞中絕對不可或缺。
這還只是冰山一角。喬治?弗里德里希?伯恩哈特黎曼在 1854 年的一次經(jīng)典演講中概括了幾門新興幾何學的主要內(nèi)容，它們恰好是愛因斯坦解釋宇宙結(jié)構(gòu)時所必需的工具。還有一門叫群論的數(shù)學“語言”，它是由年輕的數(shù)學天才伽羅瓦所創(chuàng)建的。起初僅僅用來判別代數(shù)方程式的可解性，但今天它已經(jīng)被物理學家、工程師、語言學家甚至人類生態(tài)學家們廣泛使用，以研究幾乎所有的對稱性問題。
此外，數(shù)學上對稱的概念在某種程度上還顛覆了整個科學研究過程。幾個世紀以來，科學家認識宇宙的第一步，都是在反復試驗和觀察后，收集匯總數(shù)據(jù)和結(jié)果，再從其中歸納出通用的自然規(guī)律。這種梳理過程從局部觀察開始，之后像拼拼圖一樣一塊塊地拼起來。進入 20 世紀后，人們認識到條理清晰的數(shù)學設計描述了亞原子世界的基礎結(jié)構(gòu)，當代物理學家們開始反其道而行之。他們把數(shù)學對稱性置于第一位，堅持認為自然法則和構(gòu)成事物的基本要素應當遵循某種特定模式，于是根據(jù)這種要求，他們推演出通用規(guī)律。自然界又是如何知道應當遵循數(shù)學上的對稱原理呢？
在 1975 年的某天，年輕的數(shù)學物理學家米奇?費根鮑姆在洛斯阿拉莫斯國家實驗室利用他的便攜式計算器演算一個簡單的方程式。他漸漸注意到計算器上的數(shù) 11 越來越接近一個特定的數(shù)字∶4.669…。他驚奇地發(fā)現(xiàn)，在他演算其他方程式時，這個神奇的數(shù)字再次出現(xiàn)了。雖然費根鮑姆還不能解釋其原因，但他很快就得出結(jié)論，他所發(fā)現(xiàn)的這個數(shù)字似乎標志著從有序到混沌過渡時的某種普遍性規(guī)律。
究竟什么原因?qū)е履切┛雌饋聿町悩O大的系統(tǒng)行為背后卻有相同的數(shù)學特征呢？經(jīng)過半年的專家評審，費根鮑姆就此專題撰寫的第一篇論文被退稿了。不久之后，實驗證明當液態(tài)氦從下面開始加熱時，其變化過程同費根鮑姆通用解決方案預測的結(jié)果恰恰一樣。人們發(fā)現(xiàn)不僅這一種體系會如此表現(xiàn)。費根鮑姆發(fā)現(xiàn)的這個令人驚訝的數(shù)字，不但出現(xiàn)在流體從有序流向紊亂的轉(zhuǎn)換過程中，也會出現(xiàn)在水龍頭滴水的過程中。
這種首先在數(shù)學上“預言”規(guī)律存在的必要性，爾后才被后人證實其的確存在的例子還有很多，并且仍然在上演。數(shù)學世界和真實（物理）世界之間那種神秘的、意想不到的相互影響，在紐結(jié)理論（這是一門研究繩結(jié)的學科）中得到了生動體現(xiàn)。數(shù)學上的“紐結(jié)”與現(xiàn)實中繩索上的結(jié)十分類似，只不過這根繩索的頭與尾必須拼接在一起。也就是說，數(shù)學上的紐結(jié)是在一條閉合的、沒有自由活動繩端的曲線之上。
說來奇怪，創(chuàng)建紐結(jié)理論的主要起因是 19 世紀發(fā)展起來的一種錯誤的原子結(jié)構(gòu)模型。這個模型在提出 20 年后就被證明是錯誤的了，但是紐結(jié)理論作為一門相對難以理解的理論數(shù)學分支，卻在不斷發(fā)展演化。出人意料的是，數(shù)學家在紐結(jié)理論領域所做的那些抽象的探索，突然間在現(xiàn)代科學研究中有了十分廣泛的應用。其應用范圍涵蓋 DNA 分子結(jié)構(gòu)、弦論等等。
本文來自微信公眾號：老胡說科學 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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