上帝是數(shù)學(xué)家嗎？這個(gè)問題令那些最偉大的數(shù)學(xué)家（哲學(xué)家）苦苦思索了幾個(gè)世紀(jì)。正如英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯瓊斯曾指出的 ∶ “宇宙似乎是由一位理論數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)的。” 數(shù)學(xué)似乎不僅是描述和解釋整個(gè)宇宙最有效的工具，而且可以用來解釋最復(fù)雜的人類活動(dòng)。
今天，幾乎任何一個(gè)領(lǐng)域都要使用數(shù)學(xué)。是什么賦予數(shù)學(xué)如此令人難以置信的力量？
數(shù)學(xué)，這個(gè)獨(dú)立于人類經(jīng)驗(yàn)存在的人類思維產(chǎn)物，怎么會(huì)如此完美地與物理現(xiàn)實(shí)中的物質(zhì)相一致？—— 愛因斯坦
上千年來給人以深刻印象的數(shù)學(xué)研究和廣博的哲學(xué)思考，都沒有真正解釋清楚數(shù)學(xué)力量的奧秘，甚至可以說，在某種意義上，數(shù)學(xué)的這種神秘感又加劇了。比如，著名的牛津數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅杰?彭羅斯意識(shí)到，人類周圍并不是僅有 1 個(gè)世界，而應(yīng)該有 3 個(gè)神秘世界。按彭羅斯的劃分，這 3 個(gè)世界是∶意識(shí)感知的世界、物理現(xiàn)實(shí)的世界和數(shù)學(xué)形式的柏拉圖世界。
對(duì)彭羅斯而言，和精神世界和物理世界一樣，這個(gè)世界也是真實(shí)存在的。物理世界的運(yùn)行似乎遵循著一定的法則，而這些法則真實(shí)存在于數(shù)學(xué)世界中。其次，人類洞察性思維本身似乎來自于物理世界。思維究竟是如何從物質(zhì)中產(chǎn)生的我們是否能夠?qū)⑺季S的工作機(jī)理上升為一種理論，如同今天的電磁場(chǎng)理論那樣條理清晰、令人信服？最后，這 3 個(gè)世界神秘地聯(lián)到一起，形成了一個(gè)閉合的圓。通過發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造抽象的數(shù)學(xué)公式和概念，并將它們清晰地表達(dá)出來，洞察性思維才得以奇跡般地進(jìn)入數(shù)學(xué)王國(guó)之中。
利用數(shù)學(xué)成功解釋我們周圍的世界，實(shí)際上可以從兩個(gè)方面去認(rèn)識(shí)，它們都同樣令人驚奇。第一，是其 "主動(dòng)" 的一面。當(dāng)物理學(xué)家在自然的迷宮里迷失方向時(shí)，數(shù)學(xué)會(huì)為他們照亮前方的道路，他們使用和創(chuàng)造的工具、建立的模型，和他們所期望得到的解釋，所有這些都離不開數(shù)學(xué)。蘇格蘭物理學(xué)家麥克斯韋在 19 世紀(jì) 60 年代拓展了經(jīng)典物理學(xué)范疇。他僅僅使用 4 個(gè)數(shù)學(xué)公式，就解釋了所有已知的電磁學(xué)現(xiàn)象。愛因斯坦的廣義相對(duì)論更使人驚嘆，它是極度精確與自相一致的數(shù)學(xué)理論中的一個(gè)完美范例，這個(gè)理論所揭示的正是如時(shí)空結(jié)構(gòu)一類的基礎(chǔ)事物。
第二，是其“被動(dòng)”的一面。數(shù)學(xué)家研究探索數(shù)學(xué)概念以及各種概念之間的關(guān)系時(shí)，有時(shí)僅僅是出于理論研究的目的，絕對(duì)沒有考慮過理論的實(shí)用性問題。但是在幾十年后（有時(shí)甚至是幾百年后）人們突然發(fā)現(xiàn)，他們的理論出人意料地為物理現(xiàn)實(shí)問題提供了解決方案。哈代是一位研究純理論的數(shù)學(xué)家，他的一項(xiàng)研究成果被命名為哈代 — 溫伯格定律，該定律是遺傳學(xué)家研究人口進(jìn)化的基礎(chǔ)。哈代 — 溫伯格定律說∶如果一個(gè)基數(shù)很大的人口群體隨機(jī)婚配（沒有人口遷移、基因突變和選擇性婚配），基因構(gòu)成將保持恒定，而且不因世代變化而變化。表面上，哈代研究的是抽象的數(shù)論，卻出乎意料地被發(fā)現(xiàn)能解決現(xiàn)實(shí)問題。
1973 年，英國(guó)數(shù)學(xué)家克利福德?柯克斯?利用數(shù)論在密碼學(xué)領(lǐng)域取得了突破性進(jìn)展。但哈代曾說∶“任何人都不可能把數(shù)論用于戰(zhàn)爭(zhēng)?！焙苊黠@，密碼學(xué)在現(xiàn)代軍事信息傳遞中絕對(duì)不可或缺。
這還只是冰山一角。喬治?弗里德里希?伯恩哈特黎曼在 1854 年的一次經(jīng)典演講中概括了幾門新興幾何學(xué)的主要內(nèi)容，它們恰好是愛因斯坦解釋宇宙結(jié)構(gòu)時(shí)所必需的工具。還有一門叫群論的數(shù)學(xué)“語言”，它是由年輕的數(shù)學(xué)天才伽羅瓦所創(chuàng)建的。起初僅僅用來判別代數(shù)方程式的可解性，但今天它已經(jīng)被物理學(xué)家、工程師、語言學(xué)家甚至人類生態(tài)學(xué)家們廣泛使用，以研究幾乎所有的對(duì)稱性問題。
此外，數(shù)學(xué)上對(duì)稱的概念在某種程度上還顛覆了整個(gè)科學(xué)研究過程。幾個(gè)世紀(jì)以來，科學(xué)家認(rèn)識(shí)宇宙的第一步，都是在反復(fù)試驗(yàn)和觀察后，收集匯總數(shù)據(jù)和結(jié)果，再?gòu)钠渲袣w納出通用的自然規(guī)律。這種梳理過程從局部觀察開始，之后像拼拼圖一樣一塊塊地拼起來。進(jìn)入 20 世紀(jì)后，人們認(rèn)識(shí)到條理清晰的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)描述了亞原子世界的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，當(dāng)代物理學(xué)家們開始反其道而行之。他們把數(shù)學(xué)對(duì)稱性置于第一位，堅(jiān)持認(rèn)為自然法則和構(gòu)成事物的基本要素應(yīng)當(dāng)遵循某種特定模式，于是根據(jù)這種要求，他們推演出通用規(guī)律。自然界又是如何知道應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)上的對(duì)稱原理呢？
在 1975 年的某天，年輕的數(shù)學(xué)物理學(xué)家米奇?費(fèi)根鮑姆在洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室利用他的便攜式計(jì)算器演算一個(gè)簡(jiǎn)單的方程式。他漸漸注意到計(jì)算器上的數(shù) 11 越來越接近一個(gè)特定的數(shù)字∶4.669…。他驚奇地發(fā)現(xiàn)，在他演算其他方程式時(shí)，這個(gè)神奇的數(shù)字再次出現(xiàn)了。雖然費(fèi)根鮑姆還不能解釋其原因，但他很快就得出結(jié)論，他所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)數(shù)字似乎標(biāo)志著從有序到混沌過渡時(shí)的某種普遍性規(guī)律。
究竟什么原因?qū)е履切┛雌饋聿町悩O大的系統(tǒng)行為背后卻有相同的數(shù)學(xué)特征呢？經(jīng)過半年的專家評(píng)審，費(fèi)根鮑姆就此專題撰寫的第一篇論文被退稿了。不久之后，實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)液態(tài)氦從下面開始加熱時(shí)，其變化過程同費(fèi)根鮑姆通用解決方案預(yù)測(cè)的結(jié)果恰恰一樣。人們發(fā)現(xiàn)不僅這一種體系會(huì)如此表現(xiàn)。費(fèi)根鮑姆發(fā)現(xiàn)的這個(gè)令人驚訝的數(shù)字，不但出現(xiàn)在流體從有序流向紊亂的轉(zhuǎn)換過程中，也會(huì)出現(xiàn)在水龍頭滴水的過程中。
這種首先在數(shù)學(xué)上“預(yù)言”規(guī)律存在的必要性，爾后才被后人證實(shí)其的確存在的例子還有很多，并且仍然在上演。數(shù)學(xué)世界和真實(shí)（物理）世界之間那種神秘的、意想不到的相互影響，在紐結(jié)理論（這是一門研究繩結(jié)的學(xué)科）中得到了生動(dòng)體現(xiàn)。數(shù)學(xué)上的“紐結(jié)”與現(xiàn)實(shí)中繩索上的結(jié)十分類似，只不過這根繩索的頭與尾必須拼接在一起。也就是說，數(shù)學(xué)上的紐結(jié)是在一條閉合的、沒有自由活動(dòng)繩端的曲線之上。
說來奇怪，創(chuàng)建紐結(jié)理論的主要起因是 19 世紀(jì)發(fā)展起來的一種錯(cuò)誤的原子結(jié)構(gòu)模型。這個(gè)模型在提出 20 年后就被證明是錯(cuò)誤的了，但是紐結(jié)理論作為一門相對(duì)難以理解的理論數(shù)學(xué)分支，卻在不斷發(fā)展演化。出人意料的是，數(shù)學(xué)家在紐結(jié)理論領(lǐng)域所做的那些抽象的探索，突然間在現(xiàn)代科學(xué)研究中有了十分廣泛的應(yīng)用。其應(yīng)用范圍涵蓋 DNA 分子結(jié)構(gòu)、弦論等等。
本文來自微信公眾號(hào)：老胡說科學(xué) （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡
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